Metodi di risoluzione dei sistemi lineari

In un sistema lineare di equazioni a due incognite, non sempre le equazione ci sono date gi ridotte in forma normale; tuttavia, applicando le regole gi viste per le equazioni lineari ad una incognita, applicando diversi passaggi, possiamo semplificarle, ottenendo equazioni equivalenti.

Vediamo ora due princpi che sono propri dei sistemi, e sono il principio di sostituzione e il principio di riduzione.

Il metodo di sostituzione

Il principio di sostituzione afferma che risolvendo unequazione rispetto ad una incognita e sostituendo al posto di tale incognita, nelle equazioni restanti, lespressione cos trovata, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Consideriamo un sistema lineare di due equazioni in due incognite (

e ); per risolverlo applichiamo i seguenti passaggi:

• riduciamo il sistema in forma normale, utilizzando i tre principi di equivalenza per le sue equazioni;
• risolviamo una delle due equazioni rispetto ad una delle due incognite, cio trasformiamo una delle due equazioni nella forma
  [math]x = A[/math]
  o
  [math]y = B[/math]
  , dove
  [math]A[/math]
  unespressione in cui non compare
  [math]x[/math]
  (ma possono comparire
  [math]y[/math]
  e dei termini noti) e
  [math]B[/math]
  unespressione in cui non compare
  [math]y[/math]
  (ma possono comparire
  [math]x[/math]
  e dei termini noti);
• se abbiamo trovato
  [math]x[/math]
  , sostituiamo alla
  [math]x[/math]
  dellaltra equazione lespressione
  [math]A[/math]
  ; se abbiamo trovato
  [math]y[/math]
  , sostituiamo
  [math]B[/math]
  alla
  [math]y[/math]
  dellaltra equazione; in questo modo, ci troveremo ad avere unequazione in una sola incognita;
• risolviamo lequazione i una sola incognita, determinando il valore di
  [math]x[/math]
  o di
  [math]y[/math]
  ;
• sostituiamo questo valore trovato allaltra equazione, determinando il valore dellaltra incognita.

In questo modo, mediante diversi passaggi, il sistema viene trasformato in sistemi equivalenti.

Esempio

Risolviamo, con il metodo della sostituzione, il seguente sistema:
[
left{ egin{array}{lcr}
3x+1=4y &\
6x+2y-3=0 &
end{array}
ight.]

Scriviamo il sistema in forma normale:
[left{ egin{array}{lcr}
3x-4y=-1 &\
6x+2y=3 &
end{array}
ight.]

Ricaviamo

dalla prima equazione:
[
left{ egin{array}{lcr}
3x=-1+4y &\
6x+2y=3 &
end{array}
ight. Rightarrow
left{egin{array}{ll}
x=-dfrac{1}{3}+dfrac{4}{3}y &\
6x+2y=3 &
end{array}
ight.]

Sostituiamo il valore di x, trovato nella prima equazione, nella seconda:
[
left{
egin{array}{ll}
x=-dfrac{1}{3}+dfrac{4}{3}y &\
6cdotleft(-dfrac{1}{3}+dfrac{4}{3}y
ight)+2y=3 &
end{array}
ight.
]
Risolviamo la seconda equazione, determinando

:
[
left{
egin{array}{ll}
x=-dfrac{1}{3}+dfrac{4}{3}y &\
-2+8y+2y=3 &
end{array}
ight.
left{
egin{array}{ll}
x=-dfrac{1}{3}+dfrac{4}{3}y &\
10y=5 &
end{array}
ight.
left{
egin{array}{ll}
x=-dfrac{1}{3}+dfrac{4}{3}y &\
y=dfrac{1}{2} &
end{array}
ight.]

Sostituiamo il valore di

nella prima equazione, trovando cos anche :
[
left{
egin{array}{ll}
x=-dfrac{1}{3}+dfrac{4}{3}cdotdfrac{1}{2} &\
y=dfrac{1}{2} &
end{array}
ight.
left{
egin{array}{ll}
x=-dfrac{1}{3}+dfrac{2}{3} &\
y=dfrac{1}{2} &
end{array}
ight.
left{
egin{array}{ll}
x=dfrac{1}{3} &\
y=dfrac{1}{2} &
end{array}
ight.
]

Il metodo di confronto

Il metodo di confronto un altro tipo di procedimento che si pu adottare per risolvere sistemi di equazioni lineari in due incognite; vediamo le regole che dobbiamo applicare:

• riduciamo il sistema in forma normale;
• ricaviamo
  [math]x[/math]
  da entrambe le equazioni del sistema e confrontiamo, cio uguagliamo, le due espressioni ottenute, trovando unequazione nella sola incognita
  [math]y[/math]
  ;
• risolviamo questa equazione, determinando il valore di
  [math]y[/math]
  ;
• applichiamo lo stesso procedimento ricavando
  [math]y[/math]
  da entrambe le equazioni.

Esempio

Applichiamo il metodo del confronto al sistema visto nellesempio precedente:
[
left{
egin{array}{ll}
3x-4y=-1 &\
6x+2y=3 &
end{array}
ight.
]
Ricaviamo

da entrambe le equazioni:
[
left{
egin{array}{ll}
x=-dfrac{1}{3}+dfrac{4}{3}y &\
x=dfrac{1}{2}-dfrac{1}{3}y &
end{array}
ight.
]
Uguagliamo le due espressioni ottenute, e risolviamo lequazione in :
[-dfrac{1}{3}+dfrac{4}{3}y=dfrac{1}{2}-dfrac{1}{3}y]

[ frac{4}{3}y+frac{1}{3}y=frac{1}{2}+frac{1}{3} ]

[ frac{5}{3}y = frac{5}{6} ]

[ y = frac{5}{6}cdot frac{3}{5} = frac{1}{2} ]

Allo stesso modo, ricaviamo y da entrambe le equazioni e troviamo

:
[
left{
egin{array}{ll}
y=dfrac{1}{4}+dfrac{3}{4}x &\
y=dfrac{3}{2}-3x &
end{array}
ight.\
dfrac{1}{4}+dfrac{3}{4}x=dfrac{3}{2}-3x \
1+3x=6-12x
ightarrow 15x=5
ightarrow x=dfrac{1}{3}
]

Il metodo di eliminazione

Il metodo di eliminazione pu essere utilizzato per risolvere sistemi lineari di due equazioni in due incognite, si basa sul principio di riduzione:

dato un sistema di due equazioni, se ad una di esse si sostituisce lequazione che otteniamo sommando o sottraendo membro a membro le due equazioni del sistema, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Ecco alcune regole da seguire per applicare questo procedimento:

• si riduce il sistema a forma normale;
• se i coefficienti della incognita
  [math]y[/math]
  nelle due equazioni sono uguali, si passa al punto successivo, altrimenti si moltiplicano entrambi i membri dellequazione per un attore, in modo da rendere i coefficienti di
  [math]y[/math]
  nelle due equazioni uguali;
• se i coefficienti dellincognita
  [math]y[/math]
  sono opposti, si sommano membro a membro le due equazioni, se invece sono uguali si sottraggono membro a membro le due equazioni;
• si risolve lequazione in
  [math]x[/math]
  cos ottenuta;
• si ripetono i passi precedenti per laltra incognita.

Esempio

Applichiamo il metodo del confronto al sistema visto nellesempio precedente:
[
left{
egin{array}{ll}
3x-4y=-1&\
6x+2y=3 &
end{array}
ight.]

Per fare in modo che i coefficienti della

siano uguali, moltiplichiamo la seconda equazione per due:
[
left{
egin{array}{ll}
3x-4y=-1&\
12x+4y=6 &
end{array}
ight.
]
Ora, sommiamo membro a membro i termini delle equazioni, e risolviamo:
[
(3x-4y)+(12x+4y)=-1+6 \
15x=5
ightarrow x=dfrac{1}{3}
]
Applichiamo lo stesso procedimento per il coefficiente della , e moltiplichiamo la prima equazione per due:
[
left{
egin{array}{ll}
6x-8y=-2&\
6x+2y=3 &
end{array}\
ight.
(6x-8y)-(6x+2y)=-2-3\
-10x=-5
ightarrow x=dfrac{1}{2}
]

La regola di Cramer

Questo sistema permette di risolvere velocemente alcuni tipi di sistemi di due equazioni in due incognite. Consideriamo un sistema nella forma:
[
left{
egin{array}{ll}
a_1x+b_1y=c_1&\
a_2x+b_2y=c_2 &
end{array}
ight.
]

Il determinante del sistema il seguente numero:
[a_1b_2-a_2b_1]
che indichiamo in questo modo:
[
D=left|
egin{array}{ll}
a_1&b_2 \
a_2&b_1
end{array}
ight|=a_1b_2-a_2b_1
]

I determinanti delle incognite, invece, si ottengono sostituendo, nella formula del determinante del sistema, i termini noti al posto dei coefficienti dellincognita stessa. Si avr quindi, il determinante di

:
[
D_x=left|
egin{array}{ll}
c_1&b_1 \
c_2&b_2
end{array}
ight|=c_1b_2-c_2b_1
]
e il determinante di :
[
D_y=left|
egin{array}{ll}
a_1&c_1 \
a_2&c_2
end{array}
ight|=a_1c_2-a_2c_1
]
Ora, la soluzione del sistema data da:

[
left{
egin{array}{ll}
x=frac{D_x}{D}&\
y=frac{D_y}{D}
end{array}
ight.
]