Definizione di matrice e matrici particolari

Definizione di matrice

Definizione 1: Matrice rettangolare.
Si considerino due numeri naturali $m,n$ entrambi non nulli e $m\cdot n$ numeri reali. Si chiama matrice rettangolare di tipo $(m,n)$ l’insieme dei numeri reali considerati, ordinati secondo righe ed colonne, in una tabulazione come quella che segue:
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
\]
Ciascuno dei numeri $a_{kj}$, con gli indici $k$ e $j$ rispettivamente variabili tra 1 ed $m$ e tra 1 ed $n$ in tutti le combinazioni possibili, viene detto elemento della matrice. La matrice viene sinteticamente indicata con
\[
A=[a_{kj}],\; k\in\{1,\ldots,m\},\; j\in\{1,\ldots,n\}
\]
Esempio di matrice
\[
\begin{pmatrix}
1 & -2 & \displaystyle\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 1 & 2 & -0,5 \\
1 & -3 & 1 & \displaystyle\frac{2}{3} \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]

Definizione 2: Matrice (o vettore) riga.
Si chiama matrice riga, o vettore riga, una matrice rettangolare di tipo $(1,n)$, che sia cioè formata da una sola riga con $n$ elementi:
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
\end{pmatrix}
\]

Definizione 3: Matrice (o vettore) colonna.
Si chiama matrice colonna, o vettore colonna, una matrice rettangolare di tipo $(m,1)$, che sia cioè formata da una sola colonna con $m$ elementi:
\[
\begin{pmatrix}
a_{11}\\
a_{21}\\
\vdots\\
a_{m1}\\
\end{pmatrix}
\]
Osservazione 1: Si presti attenzione al fatto che mentre nei vettori riga l’indice che cambia è il secondo, cioè l’indice di colonna, nei vettori colonna cambia il primo indice, ovvero quello di riga.

Osservazione 2: Una matrice con una sola riga e una sola colonna, cioè di tipo $(1,1)$, è sia un vettore riga che un vettore colonna. Naturalmente essa contiene un unico elemento, $(a_{11}$, ma è fondamentalmente distinta da esso: vale cioè \([a_{11}]\neq a_{11}\). Questo è vero in quanto il primo oggetto scritto è una matrice, mentre il secondo è solo un numero reale.

Definizione 4: Matrice zero.
Una matrice $Z$ i cui elementi siano tutti nulli, indipendentemente dai numeri $m$ ed $n$, viene sempre chiamata matrice zero, o matrice nulla:
\[
\begin{array}
\mbox{Z}=[z_{kj}],\; z_{kj}=0 & \forall k\in\{1,\ldots,m\},\; j\in\{1,\ldots,n\}
\end{array}
\]
Definizione 5: Matrice opposta.
Data una matrice di tipo $(m,n)$ viene detta matrice opposta di $A$ e solitamente indicata con $-A$ quell’unica matrice di tipo $(m,n)$ tale che ogni suo elemento sia l’opposto dell’ omologo elemento di $A$. In breve, deve valere la condizione \(-A=[-a_{kj}]\).

Osservazione 3: In virtù delle definizioni 4 e 5, la matrice opposta della matrice zero di tipo $(m,n)$ è ancora la stessa matrice zero di tipo $(m,n)$. Questa eventualità non si verifica con alcuna altra matrice.

Definizione 6: Matrice trasposta.
Data una matrice $A$ di tipo $(m,n)$ viene detta matrice trasposta di $A$ e solitamente indicata con $A_{T}$ quell’unica matrice di tipo $(n,m)$ che si ottiene da $A$ scambiando righe e colonne:
\[
\begin{array}{ccc}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix} & \Rightarrow & A_{T}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\]

Osservazione 4: Per le definizioni 2, 3 e 6, le matrici trasposte di un vettore riga e di un vettore colonna sono rispettivamente un vettore colonna e un vettore riga. La matrice trasposta di una matrice nulla è ancora una matrice nulla, ma di tipo differente.

 

Matrici quadrate

Definizione 7: Matrice quadrata.
Fissato un numero naturale non nullo $n$ una matrice di tipo $(n,n)$ è chiamata per ovvi motivi matrice quadrata; si dice che essa ha ordine $n$.

Definizione 8: Diagonali di una matrice quadrata.
Data una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ qualsiasi, è possibile trovare in essa $n$ elementi che giacciono su una delle diagonali del quadrato, ed $n$ che giacciono sull’altra diagonale. Uno dei due insiemi ha la caratteristica che ciascuno dei suoi elementi ha gli indici uguali: esso è detto diagonale principale; l’altro insieme forma la diagonale secondaria.
\[
\begin{array}{cc}
\begin{pmatrix}
\color{red}a_{\color{red}1\color{red}1} & a_{12} & \color{green}a_{\color{green}1\color{green}3} \\
a_{21} & \color{red}a_{\color{green}2\color{green}2} & a_{23} \\
\color{green}a_{\color{green}3\color{green}1} & a_{32} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}3} \\
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
\color{red}a_{\color{red}1\color{red}1} & a_{12} & a_{13} & \color{green}a_{\color{green}1\color{green}4} \\
a_{21} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}2} & \color{green}a_{\color{green}2\color{green}3} & a_{24} \\
a_{31} & \color{green}a_{\color{green}3\color{green}2} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}3} & a_{34} \\
\color{green}a_{\color{green}4\color{green}1} & a_{42} & a_{43} & \color{red}a_{\color{red}4\color{red}4}\\
\end{pmatrix}
\end{array}
\]

Osservazione 5: Nell’immagine che precede, vediamo due matrici quadrate di ordini 3 e 4. In entrambe, gli elementi segnati in rosso formano la diagonale principale e quelli segnati in verde formano la diagonale secondaria. Si noti che se $n$ è pari, come nella seconda matrice, allora le due diagonali non hanno elementi in comune; se invece $n$ è dispari, come accade nel primo esempio, esiste un elemento che appartiene a entrambe le diagonali.

Definizione 9: Matrice triangolare.
Una matrice quadrata di ordine $n$ qualsiasi è detta triangolare superiore se tutti gli elementi situati sotto la sua diagonale principale sono nulli; si dice invece triangolare inferiore una matrice quadrata di ordine $n$ qualsiasi tale da avere nulli tutti gli elementi situati al di sopra della sua diagonale principale.
\[
\begin{array}{cc}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\
0 & 0 & 0 & a_{44} \\
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\]

Definizione 10: Matrice diagonale.
Si chiama matrice diagonale una matrice quadrata di ordine $n$ qualsiasi i cui elementi non appartenenti alla diagonale principale sono tutti nulli.
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0 \\
0 & a_{22} & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{33} & 0 \\
0 & 0 & 0 & a_{44} \\
\end{pmatrix}
\]

Definizione 11: Matrice identica.
Si chiama matrice identica, o matrice unità, una matrice diagonale di ordine $n$ qualsiasi i cui elementi appartenenti alla diagonale principale sono tutti 1.
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]

Osservazione 6: Nelle tre immagini precedenti sono rappresentate matrici di ordine 4 triangolari superiori, inferiori, diagonali e identiche. Si noti che nelle definizioni 9 e 10 si dice solo che alcuni degli elementi devono essere nulli, non che gli altri, di cui non si parla, non possono essere 0. In particolare, ad esempio, una matrice diagonale è sia una matrice inferiormente triangolare che superiormente triangolare.

Osservazione 7: In virtù della definizione 6, la trasposta di una matrice inferiormente (superiormente) triangolare è una matrice superiormente (inferiormente) triangolare. La trasposta di una matrice diagonale è ancora la stessa matrice; questa eventualità si verifica per tutte e sole le matrici diagonali.

 

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