Probabilità totale: formule ed esempi

Definizioni

Definizione 1: Probabilità totale.

Siano dati $n$ eventi $E_1, E_2, … , E_n$. Si definisce probabilità totale di $E_1, E_2, … , E_n$ e si indica con il simbolo \(P(E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n)\) la probabilità che si verifichi almeno uno degli $n$ eventi considerati.

Formula 1: Probabilità totale di due o più eventi incompatibili.

Siano dati $n$ eventi incompatibili $E_1, E_2, … , E_n$. La loro probabilità totale si calcola usando la formula seguente: \[ P(E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n) = \sum_{i=1}^n P(E_i)  \]

In particolare, se gli eventi incompatibili sono solo due la formula si riduce a

\[ P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) \]

Formula 2: Probabilità totale di due o più eventi compatibili.

Siano dati $n$ eventi incompatibili $E_1, E_2, … , E_n$. La loro probabilità totale si calcola usando la formula seguente: \[ \begin{equation} P(E_1 \cup E_2 \ldots \cup E_n) = \sum_{b\in \{0,1\}^n} (-1)^{1+\sum_{i=1}^n b_i} P\Big(\bigcap_{i:b_i \ne 0} E_i\Big) \label{eq1}\end{equation}\]

In particolare, se gli eventi incompatibili sono solo due o tre, la formula si riduce a

\[ \begin{equation}P(E_1 \cup E_2 = P(E_1) + P(E_2) – P(E_1 \cap E_2) \label{eq2}\end{equation} \]

\[ \begin{equation}P(E_1 \cup E_2 \cup E_3) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) – P(E_1 \cap E_2) – P(E_1 \cap E_3) – P(E_2 \cap E_3) + P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) \label{eq3}\end{equation}\]

Osservazione 1: Ciò che afferma la formula 2, che può sembrare un po’ complicata, e in sostanza quanto segue: la probabilità totale di $n$ eventi compatibili si calcola sommando la probabilità di ciascuno degli eventi, sottraendo le probabilità composte degli eventi presi due a due, sommando le probabilità composte degli eventi presi tre a tre, sottraendo le probabilità composte degli eventi presi quattro a quattro … e così fino a $n$.

Osservazione 2: È facile capire la motivazione per cui vale la formula \(eqref{eq2}\); consideriamo due eventi compatibili $E_1$ ed $E_2$. Se ci limitiamo a sommare le loro probabilità, avremo considerato due volte l’eventualità che $E_1$ ed $E_2$ si verifichino contemporaneamente: una volta come parte di $E_1$, ed una volta come parte di $E_2$. La probabilità totale si ottiene allora sottraendo una di queste due volte, proprio come fatto nella formula \(\eqref{eq2}\). Ragionamenti simili provano la validità delle altre due formule scritte.

 

Esempi

Esempio 1: Supponiamo di lanciare un dado a sei facce, e consideriamo i seguenti eventi:

$E_1$:  “esce un numero maggiore o uguale a 5”

$E_2$:  “esce una potenza di 2”

Calcoliamo la probabilità totale dei due eventi $E_1$ ed $E_2$.

In primo luogo dobbiamo scoprire se i due eventi sono o meno compatibili. Nel primo caso i risultati favorevoli del lancio sono \(\color{red}{\boxed{5}}\) e \(\color{red}{\boxed{6}}\), mentre nel secondo, \(\color{red}{\boxed{1}} \),  \(\color{red}{\boxed{2}} \) e  \(\color{red}{\boxed{4}} \) ; poiché non esistono risultati favorevoli in comune tra i due eventi, essi sono incompatibili e la formula da adoperare è la prima. Diremo allora che

\( P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) \cup P(E_2) = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \)

La probabilità totale che si verifichi almeno uno dei due eventi è dunque \(5/6\). Questo risultato d’altro canto era prevedibile, poiché l’unico lancio che non rientra in nessuno dei due eventi è \(\color{red}{\boxed{3}} \), e questo naturalmente si verifica con probabilità 1/6.

Esempio 2: Supponiamo di lanciare un dado a sei facce, e consideriamo i seguenti eventi:

$E_1$:  “esce un multiplo di 3”

$E_2$:  “esce una potenza di 2”

$E_3$:  “esce un numero dispari”

Calcoliamo la probabilità totale dei tre eventi $E_1$, $E_2$ ed $E_3$.

Dobbiamo nuovamente scoprire, come nell’esempio precedente, se gli eventi sono o meno compatibili. L’evento $E_2$ è lo stesso che avevamo nell’esempio precedente; i casi favorevoli degli eventi $E_1$ ed $E_3$ sono invece rispettivamente \(\color{red}{\boxed{3}} \), \(\color{red}{\boxed{6}} \) nel primo caso e \(\color{red}{\boxed{1}} \),\(\color{red}{\boxed{3}} \), \(\color{red}{\boxed{5}} \) nel secondo. Dunque l’evento $E_3$ è compatibile con entrambi gli altri due, che invece sono tra loro incompatibili; in totale, i tre eventi formano un insieme compatibile e adopereremo quindi la formula \(\eqref{eq2} \):

\( P(E_1 \cup E_2 \cup E_3) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) – P(E_1 \cap E_2) -P(E_1 \cap E_3) -P(E_2 \cap E_3) + P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) = \)

\( = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} +\frac{1}{2} – 0 – \frac{1}{6} – \frac{1}{6} + 0 = \frac{4}{3} -\frac{1}{3} = 1 \)

Ciò equivale a dire che la probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi $E_1$, $E_2$ o $E_3$ è 1, ovverosia che tale eventualità è certa. Ciò non è una sorpresa, in quanto qualsiasi possibile risultato del lancio del dado rientra in almeno una delle ipotesi.

 

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