Definizioni di probabilità

La Teoria delle probabilità è quella branca della Matematica che si occupa di studiare le frequenze con cui si verificano gli eventi, come queste siano collegate tra loro e i metodi per prevederle. Essa si basa sulle definizioni seguenti.

Definizioni

Definizione 1: Evento.

In probabilità si chiama evento e si indica tipicamente con $E$ una qualsiasi affermazione di cui sia possibile stabilire in maniera incontrovertibile, a seguito di un’osservazione, se sia verificata oppure no.

Osservazione 1: L’affermazione “??? ?????? ?′è ?? ?????” è un evento nel senso della definizione 1, poiché basta prendere visione del tavolo e si potrà dire con certezza se il libro c’è oppure no. Per contro, l’affermazione “?? ????? è ????????????” è soggettiva, cioè il fatto che essa sia o meno verificata dipende dall’osservatore; dunque essa non costituisce un evento.

Osservazione 2: Alcuni tipici esempi di eventi sono:

  • Il lancio di un dado dà come risultato 5;
  • Il primo numero estratto sulla ruota di Napoli è il 45;
  • Il quinto studente sul registro di classe è maschio.

Tali esempi sono tutti contraddistinti da una certà aleatorietà, ovvero obbediscono alle leggi del caso.

Definizione 2: Probabilità classica (o di Fermat) di un evento $E$.

Sia dato un evento $E$, e siano $n$ il numero di casi totali che possono succedere e $n_f$ il numero di tali casi in cui $E$ risulta verificato. Si definisce probabilità classica di $E$ e si indica con il simbolo \(P(E)\) il numero \[ P(E) = n_f/n\]

Definizione 3: Probabilità frequentista (o di Venn) di un evento $E$.

Sia dato un evento $E$. Si facciano $p$ esperimenti, e sia $p_r$ il numero di tali prove in cui $E$ risulta verificato. Si definisce probabilità frequentista di $E$ e si indica con il simbolo \[ f(E) = p_r/p \]

Osservazione 3: La probabilità classica di un evento $E$ si calcola in maniera teorica sulla base di ragionamenti matematici, ed è dunque un numero ben fissato per ogni evento $E$ per il quale sia calcolabile. Naturalmente perché $P(E)$ si possa effettivamente calcolare è necessario che tutti i casi che possono verificarsi siano ugualmente probabili; inoltre occorre saperli enumerare.

Osservazione 4: La probabilità frequentista di un evento $E$ si trova a seguito di esperimenti reali, ovvero testando sul campo un certo numero possibilimente grande di casi; essa può quindi dare risultati differenti ogni volta che viene calcolata. Infatti, se due persone diverse vogliono calcolare la probabilità frequentista che il lancio di una moneta dia come risultato “testa” effettuando 100 lanci ciascuno, solo molto difficilmente otterranno lo stesso numero di prove riuscite e, di conseguenza, la stessa probabilità. È comunque ragionevole che entrambi ottengano un numero di casi favorevoli “vicino” a 50.

Osservazione 5: In base alle osservazioni 3 e 4, deduciamo che la probabilità frequentista va adoperata solo allorché gli eventi in gioco non abbiano tutti la stessa probabilità o quando non si sappia enumerare il numero di casi totali o favorevoli per via matematica. L’apparente discrepanza tra i due tipi di probabilità è riconciliata dalla seguente:

Legge dei grandi numeri: Al crescere del numero di esperimenti effettuati, la probabilità frequentista di un evento tende alla sua probabilità classica.

La legge dei grandi numeri non è un teorema, ma una legge empirica; ciò significa che può essere verificata solo sperimentalmente per tutti quegli eventi di cui si sappiano calcolare entrambi i tipi di probabilità.

Osservazione 6: Poiché il numero $n_f$ di casi favorevoli è certamente minore o uguale del numero $n$ dei casi totali, la probabilità classica di un qualsiasi evento $E$ è sempre tale che \(0 \le P(E) \le 1\). Se la probabilità di un evento è 0, vuol dire che non si verifica in nessun caso ed è quindi impossibile; un evento di probabilità 1 si verifica invece in tutti i casi ed è quindi certo.

Osservazione 7: Similmente a quanto detto nell’osservazione 6, poiché il numero di prove riuscite è certamente minore o uguale di quello di prove totali effettuate, la probabilità frequentista di un qualsiasi evento ? è sempre tale che \(0 \le f(E) \le 1\).

Se \(f(E) = 0 \), non è detto che l’evento sia impossibile, ma solo che esso non si è mai verificato nelle prove: per quanto sia possibile ottenere testa dal lancio di una moneta, non è detto che lanciandola $p$ volte non otterremo tutte croci. Nello stesso modo, un evento tale che $f(E) = 1$ non è certo, ma si è solo verificato in tutte le prove effettuate.

 

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