Determinanti di matrici di ordine superiore. Regola di Sarrus

Determinanti di matrici 3×3

Metodo per le matrici di ordine 3. Consideriamo una generica matrice di ordine 3:
\[
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
\]
In virtù della definizione di determinante di una matrice di ordine $n>1$, per calcolare il determinante di $A$ dovremo prima di tutto scegliere una linea, diciamo la prima riga, e quindi sviluppare il calcolo nel modo seguente:
\[
\det A=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}
\]
Quindi, per la definizione di complemento algebrico, scriveremo
\[
\begin{array}{c}
\begin{aligned}
=&a_{11}(-1)^{1+1}\det\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}+a_{12}(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{pmatrix}+\\
+&a_{13}(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}=\\
=&a_{11}\det\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}-a_{12}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{pmatrix}+a_{13}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{array}
\]
cosicché il calcolo di un determinante di una matrice di ordine 3 si è ridotto al calcolo di 3 determinanti di matrici di ordine 2. Per procedere adopereremo la formula già nota per il calcolo di questi ultimi determinanti:
\[
\begin{aligned}
=&a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+\\
+&a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=\\
=&a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+\\
+&a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}=\\
=&(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})+\\
-&(a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{13}a_{22}a_{31})
\end{aligned}
\]
Questa formula è certo difficile da ricordare, e ancor più da utilizzare senza fare errori. A questo proposito esistono due regole mnemoniche semplici che consentono di ricavare la suddetta formula:

Regola di Sarrus. A partire dalla matrice $A$ quadrata di ordine 3 data, scriviamo la seguente matrice rettangolare con 3 righe e 5 colonne:
\[
\begin{pmatrix}
\color{red}a_{\color{red}1\color{red}1} & \color{red}a_{\color{red}1\color{red}2} & \color{red}a_{\color{red}1\color{red}3} & \color{green}a_{\color{green}1\color{green}1} & \color{green}a_{\color{green}1\color{green}2} \\
\color{red}a_{\color{red}2\color{red}1} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}2} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}3} & \color{green}a_{\color{green}2\color{green}1} & \color{green}a_{\color{green}2\color{green}2} \\
\color{red}a_{\color{red}3\color{red}1} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}2} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}3} & \color{green}a_{\color{green}3\color{green}1} & \color{green}a_{\color{green}3\color{green}2} \\
\end{pmatrix}
\]
Essa si ottiene dalla $A$, qui indicata in rosso, aggiungendovi le due colonne verdi a destra; esse devono essere uguali alla prima e alla seconda colonna di $A$. A questo punto leggiamo la matrice ottenuta diagonalmente nei due modi seguenti:
\[
\begin{array}{cc}
\begin{pmatrix}
\color{cyan}a_{\color{cyan}1\color{cyan}1} & \color{red}a_{\color{red}1\color{red}2} & \color{green}a_{\color{green}1\color{green}3} & a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & \color{cyan}a_{\color{cyan}2\color{cyan}2} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}3} & \color{green}a_{\color{green}2\color{green}1} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32} & \color{cyan}a_{\color{cyan}3\color{cyan}3} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}1} & \color{green}a_{\color{green}3\color{green}2} \\
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \color{cyan}a_{\color{cyan}1\color{cyan}3} & \color{red}a_{\color{red}1\color{red}1} & \color{green}a_{\color{green}1\color{green}2} \\
a_{21} & \color{cyan}a_{\color{cyan}2\color{cyan}2} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}3} & \color{green}a_{\color{green}2\color{green}1} & a_{22} \\
\color{cyan}a_{\color{cyan}3\color{cyan}1} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}2} & \color{green}a_{\color{green}3\color{green}3} & a_{31} & a_{32} \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\]
Nell’immagine a sinistra gli elementi dello stesso colore sono i fattori dei tre prodotti che vanno presi con segno positivo nel calcolo del determinante; nell’immagine a destra, invece, vediamo nello stesso colore i fattori dei prodotti che vanno presi con segno negativo. In questo modo gli allineamenti diagonali ci consentono di non dover ricordare l’intera formula precedente.

Esempio 1. Si calcoli con la regola di Sarrus il determinante della matrice seguente:
\[
A=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
0& & 5& & 4&\\
2& & 1& & -1&\\
-3& & 4& & 2&\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\]
Riscriviamo la matrice $A$ e ripetiamo, alla sua destra, le prime due colonne
\[
A=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
0& & 5& & 4& & 0& & 5&\\
2& & 1& & -1& & 2& & 1&\\
-3& & 4& & 2& & -3& & 4&\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\]
Leggiamo adesso la matrice rettangolare ottenuta secondo i due allineamenti precedenti
\[
\begin{array}{c}
\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
\color{cyan}0& & \color{red}5& & \color{green}4& & 0& & 5&\\
2& & \color{cyan}1& & \color{red}-\color{red}1& & \color{green}2& & 1&\\
-3& & 4& & \color{cyan}2& & \color{red}-\color{red}3& & \color{green}4&\\
\end{aligned}
\end{pmatrix} \\
\\
\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
0& & 5& & \color{cyan}4& & \color{red}0& & \color{green}5&\\
2& & \color{cyan}1& & \color{red}-\color{red}1& & \color{green}2& & 1&\\
\color{cyan}-\color{cyan}3& & \color{red}4& & \color{green}2& & -3& & 4&\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\end{array}
\]
\[
\begin{aligned}
&\rightarrow[\color{cyan}0\cdot\color{cyan}1\cdot\color{cyan}2+\color{red}5\cdot\color{red}(\color{red}-\color{red}1\color{red})\cdot\color{red}(\color{red}-\color{red}3\color{red})+\color{green}4\cdot\color{green}2\cdot\color{green}4]+\\
& -[\color{cyan}(\color{cyan}-\color{cyan}3\color{cyan})\cdot\color{cyan}1\cdot\color{cyan}4+\color{red}4\cdot\color{red}(\color{red}-\color{red}1\color{red})\cdot\color{red}0+\color{green}2\cdot\color{green}2\cdot\color{green}5] \\
&\rightarrow[0+15+32]-[-12+0+20]=47-8=39
\end{aligned}
\]
Dunque il determinante della matrice data è $\det A=39$.

Regola dei triangoli. Un altro modo utile per ricordare la formula per il determinante delle matrici quadrate di ordine 3 è il seguente. Scriviamo ancora una volta la generica matrice $A$, segnamone la diagonale principale e dividiamo gli elementi rimanenti in due triangoli:
Regola dei triangoli
Facciamo lo stesso una seconda volta, segnando però per prima la diagonale secondaria. Ciò che otteniamo è ancora di dividere gli elementi della matrice in sei gruppi da 3, costituenti i fattori dei prodotti che vanno presi con il più nel primo caso e con il meno nel secondo. Questo metodo è del tutto equivalente a quello di Sarrus, ma ci evita un po’ di scrittura, potendosi i triangoli dati “disegnare” a mente.

Determinanti di matrici n x n

Metodo per le matrici di ordine $n$. Consideriamo la generica matrice quadrata $A$ di ordine $n>1$:
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\
\end{pmatrix}
\]
In base alla definizione di determinante, in primo luogo scegliamo una sua linea qualsiasi, ad esempio la $j$-esima riga, e quindi scriviamo
\[
\det A=\sum_{k=1}^n a_{jk}A_{jk}
\]
Ciascun $A_{jk}$, essendo il complemento algebrico di un elemento di una matrice $n\times n$, comporta il calcolo di un determinante di ordine $n-1$: dunque il calcolo del determinante di $A$ si è ridotto a quello di $n$ determinanti ordine $n-1$. Ciascuno di questi determinanti si potrà a sua volta ridurre al calcolo di $n-1$ determinanti di ordine $n-2$, e così via. La semplificazione ha termine allorché i determinanti da calcolare diventano del terzo ordine, perché in questo caso possiamo usare la regola di Sarrus o quella dei triangoli e trovare la soluzione.

Osservazione 1. Se invece della $j$-esima riga avessimo scelto la $k$-esima colonna, la formula da usare per calcolare il determinante di $A$ sarebbe stata quasi identica:
\[
\det A=\sum_{j=1}^n a_{jk}A_{jk}
\]

Osservazione 2. Poiché la parte difficile della formula precedente consiste nel calcolo dei complementi algebrici, e dal momento che ciascuno di questi è moltiplicato per l’elemento di matrice cui corrisponde, il calcolo sarà grandemente semplificato se sceglieremo una linea con molti zeri. In questo caso infatti il prodotto $a_{jk}A_{jk}$ farà automaticamente zero, indipendentemente dal valore del complemento algebrico, per ogni $a_{jk}=0$.

Esempio 2. Si calcoli il determinante della matrice
\[
A=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
1 & &5 & &7 & &-1\\
0 & &0 & &4 & &0\\
2 & &0 & &-1 & &3\\
0 & &2 & &0 & &-3\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\]
La linea della matrice $A$ dotata di più zeri in assoluto è la seconda riga; svilupperemo quindi il determinante di $A$ rispetto a tale linea, secondo la formula
\[
\det A=\sum_{k=1}^4 a_{2k}A_{2k}=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}+a_{24}A_{24}
\]
Sostituendo i valori degli elementi di $A$, abbiamo subito
\[
\begin{aligned}
&\det A=4A_{23}=4(-1)^{2+3}\det\begin{pmatrix}1&5&-1\\2&0&3\\0&2&-3\end{pmatrix}=\\
&=-4\det\begin{pmatrix}1&5&-1\\2&0&3\\0&2&-3\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
col che l’unico calcolo che resta da fare è quello di un determinante di una matrice di ordine 3. Adoperando la regola dei triangoli, otteniamo
\[
\begin{aligned}
&\det A=-4\, [\,(0+0-4)-(0-30+6)\,]=-4\,[\,-4+24\,]\,=\\
&=-80
\end{aligned}
\]
Osservazione 3. Altre scelte sensate sarebbero state la quarta riga, la prima o la seconda colonna, tutte e tre dotate di due zeri. Se avessimo voluto sviluppare il determinante rispetto alla prima riga avremmo dovuto invece calcolare ben 4 determinanti di ordine 3, allungando moltissimo i calcoli.

 

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