Problemi con i sistemi di primo grado

Risoluzione dei problemi

Per alcuni tipi di problemi non basta impostare una sola equazione per giungere alla conclusione, ma necessario impostarne due. Per questo tipo di problemi dobbiamo impostare due equazioni, inserirle in un sistema e risolvere il sistema per determinare la soluzione.

Non possibile stabilire un criterio generale di risoluzione, poich non tutti i problemi sono uguali, e ognuno rappresenta un caso a parte. Tuttavia, possiamo dare delle regole guida generali che ci aiutino ad affrontarli:

• si legge attentamente il problema e si analizzano i dati;
• si individuano le incognite;
• si impongono le eventuali condizioni di accettabilit della soluzione;
• si scrivono due equazioni che esprimono le relazioni tra i dati noti e le incognite;
• si risolve il sistema formato dalle due equazioni cos trovate;
• si confronta la soluzione cos trovata con le condizioni di accettabilit;
• si formula la soluzione del problema.

Ecco alcuni esempi di problemi che richiedono luso di un sistema a due equazioni.

Esempio di problema risolvibile con un sistema lineare

Il semiperimetro di un rettangolo cinque volte la base e laltezza supera di tre centimetri la base.

Determinare le dimensioni del rettangolo.

Il problema chiede esplicitamente di determinare le dimensioni del rettangolo. Assegniamo, quindi, ai lati del rettangolo le due incognite che ci serviranno per impostare il problema:

[url=https://www.skuola.net/news_foto/2015/09/rettangolo.png][/url]

Poich i lati del triangolo sono grandezze geometriche, saranno necessariamente positive; poniamo quindi come condizioni di accettabilit:
[x > 0, y > 0 ]
Ora, potendo esprimere i lati del rettangolo mediante le incognite, possiamo determinare il semiperimetro del rettangolo:

.

Sappiamo che il semiperimetro del rettangolo cinque volte la base; possiamo, quindi, gi scrivere la prima equazione:

Poi, sapendo che laltezza supera di tre centimetri la base, possiamo scrivere anche la seconda equazione:
[mbox{altezza} = mbox{base} + 3space cm\
x = y + 3]
Ora che abbiamo due equazioni, mettiamole a sistema:
Poich abbiamo gi esplicitata la nella seconda equazione, risolviamo il sistema con il metodo della sostituzione:
Abbiamo quindi trovato che la base del rettangolo misura (4space cm), mentre la sua altezza misura (1space cm).

Esempio 2 di problema risolvibile con un sistema lineare

In un negozio di articoli sportivi vi sono 31 scatole di palline da tennis. Alcune scatole contengono 3 palline, altre ne contengono 4, per un totale di 104 palline nel negozio. Determinare il numero di scatole da tre palline e da quattro palline presenti nel negozio.

Poniamo come incognite

ed le informazioni che ci vengono chieste:
[x = mbox{numero di scatole contenenti 3 palline;}\
y = mbox{numero di scatole contenenti 4 palline;}]
Sapendo che nel negozio vi sono in totale 31 palline da tennis, e ipotizzando che queste siano costituite esclusivamente da quella da 3 e 4 palline, possiamo affermare che:
[n^space mbox{tot. di scatole} = n^space mbox{scatole da 3 palline} + n^space mbox{scatole da 4 palline}]
e quindi possiamo creare la prima equazione:
[31 = x + y]
Inoltre, il numero totale delle palline dato da tutte le palline presenti nelle scatole da 3 pi tutte le palline presenti nelle scatole da 4; sapendo che il numero di scatole da 3 palline , e che in ogni scatola sono presenti palline, il numero totale di palline presenti in queste scatole sar ; allo stesso modo, il numero di palline presenti nelle scatole da 4 sar . Possiamo quindi impostare anche la seconda equazione:
[3x + 4y = 104]
Avendo le due equazioni, possiamo creare il sistema:
Risolviamo il sistema con il metodo di eliminazione, moltiplicando la prima equazione per tre:
[(3x+3y)-(3x+4y)=93-104\-y=-11
ightarrow y=11]
Per trovare velocemente laltra incognita, possiamo sostituire il valore di trovato ad una delle due equazioni del sistema:
Abbiamo quindi trovato che, nel negozio, sono presenti 20 scatole di palline contenenti 3 palline, e 11 contenenti 4 palline.