Esempio 1: Supponiamo di avere una scatola contenente gessetti, di cui 10 bianchi e 5 azzurri, e sia ? l’evento “viene estratto un gessetto azzurro”. Come sappiamo, la probabilità di tale evento è \(P(A)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\)
Supponiamo adesso di aver preventivamente diviso i gessetti in due scatole, delle quali una contiene 4 gessetti azzurri e 6 bianchi e l’altra tutti i rimanenti. Vogliamo di nuovo estrarre un solo gessetto, e quel che ci domandiamo è se la probabilità dell’evento ? sia cambiata rispetto a prima oppure no. Per risolvere questo enigma introduciamo due nuovi eventi:
$E_1$: “viene scelto un gessetto dalla prima scatola”
$E_2$: “viene scelto un gessetto dalla seconda scatola”
Com’è chiaro, le due scatole hanno la stessa probabilità di essere scelte: dunque \(P(E_1)=P(E_2) = 1/2\). Quel che cambia è la probabilità di estrarre un gessetto azzurro da ciascuna delle due scatole, ovvero le probabilità condizionate seguenti:
\( P(A/E_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \,\,\,\, , \,\,\,\, P(A/E_2) = \frac{1}{5} \)
Come noto dalle leggi riguardanti le probabilità condizionate relative ad eventi compatibili e dipendenti, la probabilità dell’evento \( A \cap E_i\)∶ “estrazione di un gessetto azzurro dall’i-esima scatola” è, nei due casi,
\( P(A\cap E_1) = P(E_1)P(A/E_1)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} = \frac{1}{5} \,\,\, , \,\,\, P(A\cap E_2) = P(E_2)P(A/E_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{10} \)
Adesso non resta che notare che i due eventi \(A\cap E_1\) ed \(A\cap E_2\) sono incompatibili, e in quanto tali la loro probabilità totale si calcola semplicemente come somma delle singole probabilità. Ne consegue che
\( P(A)=P((A\cap E_1)\cup (A \cap E_2)) = P(A \cap E_1) + P(A \cap E_2) = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} \ne \frac{1}{3} \)
Osservazione 1: A ben pensarci, era evidente sin dall’inizio che avremmo ottenuto un risultato diverso. Infatti, se per esempio la divisione fosse stata tale da mettere tutti i gessetti bianchi in una scatola e tutti gli azzurri nell’altra, il problema sarebbe divenuto equivalente a quello di scegliere la scatola giusta tra due, e avremmo avuto \(P(A) = \frac{1}{2} \ne \frac{1}{3} \).
Definizione 1: Probabilità subordinata.
Siano dati $n$ eventi incompatibili $E_1, E_2, …, E_n$ tali che \(P(E_1)+P(E_2)+\ldots+P(E_n) = 1 \), e sia inoltre dato un ulteriore evento $A$. Allora la probabilità $P(A)$ viene detta subordinata a quelle di $E_1, E_2, …, E_n$, e essa può essere calcolata come
\[ P(A) = \sum_{i=1}^n P(E_i)P(A/E_i) \]
Se in particolare $n=2$, nel qual caso gli eventi $E_1$ ed $E_2$ per ipotesi sono complementari, la formula diviene
\[ P(A) = P(E_1) P(A/E_1)+P(E_2)P(A/E_2) \]
Esempio 2: Si consideri la frase “LO STUDENTE SOLERTE È PROMOSSO”. Con quale probabilità, scelta prima casualmente una delle parole che la compongono, potremo estrarre da essa una consonante? Tale probabilità è maggiore, uguale o minore rispetto a quella di estrarre una consonante direttamente dalla frase, senza prima scegliere una delle parole?
Introduciamo i 5 eventi $E_i$: “Viene scelta l’i-esima parola” per \(i \in \{1, \ldots, 5\}\). Possiamo calcolare subito che \(\forall i \in \{1, \ldots, 5\}, P(E_i) = 1/5 \) : ciò è determinato dal fatto che ogni parola ha la stessa probabilità di essere scelta. In virtù della loro definizione, gli eventi $E_i$ sono tra loro incompatibili, e la somma delle loro probabilità è 1.
Passiamo adesso a calcolare le probabilità condizionate \(P(A/E_i)\), dove naturalmente l’evento $A$ è l’estrazione di una consonante:
\( P(A/E_1)=\frac{1}{2}\,\, , \,\, P(A/E_2)=\frac{5}{8}\,\, , \,\, P(A/E_3)=\frac{4}{7}\,\, , \,\, P(A/E_4)=0\,\, , \,\, P(A/E_5) =\frac{5}{8}\)
Applicando adesso la formula 1 della probabilità subordinata, calcoliamo
\( P(A) = \sum_{i=1}^5 P(E_i)P(A/E_i) = \frac{1}{5}\cdot \Big( \frac{1}{2}+\frac{5}{8}+\frac{4}{7}+0+\frac{5}{8} \Big) = \frac{1}{5}\cdot\frac{65}{28}=\frac{13}{28} \)
Per contro, la probabilità di estrarre una consonante dall’intera frase è \(P(A)=15/26\).
Esempio 3: Sia dato un mazzo di carte numerate da 1 a 9. Da esso si vogliono estrarre due carte, senza rimetterle nel mazzo ad estrazione avvenuta, in modo tale che la loro somma abbia la stessa parità della prima carta estratta. Qual è la probabilità che ciò avvenga?
Consideriamo l’evento $E_1$: “La prima carta estratta è un numero pari”, e poniamo $E_2=bar(E)_1$. Ne consegue che \(P(E_1)=\frac{4}{9}, P(E_2)=\frac{5}{9}\) , che i due eventi $E_1$ ed $E_2$ sono incompatibili e per di più complementari. Con ciò in mente, passiamo a considerare l’evento seguente:
$A$: “La seconda carta è tale che la somma della carte ha la stessa parità della prima carta”
Dalla considerazione che la somma di due numeri pari è pari e che la somma di un numero pari e un numero dispari è dispari, deduciamo che in buona sostanza l’evento $A$ dice
$A$: “La seconda carta è pari”
Calcoliamo le probabilità condizionate \( P(A/E_1) \) e \( P(A/E_2) \), basandoci sulla quantità di carte pari rimaste in ciascuno dei due casi: abbiamo che \( P(A/E_1)=\frac{3}{8}, P(A/E_2) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \). Ciò ci consente di concludere che, adoperando la formula 1,
\( P(A) = P(E_1)P(A/E_1)+P(E_2)P(A/E_2) = \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}+ \frac{5}{9}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{5}{18} = \frac{4}{9} \)
Dunque tale eventualità si verifica quasi nella metà dei casi, e curiosamente ha la stessa probabilità di accadere che l’estrazione di una sola carta pari dal mazzo.
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