Proprietà

Osservazione 1. Il calcolo di un determinante, per quanto in teoria sia semplice, può poi in pratica risultare lungo e complesso, specie quando le matrici esaminate sono di ordine alto e hanno pochi zeri. A questo proposito si ricorre spesso ad un certo numero di proprietà sui determinanti, che consentono di ridurre il problema ad uno più semplice.

Proprietà 1. Se una delle linee di $A$ è composta solo da zeri, allora $\det A=0$.

Proprietà 2. Se $A$ è una matrice diagonale o triangolare, allora \(\det A=a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}\).

Proprietà 3. Data una matrice $A$, se $B$ è ottenuta da $A$ moltiplicando per uno stesso scalare $k$ tutti gli elementi di una linea, allora $\det B=k\det A$.

Proprietà 4. Se le matrici $A$, $B$ e $C$ hanno tutti gli elementi uguali esclusi al più quelli della linea $j$-esima, per la quale vale che $a_{j}+b_{j}=c_{j}$, allora $\det A+\det B=\det C$.

Proprietà 5. Se due linee della matrice $A$ sono proporzionali secondo un qualsiasi scalare $k$, allora $\det A=0$.

Proprietà 6. Se a una linea di $A$ si somma una qualsiasi combinazione lineare delle linee di $A$ ad essa parallele, il determinante non cambia.

Proprietà 7. Se una linea di $A$ è combinazione lineare di due o più linee di $A$ ad essa parallele, allora $\det A=0$.

Proprietà 8. Se $B$ si ottiene da $A$ scambiando due linee parallele, allora $\det B=-\det A$.

Teorema di Binet. \(\det(A\cdot B)=\det A\cdot\det B\).

Osservazione 2. La proprietà 1 è un caso particolare sia della 3 che della 5, corrispondente in ambo i casi a $k=0$.

Osservazione 3. La proprietà 2 implica, tra le altre cose, che il determinante di una matrice identica è sempre 1, indipendentemente dal suo ordine.

Osservazione 4. Nel caso particolare che risulti $k=1$, la proprietà 5 dice che una matrice con due linee uguali ha il determinante nullo.

Osservazione 5. La proprietà 7 discende direttamente dalla 6: infatti se la linea $a_{j}$ si scrive come combinazione lineare di una o più linee di $A$ ciò è vero anche per $-a_{j}$; in virtù di ciò, il determinante di $A$ deve rimanere invariato quando ad $a_{j}$ si sommi $-a_ {j}$, ovvero quando la linea $j$-esima sia tutta nulla. Questo, per la proprietà 1, significa che $\det A=0$.

Esempi numerici

Osservazione 6:. Le dimostrazioni inerenti le matrici sono tipicamente lunghe e gravose, e poco aggiungono alla comprensione delle proprietà esaminate. In questa sede si ritiene più opportuno esaminare invece degli esempi applicativi.

Esempio 1. Calcolare il determinante di \(A=\begin{pmatrix}7&0&-1\\0&0&1\\3&0&2\\\end{pmatrix}\).

Grazie alla proprietà 1, possiamo direttamente dire che $\det A=0$ senza necessità di usare la regola di Sarrus: infatti, la seconda colonna è composta interamente da zeri. Per essere più convinti che ciò sia vero, possiamo provare ad usare la regola dei triangoli: ci rendiamo così subito conto che in ognuno dei fattori da considerare c’è almeno uno 0, e che quindi il determinante è nullo.

Esempio 2. Calcolare il determinante di \(A=\begin{pmatrix}3&4&2\\0&0&1\\0&0&9\end{pmatrix}\).

La matrice adesso in esame non ha nessuna linea composta solo da zeri, e quindi la prima proprietà non si può applicare; d’altro canto possiamo utilizzare tanto la seconda quanto la quinta. Nel primo caso, notiamo che $A$ è superiormente triangolare e che quindi sarà $\det A=3\cdot 0\cdot 9=0$; nel secondo caso possiamo invece osservare che la terza riga si ricava dalla seconda moltiplicando per $k=9$ tutti i suoi elementi, e quindi concludere ancora che $\det A=0$.

Esempio 3. Calcolare il determinante di \(C=\begin{pmatrix}6&2&0\\0&-1&0\\0&4&8\\\end{pmatrix}\).

In questo caso possiamo definire due nuove matrici \(A=\begin{pmatrix}6&0&0\\0&-1&0\\0&0&8\\\end{pmatrix}\) e \(B=\begin{pmatrix}6&2&0\\0&0&0\\0&4&8\\\end{pmatrix}\).
Notiamo che tutti gli elementi di $A$, $B$ e $C$ che non si trovino sulla seconda colonna coincidono, e che inoltre la seconda colonna di $A$, sommata a quella di $B$, dà quella di $C$. Ci troviamo perciò nel caso della proprietà 4, e $\det C=\det A+\det B=-48+0=-48$.
Il risultato è stato semplice da ottenere grazie alle proprietà 1 e 2, che si applicano a $B$ ed $A$ rispettivamente.

Esempio 4. Calcolare il determinante di \(A=\begin{pmatrix}3&0&8\\0&-1&0\\0&4&4\\\end{pmatrix}\).

Applichiamo, a titolo d’esempio, la proprietà 6. Sommiamo alla prima riga di $A$ quella combinazione lineare che si ottiene dalle altre due righe moltiplicando la seconda per 7 e la terza per 2:
\[
\begin{pmatrix}3&0&-8\end{pmatrix}+7\begin{pmatrix}0&-1&0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}0&4&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1&0\end{pmatrix}
\]
In virtù allora della succitata proprietà,
\[
\det A=\det\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
0 &-1 & 0\\
0 & 4 & 4\\
\end{pmatrix}
\]
Adoperiamo adesso la proprietà 3: la matrice $B$ si ottiene dall’ultima scritta moltiplicando per $k=2$ tutti gli elementi dell’ultima colonna, dunque
\[
\begin{aligned}
&B=\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
0 &-1 & 0\\
0 & 4 & 8\\
\end{pmatrix},\\
\\
&\det A=\det\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
0 &-1 & 0\\
0 & 4 & 4\\
\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\det\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
0 &-1 & 0\\
0 & 4 & 8\\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
Applicando nuovamente la proprietà 3, ma stavolta sulla prima riga, ci riportiamo infine a una matrice, la $C$, di cui conosciamo già il determinante perché l’abbiamo calcolato nell’esempio precedente. Concludiamo in tal modo che
\[
\begin{aligned}
&C=\begin{pmatrix}
6 & 2 & 0\\
0 &-1 & 0\\
0 & 4 & 8\\
\end{pmatrix},\\
\\
&\det A=\frac{1}{2}\det\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
0 &-1 & 0\\
0 & 4 & 8\\
\end{pmatrix}=\frac{1}{4}\det C=-\frac{48}{4}=-12
\end{aligned}
\]

 

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