_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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9' di lettura
In questo appunto si descrivono gli asintoti e lo studio di funzione. I componenti immancabili degli studi di funzione, gli asintoti ritornano spesso sia nei programmi di matematica delle scuole superiori che in quelli universitari. Con questo appunto, chiariremo la definizione generale di asintoto, vedremo la differenza tra asintoto orizzontale, verticale ed obliquo e ripercorreremo i punti salienti dello studio di una funzione: uno di questi è proprio il calcolo degli asintoti.

Asintoto

Che cos'è un asintoto, in generale? E quale importanza riveste nel grafico di una funzione?

Data una funzione f, un suo asintoto è una retta alla quale il grafico della funzione si avvicina indefinitamente.

Ciò significa che la curva che rappresenta il grafico della funzione si avvicinerà sempre di più all'asintoto, ma la curva e l'asintoto non si toccheranno mai.

Se vogliamo essere più rigorosi, possiamo affermare che data una funzione

[math] f(x) [/math]
e dato un punto
[math] P [/math]
appartenente alla funzione, allora una certa retta
[math] r [/math]
è un asintoto per
[math] f (x) [/math]
se la distanza del punto
[math] P [/math]
dalla retta
[math] r [/math]
tende a zero mano a mano che il punto scorre lungo la funzione.

Classificazione degli asintoti

Gli asintoti si distinguono in asintoti verticali, asintoti orizzontali ed asintoti obliqui. Vediamo le proprietà caratteristiche di ciascuno di essi.

Asintoto verticale

Gli asintoti verticali approssimano il comportamento di una funzione intorno ai suoi punti di discontinuità.

Una retta di equazione

[math]x = c[/math]
si dice asintoto verticale per il grafico della funzione
[math]f(x)[/math]
se e solo se:

[math] \lim_{x \to x_o} f(x)= \infty [/math]

Gli asintoti verticali vanno ricercati nei punti

[math] x_0 [/math]
di discontinuità della funzione. Un esempio classico sono i valori esclusi dal campo di esistenza, cioè dal dominio della funzione.

Per esempio, se consideriamo la funzione:

[math] f(x) = \frac {3}{4-x} [/math]

Il suo eventuale asintoto verticale va ricercato nell'unico punto di discontinuità della funzione, cioè

[math] x = 4 [/math]
.

Quello che bisogna fare è calcolare il limite:

[math] \lim_{x \to 4} \frac {3}{4-x} [/math]

In questo caso, la funzione avrà come asintoto verticale la retta

[math] x=4 [/math]
.

Asintoto orizzontale

Gli asintoti orizzontali approssimano il comportamento della funzione a uno o ad entrambi gli estremi illimitati del dominio.

Una retta orizzontale di equazione

[math]y=d[/math]
si dice asintoto orizzontale della funzione
[math] f(x) [/math]
se e solo se:

[math] \lim_{x \to \infty} f(x) = d [/math]

Se questo limite esiste ed è finito, l'asintoto orizzontale avrà equazione

[math] y = d [/math]

Ha senso andare alla ricerca degli asintoti orizzontali solo quando il dominio della funzione contiene

[math] + \infty [/math]
oppure
[math] - \infty [/math]
. Per chiarire meglio questo aspetto, facciamo alcuni esempi.

Consideriamo la funzione:

[math] y = \ln x [/math]

Il suo dominio è

[math]D = (0, +\infty) [/math]
. Pertanto, ha senso solo verificare la presenza di un asintoto orizzontale a destra. Non ha senso, invece, calcolare gli asintoti orizzontali per funzioni aventi dominio limitato.

In questo caso, si ha:

[math] \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty [/math]

Questa funzione non possiede alcun asintoto orizzontale.

Consideriamo, poi, la funzione:

[math] y = \frac {x-3}{x^2+x} [/math]

In questo caso, vale che

[math] \lim_{x \to - \infty} = \lim_{x \to + \infty} = 0 [/math]
. Per questo motivo, la retta di equazione
[math] y = 0 [/math]
, cioè l'asse delle ascisse, è asintoto orizzontale sia a sinistra che a destra.

Asintoto obliquo

Anche gli asintoti obliqui, come quelli orizzontali, approssimano il comportamento della funzione agli estremi del campo di esistenza.

Una retta di equazione

[math]y=mx+q[/math]
, con
[math] m \neq 0[/math]
e
[math] q \neq 0 [/math]
si dice asintoto obliquo per la funzione
[math] f (x) [/math]
se e solo se:

[math] \lim_{x \to \infty} [f(x) - (mx+q)] = 0 [/math]

Pertanto, per determinare l'equazione di un asintoto obliquo, occorre conoscere i valori di

[math]m[/math]
e
[math]q[/math]
. Per fare ciò, occorre calcolare due limiti separati. Infatti:

[math] m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} [/math]

[math] q = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx] [/math]

Come avrai notato, devi calcolare necessariamente prima

[math]m[/math]
, altrimenti non puoi procedere al calcolo di
[math]q[/math]
. Ci sarà un asintoto obliquo se entrambi i limiti esistono finiti e, in particolare, se
[math] m \neq 0 [/math]
.

Inoltre, così come per l'asintoto orizzontale, l'asintoto obliquo non esiste se il dominio della funzione è limitato, o se la funzione è periodica. Ricorda anche che ha senso cercare l'asintoto obliquo solo se non esiste già l'asintoto orizzontale.

Consideriamo la funzione:

[math] f(x) = \frac{2x^2-3}{x+4} [/math]

Vale che:

[math] \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3}{x+4} \cdot \frac{1}{x} = 2 [/math]

[math] \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-3}{x+4} - 2x = -8 [/math]

Abbiamo così scoperto che la funzione

[math] f(x) = \frac{2x^2-3}{x+4} [/math]
ha per asintoto obliquo la retta
[math] y = 2x - 8 [/math]

Per ulteriori approfondimenti sugli asintoti vedi anche qua

Studio di funzione

In quest'ultimo riepiloghiamo i punti necessari per svolgere uno studio completo di una funzione di variabile reale.

La ricerca degli asintoti è uno dei punti cardine per lo studio completo di una funzione

[math] f(x) [/math]
. Riepiloghiamoli tutti.

  1. Si determina il dominio
    [math]D[/math]
    della funzione
    [math]f(x)[/math]
    , dopo averla classificata, quindi stabilito se è algebrica, trascendente, intera, fratta, razionale, irrazionale.
  2. Si determinano eventuali simmetrie di
    [math]f[/math]
    , dunque la possibile parità o disparità o, eventualmente, la periodicità.
  3. Si determinano le intersezioni del grafico della funzione con gli assi cartesiani. Data
    [math] y = f(x) [/math]
    . Per trovare le intersezioni con l'asse delle ordinate, si pone
    [math] x = 0 [/math]
    ; per trovare quelle con l'asse delle ascisse, si pone
    [math] y = 0 [/math]
    .
  4. Si studia il segno della funzione ponendo
    [math] f(x) \geq 0 [/math]
    determinando così gli insiemi in cui la funzione risulta positiva, quelle in cui il grafico si trova al di sopra dell'asse delle ascisse, e quelli in cui la funzione è negativa e dunque si trova al di sotto dello stesso asse.
  5. Si cercano gli eventuali asintoti della funzione, come ampiamente descritto in questo appunto.
  6. Si calcola la derivata prima della funzione
    [math] f'(x) [/math]
    e se ne studiano gli intervalli di positività, quelli di negatività e gli zeri. La derivata prima fornisce informazioni sulla crescenza e decrescenza della funzione
    [math] f [/math]
    , oltre a dare informazioni sui suoi punti di massimo e di minimo.
  7. Si calcola la derivata seconda
    [math] f'' [/math]
    e se ne studia il segno, risolvendo la disequazione
    [math] f''(x) \geq 0 [/math]
    . Questo ci consentirà di trovare gli intervalli di convessità della funzione, quelli di concavità e gli eventuali punti di flesso.

Mano a mano che vengono ricavate queste informazioni, si riportano sul grafico, fino ad avere una rappresentazione abbastanza attendibile della funzione

[math] f(x) [/math]
.

Per ulteriori approfondimenti sullo studio di una funzione vedi anche qua

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