Tuttavia, uno stesso punto può avere coordinate diverse in base al riferimento che stiamo considerando.
Quindi, l'intera equazione di una curva esiste ed è tale in base al tipo di riferimento che consideriamo.
Vediamo ora alcuni tipi di cambio di riferimento.
Traslazione degli assi
Consideriamo i riferimenti cartesiani xOy e XO'Y, paralleli ed equiversi, e ipotizziamo che O' abbia, nel riferimento xOy, coordinate (( x_0 ; y_0 )).Consideriamo il punto P che nei due riferimenti ha coordinate, rispettivamente, ( x ; y ) e ( X ; Y ); allora, le sue coordinate nei due riferimenti sono legate dalle seguenti formule di traslazione:
[ \begin{cases} X = x - x_0 \ Y = y - y_0 end{cases} ,,,, , ,,,, \begin{cases} x = X + x_0 \ y = Y + y_0 end{cases} ]
Grazie a queste formule, possiamo passare dal vecchio sistema di riferimento (xOy) all'altro (XO'Y), traslato rispetto al primo, e viceversa, se conosciamo le coordinate della nuova origine rispetto al vecchio riferimento.
Rotazione degli assi
Consideriamo due riferimenti cartesiani xOy e XOY, di cui quest'ultimo risulta essere ruotato di un angolo (alpha) rispetto al primo.Consideriamo un punto P che ha coordinate ( x ; y ) rispetto al riferimento di partenza, e coordinate ( X ; Y ) rispetto al riferimento ruotato.
Se conosciamo le coordinate del punto P rispetto al sistema xOy, possiamo determinare le sue coordinate rispetto al sistema XOY mediante le seguenti formule:
[ color{red}{\boxed{color{black}{ \begin{cases} X = xcos alpha + y \sin alpha \ Y = -x\sinalpha + y cosalpha end{cases} }}} ]
Da questa relazione, possiamo ottenere le formule inverse, che ci permettono di passare dal riferimento ruotato a quello di partenza.
Notiamo che questo passaggio inverso equivale ad una rotazione dello stesso angolo in senso contrario; le formule inverse, quindi, si possono ottenere semplicemente scambiando x con X, y con Y e (alpha) con (-alpha).
Abbiamo quindi le seguenti formule:
[ \begin{cases} x = Xcos (-alpha) + Y \sin (-alpha) \ y = -X\sin(-alpha) + Y cos(-alpha) end{cases} ]
Tenendo conto delle proprietà delle funzioni goniometriche, otteniamo:
[ color{red}{\boxed{color{black}{ \begin{cases} x = Xcos alpha - Y \sin alpha \ y = X\sinalpha + Y cosalpha end{cases} }}} ]
Rotazioni particolari
Applichiamo la formula della rotazione diretta nel caso di alcuni angoli particolari, di cui siano note le funzioni goniometriche.
Vediamo i casi in cui gli angoli sono multipli di 45°:
- ( alpha = 45° ,,,,, ( alpha = pi/4 ))
[ \begin{cases} X=frac{\sqrt{2}}{2}x + frac{\sqrt{2}}{2}y \ Y = -frac{\sqrt{2}}{2}x+frac{\sqrt{2}}{2}y end{cases} ]
Queste formule possono anche essere scritte ricordando il prodotto matrice-vettore:
[ (X;Y) = \begin{pmatrix} frac{\sqrt{2}}{2} &frac{\sqrt{2}}{2} \ -frac{\sqrt{2}}{2} &frac{\sqrt{2}}{2} end{pmatrix} cdot (x;y) = frac{\sqrt{2}}{2} cdot \begin{pmatrix} 1 &1 \ -1 &1 end{pmatrix} cdot (x;y) ]
- ( alpha = 90° ,,,,,,, ( alpha = pi/2 ))
[ \begin{cases} X=y \ Y=-x end{cases} ]
Esprimendo le formule con il prodotto matrice-vettore:
[ (X;Y) = \begin{pmatrix} 0 &1 \ -1 &0 end{pmatrix} cdot (x;y) ]
- (alpha = 180° ,,,,,,, ( alpha = pi ))
[ \begin{cases} X = -x \ Y = -y end{cases} ]
Con il prodotto matrice-vettore otteniamo la seguente scrittura:
[ (X;Y) = \begin{pmatrix} -1 &0 \ 0 &-1 end{pmatrix} cdot (x;y) ]
- (alpha = 270°,,,,,,, (alpha = 3pi/2 ))
[\begin{cases} X=-y \ Y=x end{cases}]
Scriviamo le formule con il prodotto matrice-vettore:
[ (X;Y) = \begin{pmatrix} 0 &-1 \ 1 &0 end{pmatrix}cdot (x;y) ]
Nel caso degli angoli multipli di 30° abbiamo i seguenti casi:
- (alpha = 30°,,,,, ( alpha = pi/6 ))
[ \begin{cases} X=frac{\sqrt{3}}{2}x + frac{1}{2}y \ Y=-frac{1}{2}x+frac{\sqrt{3}}{2}y end{cases} ]
Possiamo scrivere le formule anche con la seguente notazione:
[ (X;Y) = \begin{pmatrix} frac{\sqrt{3}}{2} &frac{1}{2} \ -frac{1}{2} &frac{\sqrt{3}}{2} end{pmatrix} cdot (x;y) = frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sqrt{3} &1 \ -1 &\sqrt{3} end{pmatrix} cdot (x;y) ]
- (alpha = 60°,,,,, ( alpha= pi/3 ))
[ \begin{cases} X = frac{1}{2}x + frac{\sqrt{3}}{2}y \ Y=-frac{\sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}y end{cases} ]
Anche in questo caso, possiamo esprimere le formule con il prodotto matrice-vettore:
[ (X;Y) = \begin{pmatrix} frac{1}{2} &frac{\sqrt{3}}{2} \ -frac{\sqrt{3}}{2} &frac{1}{2} end{pmatrix} cdot (x;y) = frac{1}{2}cdot \begin{pmatrix} 1 &\sqrt{3} \ -\sqrt{3} &1 end{pmatrix} cdot (x;y) ]