Si definisce affinità una corrispondenza biunivoca tra due piani o tra punti dello stesso piano che trasformi rette in rette conservando il parallelismo.
Un’affinità può essere descritta mediante un sistema, grazie al quale possiamo determinare, conoscendo le coordinate di un punto P, le coordinate del punto P’, ottenuto dalla trasformazione.
Consideriamo l’affinità T descritta in questo modo:
L’affinità T trasforma il punto P, di coordinate ( x ; y ), nel punto P’, di coordinate ( x’ ; y’ ); possiamo scrivere, quindi,
Le coordinate del nuovo punto P’ possono essere determinate mediante le seguenti formule, che descrivono l’affinità:
dove la matrice dei coefficienti delle equazioni ha determinante diverso da zero:
Dalle formule precedenti, possiamo dedurre che un punto P ( x ; y ) viene trasformato in un punto P’ le cui coordinate sono
Un punto U che mediante un’affinità viene mandato in se stesso, cioè tale che
Trasformazione inversa
Poiché ogni affinità rappresenta una corrispondenza biunivoca, essa è invertibile, cioè per ogni affinità T esiste la trasformazione inversa, descritta nel seguente modo:
E’ possibile determinare le equazioni della trasformazione inversa utilizzando la condizione
Ricordiamo, inoltre, che in questo caso, la matrice dei coefficienti delle equazioni è l’inversa della matrice A, e il suo determinante è il reciproco di quello di A; si ha, pertanto:
Proprietà invarianti
Ogni trasformazione affine gode di alcune proprietà fondamentali; elenchiamo le principali:
Le rette vengono trasformate in rette, cioè, se si hanno
Tre punti non allineati vengono trasformati in tre punti non allineati; possiamo dire che un triangolo di vertici
Le rette parallele vengono trasformate in rette parallele;
I punti di un segmento di estremi
Il punto medio di un segmento PQ viene trasformato nel punto medio del segmento T(P)T(Q);
Un triangolo di area
Le coniche vengono trasformate in coniche, quindi, le ellissi vengono trasformate in ellissi, le parabole in parabole, le iperboli in iperboli; le circonferenze, invece, vengono solitamente trasformate in ellissi;
Se la retta
Prodotto di trasformazioni
Consideriamo due affinità T e T’ nello spazio a due dimensioni, di
La trasformazione composta, o prodotto,
se A e A’ sono le matrici dei coefficienti delle trasformazioni T e T’, allora la matrice dei coefficienti della trasformazione composta è la matrice del prodotto
In generale, inoltre, il prodotto di due trasformazioni non è commutativo, cioè:
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Questo fatto può essere giustificato poiché il prodotto tra matrici non è commutativo, cioè: