Classificazione degli eventi

Definizioni

Definizione 1: Eventi complementari.

Due eventi $E_1$ ed $E_2$ si dicono complementari qualora uno di essi sia la negazione dell’altro, ovvero valga, in simboli, che $E_1 = bar(E_2)$.

Definizione 2: Eventi compatibili.

Dato $n$ un numero naturale maggiore o uguale di 2, $n$ eventi \(E_1, E_2, \ldots, E_n\) si dicono compatibili qualora il verificarsi di uno di essi non impedisca il verificarsi di ciascuno degli altri.

In particolare, due eventi $E_1$ ed $E_2$ si dicono compatibili qualora il verificarsi di $E_1$ non impedisca il verificarsi di $E_2$, e viceversa.

Definizione 3: Eventi incompatibili.

Dato $n$ un numero naturale maggiore o uguale di 2, $n$ eventi \(E_1, E_2, \ldots, E_n\) si dicono incompatibili qualora il verificarsi di uno di essi impedisca il verificarsi di qualsiasi altro degli eventi.

In particolare, due eventi $E_1$ ed $E_2$ si dicono incompatibili qualora il verificarsi di $E_1$ impedisca il verificarsi di $E_2$, e viceversa.

Definizione 4: Eventi indipendenti.

Dato $n$ un numero naturale maggiore o uguale di 2, $n$ eventi compatibili \(E_1, E_2, \ldots, E_n\) si dicono indipendenti qualora il verificarsi di uno di essi non modifichi la probabilità di verificare ciasuno degli altri.

In particolare, due eventi compatibili $E_1$ ed $E_2$ si dicono indipendenti qualora il verificarsi di $E_1$ non modifichi la probabilità di verificare $E_2$, e viceversa.

Definizione 5: Eventi dipendenti.

Dato $n$ un numero naturale maggiore o uguale di 2, $n$ eventi compatibili \(E_1, E_2, \ldots, E_n\) si dicono dipendenti qualora il verificarsi di uno di essi modifichi la probabilità di verificare ciascuno degli altri.

In particolare, due eventi compatibili $E_1$ ed $E_2$ si dicono dipendenti qualora il verificarsi di $E_1$ modifichi la probabilità di verificare $E_2$, e viceversa.

Osservazione 1: Le definizioni 4 e 5 di eventi indipendenti e dipendenti valgono solo se gli eventi in questione sono già compatibili, cioè possono verificarsi contemporaneamente.

Se $E_1$ ed $E_2$ sono incompatibili, allora in effetti il verificarsi di $E_1$ riduce a 0 la probabilità di verificare $E_2$, dunque in un certo senso essi sono anche dipendenti.

Osservazione 2: Due eventi complementari sono di certo incompatibili, ma il contrario non è generalmente vero, e quindi le due definizioni non sono ridondanti. Si confronti anche l’esempio 2.

 

Esempi

Esempio 1: Consideriamo i due eventi seguenti, relativi all’estrazione di una carta da gioco da un mazzo di carte francesi:

$E_1$ = “esce una carta di picche o fiori”    ,    $E_2$ = “esce una carta di quadri o cuori”.

Per forza di cose, se si verificherà $E_1$ non potrà verificarsi $E_2$, e ciò vale anche al contrario; inoltre uno dei due eventi dovrà necessariamente succedere. Abbiamo cioè $E_1 = bar(E_2)$ e dunque, in virtù della definizione 1, i due eventi sono complementari.

Esempio 2: Supponiamo adesso di estrarre due carte una alla volta da un mazzo di carte francesi; consideriamo i tre eventi seguenti:

$E_1$ = “la prima carta è l’asso di fiori”    ,    $E_2$ = “la seconda carta è di picche”   ,

$E_3$ = “la prima carta è di quadri”

Gli eventi $E_1$ ed $E_3$ sono incompatibili. Infatti, se la prima carta sarà l’asso di fiori essa di certo non sarà di quadri, e lo stesso vale anche al contrario. Questa era anche la situazione dell’esempio 1, ma in questo caso non è vero che uno dei due eventi $E_1$ o $E_3$ deve verificarsi per forza, in quanto potremmo anche estrarre, ad esempio, una qualsiasi carta di cuori. Dunque $E_1$ ed $E_3$ non sono complementari, come previsto dall’osservazione 2.

L’evento $E_2$, dal canto suo, è compatibile tanto con $E_1$ che con $E_3$. Infatti, qualunque sia il risultato della prima estrazione, è ancora possibile che la seconda carta pescata sia di picche.

Esempio 3: Ancora nel caso dell’esempio 2, distinguiamo le due eventualità seguenti:

  • caso 1: dopo aver estratto una carta, questa viene rimessa nel mazzo;
  • caso 2: dopo aver estratto una carta, questa viene eliminata.

Consideriamo i due eventi $E_1$ ed $E_2$, che abbiamo già visto essere compatibili. Nel primo caso, la prima estrazione non ha alcun effetto sulla seconda, dal momento che la prima carta pescata viene rimessa nel mazzo e dunque non c’è nulla che “abbia memoria” dell’avvenuta estrazione. Dunque $E_1$ ed $E_2$ sono anche indipendenti.

Nel secondo caso, invece, la prima carta estratta viene eliminata, e sorge una differenza fondamentale: se essa era l’asso di fiori, cioè se si è verificato $E_1$, allora le carte rimaste per la seconda estrazione sono 51 di cui 13 di picche, e quindi \(P(E_2) = 1351\). Se invece $E_1$ non si è verificato c’è una certa probabilità (esattamente 1/4) che la prima carta fosse di picche, nel qual caso le carte per la seconda estrazione sono sì 51, ma di queste solo 12 sono di picche. Avremmo allora \(P(E_2)=\frac{12}{51}=\frac{4}{17}\). La probabilità di $E_2$ nel secondo caso viene modificata dal fatto che $E_1$ si sia verificato o no: ciò rende $E_1$ ed $E_2$ eventi dipendenti.

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