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L'appendice conclusiva del libro di Amadori e Lussardi sulla Relatività:
A.1 Tensore energia, impulso nella materia; listati dei principali blocchi dei programmi in PHP di calcolo numerico utilizzati per la RG.
Bibliografia
[1] Manfredo Perdigao Do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhauser, Boston 1992.
[2] Boris Dubrovin, Anatolij Fomenko e Sergej Novikov, Geometria contemporanea: metodi e applicazioni, Editori riuniti, Roma 1988.
[3] Stephen Hawking e George Ellis, The large scale structure of space-time, Cambridge university press, Cambridge, New York 1973.
[4] Lev Davidovic Landau e Evgenij Mihajlovic Lifsic, Meccanica, Boringhieri, Torino 1965.
[5] Lev Davidovic Landau e Evgenij Mihajlovic Lifsic, Teoria dei campi, Editori riuniti, Roma 1999.
[6] Tullio Levi Civita, Lezioni di Calcolo Differenziale assoluto, trad. di E. Persico, Stock editore, Roma 1925.
[7] Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini, Fisica Generale I e II, Liguori editore, Napoli 1995.
[8] Gregory Naber, The Geometry of Minkowski Spacetime, Springer Verlag, New York 1992.
[9] Carlo Rovelli, Quantum gravity, Cambridge university press, Cambridge, New York 2004.
[10] Barry Spain, Calcolo Tensoriale, Edizioni cremonese, Roma 1971.
[11] Robert Wald, General relativity, University Of Chicago Press, Chicago 1984.
Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività
Appendice B 117
}
$ga[$i][$k][$l] = $rga;
}
}
}
}
}
for ($i = 0; $i <= $n; $i++)
{ for ($j = 0; $j <= $n; $j++)
{ for ($k = 0; $k <= $n; $k++)
{ $rga = $ga[$i][$j][$k];
$rga = str_replace("x0", $rx0, $rga);
$rga = str_replace("x1", $rx1, $rga);
$rga = str_replace("x2", $rx2, $rga);
$rga = str_replace("x3", $rx3, $rga);
echo "ga" . $i . $j . $k . " = " . $rga . "<br>";
}
}
}
// tensore di Ricci
echo "<hr>";
echo "<b>Tensore di Ricci</b>
(il carattere ’_’ indica la derivata
parziale) <p>";
for ($i = 0; $i <= $n; $i++)
{ for ($k = 0; $k <= $n; $k++)
Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività
118 Appendice B
{ $rR = "0";
for ($l = 0; $l <= $n; $l++)
{ $rl = "";
if ($l == 0) {$rl = "x0";}
if ($l == 1) {$rl = "x1";}
if ($l == 2) {$rl = "x2";}
if ($l == 3) {$rl = "x3";}
if (strpos($ga[$l][$i][$k], $rl))
{ $rR = $rR . " + ga" . $l .
$i . $k . "_" . $rl;
}
}
for ($l = 0; $l <= $n; $l++)
{ $rk = "";
if ($k == 0) {$rk = "x0";}
if ($k == 1) {$rk = "x1";}
if ($k == 2) {$rk = "x2";}
if ($k == 3) {$rk = "x3";}
if (strpos($ga[$l][$i][$l], $rk))
{ $rR = $rR . " - ga" . $l .
$i . $l . "_" . $rk;
}
}
for ($l = 0; $l <= $n; $l++)
Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività
Appendice B 119
{ for ($m = 0; $m <= $n; $m++)
{ if ($ga[$l][$i][$k] != "0" and
$ga[$m][$l][$m] != "0")
{ $rR = $rR . " + ga" . $l .
$i . $k . " * ga" . $m . $l . $m;
}
}
}
for ($l = 0; $l <= $n; $l++)
{ for ($m = 0; $m <= $n; $m++)
{ if ($ga[$m][$i][$l] != "0" and
$ga[$l][$k][$m] != "0")
{ $rR = $rR . " - ga" . $m .
$i . $l . " * ga" . $l . $k . $m;
}
}
}
$R[$i][$k] = $rR;
}
}
for ($i = 0; $i <= $n; $i++)
{ for ($j = 0; $j <= $n; $j++)
{ $rR = $R[$i][$j];
$rR = str_replace("x0", $rx0, $rR);
$rR = str_replace("x1", $rx1, $rR);
$rR = str_replace("x2", $rx2, $rR);
Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività
120 Appendice B
$rR = str_replace("x3", $rx3, $rR);
echo "R_" . $i . $j . " = " . $rR . "<br>";
}
}
// curvatura scalare
echo "<hr>";
echo "<b>Curvatura scalare</b>
(il carattere ’_’ indica la derivata
parziale) <p>";
$RR = "0";
for ($i = 0; $i <= $n; $i++)
{ for ($j = 0; $j <= $n; $j++)
{ if ($h[$i][$j] != "0" and $R[$i][$j] != "0")
{ $RR = $RR . " + (" . $h[$i][$j] . ") *
(" . $R[$i][$j] . ")";
}
}
}
$rRR = $RR;
$rRR = str_replace("x0", $rx0, $rRR);
$rRR = str_replace("x1", $rx1, $rRR);
$rRR = str_replace("x2", $rx2, $rRR);
$rRR = str_replace("x3", $rx3, $rRR);
echo "R = " . $rRR . "<br>";
// tensore di Einstein
echo "<hr>";
echo "<b>Tensore di Einstein</b>
Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività
Appendice B 121
(il carattere ’_’ indica la derivata
parziale) <p>";
for ($i = 0; $i <= $n; $i++)
{ for ($j = 0; $j <= $n; $j++)
{ $rG = "0 ";
if ($R[$i][$j] != "0" and $g[$i][$j] != "0")
{ $rG = $rG . "+ (" . $R[$i][$j] . ") -
1/2 * (" . $RR . ") * (" . $g[$i][$j] . ")";
}
$G[$i][$j] = $rG;
}
}
for ($i = 0; $i <= $n; $i++)
{ for ($j = 0; $j <= $n; $j++)
{ $rG = $G[$i][$j];
$rG = str_replace("x0", $rx0, $rG);
$rG = str_replace("x1", $rx1, $rG);
$rG = str_replace("x2", $rx2, $rG);
$rG = str_replace("x3", $rx3, $rG);
echo "G_" . $i . $j . " = " . $rG . "<br>";
}
} Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività
122 Appendice B
B.2 Programma Moto di una particella nella me-
trica di Schwarzschild
for ($i = 1; $i <= $ni; $i++)
{ // approssimazione della geodetica
$tduepunti0 = - ($rg / ($r0 * ($r0 - $rg))) *
$tpunto0 * $rpunto0;
$rduepunti0 = - ($c * $c * $rg * ($r0 - $rg) /
(2 * $r0 * $r0 * $r0)) *
$tpunto0 * $tpunto0 + ($rg / (2 * $r0 *
($r0 - $rg))) * $rpunto0 *
$rpunto0 + ($r0 - $rg) *
$fipunto0 * $fipunto0;
$fiduepunti0 = - (2 / $r0) * $rpunto0 *
$fipunto0;
$t1 = $t0 + $tpunto0 * $ds;
$tpunto1 = $tpunto0 + $tduepunti0 * $ds;
$r1 = $r0 + $rpunto0 * $ds;
$rpunto1 = $rpunto0 + $rduepunti0 * $ds;
$fi1 = $fi0 + $fipunto0 * $ds;
$fipunto1 = $fipunto0 + $fiduepunti0 * $ds;
---> disegno punto (fi,r)
$x = $r1 * cos($fi1);
$y = $r1 * sin($fi1);
---> disegno punto (x,y)
// iterazione
$t0 = $t1;
$tpunto0 = $tpunto1;
$r0 = $r1;
$rpunto0 = $rpunto1;
$fi0 = $fi1;
$fipunto0 = $fipunto1;}
Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività
Appendice B 123
B.3 Programma Propagazione della luce nella me-
trica di Schwarzschild
for ($i = 1; $i <= $ni; $i++)
{ // approssimazione della geodetica
$rduepunti0 = ($rg / (2 * $r0 *
($r0 - $rg))) * $rpunto0 *
$rpunto0 + ($r0 - $rg) *
$fipunto0 * $fipunto0;
$fiduepunti0 = - (2 / $r0) * $rpunto0 *
$fipunto0;
$r1 = $r0 + $rpunto0 * $ds;
$rpunto1 = $rpunto0 + $rduepunti0 *
$ds;
$fi1 = $fi0 + $fipunto0 * $ds;
$fipunto1 = $fipunto0 + $fiduepunti0 *
$ds;
---> disegno punto (fi,r)
$x = $r1 * cos($fi1);
$y = $r1 * sin($fi1);
---> disegno punto (x,y)
// iterazione
$r0 = $r1;
$rpunto0 = $rpunto1;
$fi0 = $fi1;
$fipunto0 = $fipunto1;
} Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività
124 Appendice B
Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività
Bibliografia
[1] Manfredo Perdigao Do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhauser, Boston
1992.
[2] Boris Dubrovin, Anatolij Fomenko e Sergej Novikov, Geometria contemporanea:
metodi e applicazioni, Editori riuniti, Roma 1988.
Stephen Hawking e George Ellis, The large scale structure of space-time,
[3] Cambridge university press, Cambridge, New York 1973.
[4] Lev Davidovic Landau e Evgenij Mihajlovic Lifsic, Meccanica, Boringhieri,
Torino 1965.
Lev Davidovic Landau e Evgenij Mihajlovic Lifsic, Teoria dei campi, Editori
[5] riuniti, Roma 1999.
Tullio Levi Civita, Lezioni di Calcolo Differenziale assoluto, trad. di E. Persico,
[6] Stock editore, Roma 1925.
[7] Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini, Fisica Generale I e II, Liguori editore,
Napoli 1995.
[8] Gregory Naber, The Geometry of Minkowski Spacetime, Springer−Verlag, New
York 1992.
[9] Carlo Rovelli, Quantum gravity, Cambridge university press, Cambridge, New
York 2004.
[10] Barry Spain, Calcolo Tensoriale, Edizioni cremonese, Roma 1971.
[11] Robert Wald, General relativity, University Of Chicago Press, Chicago 1984.
125
Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività
126 Bibliografia
Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività
Indice analitico
abbassamento degli indici, 56 derivata covariante di un vettore cova-
riante, 63
accelerazione di gravità, 75 derivata intrinseca, 64
algebra esterna, 55 differenza tra tensori, 53
azione, 13 differenziale assoluto, 64
big crunch, 111 dilatazione di Lorentz, 29
brane, 112 energia a riposo, 41
buco nero, 109 energia cinetica, 12
energia meccanica, 15
cambiamento di coordinate ammissibile, energia potenziale, 12
50 equazione delle onde, 19
campo elettrico, 17 equazione di continuità, 113
campo elettromagnetico, 17 equazione di d’Alambert, 18
campo gravitazionale, 77 equazione parallelismo, 65
campo gravitazionale costante, 87 equazioni di Einstein, 90
campo statico, 87 equazioni di Eulero−Lagrange, 13
campo stazionario, 87 equazioni di Maxwell, 18
cono di luce, 34 espressione differenziale mista, 55
contrazione, 53 etere, 19
contrazione di Lorentz, 28 eventi simultanei, 84
convenzione di Einstein, 51
coordinate, 49 forma differenziale, 55
coordinate geodetiche, 68 formula di Leibniz, 59
costante cosmologica, 110 forza di Lorentz, 44
costante dielettrica del vuoto, 18 funzionale di energia, 68
curvatura, 69 futuro assoluto, 36
curvatura scalare, 70 geodetica, 67
d’alambertiano, 108 gradiente, 51
densità di carica, 18 gravitone, 111
densità di corrente, 18
derivata covariante di un invariante, 59 identità di Bianchi, 71
derivata covariante di un tensore, 63 impulso, 16
derivata covariante di un vettore contro- innalzamento degli indici, 56
variante, 62 intervallo di genere spazio, 35
127
Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività
128 Indice analitico
intervallo di genere tempo, 35 simboli di Christoffel, 61
simbolo di Kronecker, 50
intervallo nullo, 33 sistema di riferimento inerziale, 11
lagrangiana, 12 sistema sincrono, 86
laplaciano, 18 somma tra tensori, 53
linea d’universo, 30 spazio curvo, 70
lunghezza di un vettore, 56 spazio di Minkowski, 32
lunghezza propria del regolo, 28 spazio isotropo, 15
spazio omogeneo, 15
meccanica relativistica, 37 spazio piatto, 70
metrica di Schwarzschild, 94 stringhe, 112
metrica galileiana, 78 supergravità, 112
modello aperto, 111
modello chiuso, 111 tempo omogeneo, 15
modello lagrangiano, 11 tempo proprio, 29, 81
modello piatto, 111 tempo universale, 87
momento angolare, 16 tensore antisimmetrico, 52
tensore completamente antisimmetrico,
onda gravitazionale, 108 52
onde elettromagnetiche, 19 tensore completamente simmetrico, 52
tensore di Ricci, 70
passato assoluto, 36 tensore di Riemann, 70
permeabilità magnetica del vuoto, 18 (p, q),
tensore di tipo 50
polo, 68 tensore energia−impulso, 114
potenziale scalare, 18 tensore metrico, 55
potenziale vettore, 18 tensore simmetrico, 52
primo principio della meccanica, 14 terzo principio della meccanica, 16
principio di equivalenza, 76 trasformazioni di Galileo, 14
principio di equivalenza forte, 80 trasformazioni di Lorentz, 23
principio di minima azione, 13 trasporto per parallelismo, 65
principio di relatività generale, 79
principio di relatività ristretta, 22 velocità della luce, 19
principio di relatvità galileiana, 15 vettore controvariante, 51
prodotto interno, 54 vettore covariante, 51
pseudometrica di Lorentz, 32 vettore tangente, 51
punto d’universo, 30 vettori ortogonali, 57
quadriaccelerazione, 39
quadricorrente, 45
quantità di moto, 16
raggio gravitazionale, 97
raggio vettore quadridimensionale, 31
secondo principio della meccanica, 13