Esempi elementari di probabilità frequentista

Esempio 1: Si lancia per 10 volte una moneta da 2€, e si ottengono i seguenti risultati:

\( n_{\text{teste}} = 7 \,\,\,\, , \,\,\,\, n_{\text{croci}} = 3 \)

Si calcolino la probabilità frequentista e quella classica relative all’evento \(E= \{\text{esce testa}\}\). Sono uguali? Come mai? Con quale probabilità (classica) è ragionevole aspettarsi che con 10 lanci si verifichi proprio una tale distribuzione di teste e croci?

Per il calcolo della probabilità frequentista, tutto ciò che ci serve sapere è il numero \(p_r = 7\) delle prove riuscite e il numero \(p = 10 \) delle prove effettuate in totale; il risultato sarà allora \(f(E) = \frac{7}{10} = 0.7\) . Per calcolare la probabilità classica dello stesso evento $E$, invece, dobbiamo considerare che su $n=2$ casi possibili (o testa o croce) solo $n_f=1$ è favorevole (testa), col che \(P(E)=\frac{n_f}{n}=\frac{1}{2}=0.5\).

Osserviamo che le due probabilità ottenute non sono uguali: quella frequentista è molto più alta; d’altro canto, se avessimo considerato l’evento \(E_1= \{\text{esce croce}\}\) avremmo avuto \(P(E_1)=0.5\)  e  \(f(E_1)=0.3\), col che la probabilità frequentista sarebbe stata minore di quella classica. Questa disparità è dovuta al piccolo numero di prove effettuate: se invece di 10 ne avessimo fatte 1000, i due numeri ottenuti sarebbero stati assai più simili.

Per rendercene conto, rispondiamo all’ultima richiesta dell’esempio. Il numero totale di possibili risultati scaturiti da 10 lanci di una moneta è \(n=2^{10}=1024\), poiché ad ogni lancio la moneta può cadere in due posizioni differenti. Il numero di casi in cui si ottiene proprio la distribuzione dell’esempio è \(n_f=\begin{pmatrix}10 \\ 7\end{pmatrix}=\frac{10!}{7!3!}=\frac{10\cdot 9 \cdot 8}{6}=120\), poichè si deve scegliere tra i 10 lanci 7 di essi perché siano delle teste. Dunque la probabilità dell’evento in questione sarà \(P(E_2)=\frac{120}{1024}=\frac{15}{128}\approx 0.12\), circa il 12%. Nello stesso modo potremmo calcolare la probabilità che invece si osservi il caso “atteso”, cioè 5 teste e 5 croci. In quel caso avremmo circa il 25%.

Osservazione 1: L’ultima probabilità calcolata in modo classico si potrebbe trovare anche in maniera frequentista, se lo si volesse. A tale scopo occorrerebbe effettuare un numero molto alto di set di 10 lanci ciascuno, osservando in quanti di essi il numero di croci è esattamente 3. Per la legge dei grandi numeri, il risultato finale dei due calcoli sarebbe lo stesso.

Esempio 2: Si supponga di tirare 2 dadi per 100 volte; i risultati ottenuti dalle varie prove sono registrati nel seguente grafico:

 

Probabilita frequentista: lancio di due dadi

 

Si calcolino, esprimendole in percentuale, le probabilità frequentiste dei seguenti eventi:

  • il lancio dà come risultato 10;
  • il lancio dà come risultato un numero pari;
  • i due numeri mostrati dai dadi sono uno pari e uno dispari.

Per trovare le probabilità frequentiste ci occorre in primo luogo il numero $p$ delle prove effettuate; in questo caso sappiamo dall’enunciato che è $p=100$. Quante di tali prove hanno dato come risultato esattamente 10? Osservando il grafico scopriamo che il numero $p_r$ delle rpove riuscite è 8, col che \(f(E_1) = 8100=8\%\).

Per quanto riguarda l’evento $E_2$, occorrerà considerare come favorevoli tutte le prove in cui il risultato è stato un numero pari, e cioè 2, 4, 6, 8, 10 o 12. Per questo motivo il loro numero è $p_r=5+13+17+15+8+9=67$, e la probabilità frequentista di ottenere un risultato pari è \(f(E_2)=\frac{67}{100}=67\%\).

L’ultimo caso pare riguardare eventi i cui dettagli non sono registrati nel nostro grafico: in un caso come questo, occorrerebbe riferirsi alla probabilità classica, o se ciò è impossibile effettuare nuove prove. In realtà però è facile rendersi conto che le eventualità dell’evento $E_3$ sono tutte e sole quelle in cui il risultato del lancio è un numero dispari, e che dunque possiamo dire che \( f(E_3) = 1- f(E_2) = 1 – \frac{67}{100}=\frac{33}{100}=33\% \). Tale calcolo semplificato è lecito in quanto il risultato del lancio è sempre o pari, o dispari.

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