_stan
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Vediamo alcune curve particolari, le cui equazioni sono espresse in coordinate polari.

1. Consideriamo la curva di equazione (
u = cos (t)).

Questa curva rappresenta una semiretta che forma l'angolo di ampiezza (
u) con l'asse polare; ad esempio, consideriamo il caso in cui l'angolo in questione misuri (pi/6); il grafico in questione è il seguente:

Grafico in coordinate polari

2. Analizziamo la curva (\rho = a = cos (t)).

Il luogo dei punti del piano P che hanno distanza costante uguale ad

[math]a[/math]
dal polo O è una

circonferenza di centro O e raggio

[math]a[/math]
.
Il grafico che corrisponde a questo tipo

di curva è il seguente:

Circonferenza in coordinate polari

3. Vediamo ora la curva di equazione ( \rho cdot \sin (
u) = a = cos (t) )

Dato che (y = \rho cdot \sin (
u)), questa curva è una retta parallela all'asse

[math]x[/math]
, in particolare si tratta della retta di equazione
[math]y = a[/math]
.

Volendola rappresentare nel piano, otteniamo il seguente grafico, nel caso in cui si ha

(a = 1/2):

Parallela all'asse x in coordinate polari

4. Consideriamo una curva simile alla precedente, la curva di equazione ( \rho cdot cos (
u) = a = cos (t)).

In questo caso, abbiamo che (x = \rho cdot cos (
u)), cioè l'equazione rappresenta una retta parallela all'asse

[math]y[/math]
, che possiamo anche scrivere in questo modo:
[math]x = a[/math]
.

Il suo grafico risulta essere il seguente, nel caso in cui si ha (a = 1/2):

Grafico retta parallela all'asse y in coordinate polari

5. Consideriamo l'equazione (\rho = a cdot \sin (
u)) , essendo (
u) compreso tra

[math]0[/math]
e (pi).

Osserviamo, prima di tutto, che per (
u = 0) e per (
u = pi), si ha che (\rho = 0), quindi la curva passa per l'origine; inoltre, sapendo che valgono le seguenti relazioni:

[ \rho = \sqrt{x^2+y^2} ,,,,, , ,,,, \sin
u = frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} ]

sostituendole nell'equazione di partenza otteniamo:

[ \sqrt{x^2+y^2} = a cdot frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} ]

e moltiplicando abbiamo la seguente equazione in

[math]x[/math]
e
[math]y[/math]
:

[ x^2+y^2 -ay = 0 ]

cioè, l'equazione di una circonferenza di centro (( 0 ; a/2 )) e raggio (a/2);

vediamo il grafico, per esempio, della circonferenza di equazione (\rho = 5 cdot \sin (
u)):

Grafico curva in coordinate polari

6. Consideriamo ora un'equazione simile alla precedente: (\rho = a cdot cos (
u)) , con (
u) compreso tra (-pi/2 mbox{ e } pi/2).

Notiamo subito che per (
u = -pi/2) e per (
u = pi/2) si ha che (\rho = 0), quindi possiamo concludere che la curva passa per l'origine. Così come nel caso precedente, abbiamo che la curva rappresenta una circonferenza di centro (( a/2 ; 0 )) e raggio (a/2).

Vediamo il grafico, per esempio, della circonferenza di equazione (\rho = 5 cdot \sin (
u)).

grafico-funzione-in-coordinate-polari

Le coniche

Le coniche cono delle curve che si possono ottenere dalla seguente equazione:

[ a_1x^2+b_1y^2+c_1xy+d_1x+e_1y+f_1 = 0 ]

che può rappresentare una parabola, un'iperbole, un'ellisse, o una conica degenere; in particolare, le coniche possono essere distinte in base al valore di: ( c_1^2-4a_1b_1).

Abbiamo quindi i seguenti casi:

[ c_1^2-4a_1b_1 = 0 \rightarrow mbox{parabola}]

[c_1^2-4a_1b_1 gt 0 \rightarrow mbox{iperbole}]

[ c_1^2-4a_1b_1 lt 0 \rightarrow mbox{ellisse} ]

Le coniche in coordinate polari

Una conica può essere descritta tramite alcune caratteristiche: il fuoco, la direttrice, e l'eccentricità.

In particolare, dati il fuoco F e la direttrice non passante per F, una conica può essere descritta come il luogo dei punti P del piano per i quali è costante il rapporto (

[math]e[/math]
) delle distanze dal fuoco (
[math]PF[/math]
) e dalla direttrice (
[math]PH[/math]
).

[ C = Big{ P Big| frac{overline{PF}}{overline{PH}} = e ,,, ; ,,, e in mathbb{R}^{+}_0 Big} ]

In particolare, in base al valore di

[math]e[/math]
possiamo distinguere i seguenti casi:
  • se
    [math]e = 1[/math]
    la conica è una parabola;
  • se (0 lt e lt 1) la conica è un'ellisse;
  • se (e gt 1) la conica è un'iperbole.

In un sistema di coordinate polari, consideriamo il fuoco

[math]F[/math]
come coincidente con il polo, l'asse polare la perpendicolare per
[math]F[/math]
alla direttrice ( orientata dalla direttrice al fuoco ), e (d gt 0) la distanza di
[math]F[/math]
dalla direttrice.

Allora, l'equazione in forma polare di una conica risulta essere del tipo:

[ \rho = frac{a}{1pm e cdot cos
u} ]

Dove, (\rho) è la distanza del punto

[math]P[/math]
dal fuoco ( (\rho) e (
u) sono le coordinate polari del punto
[math]P[/math]
),
[math]a[/math]
è il prodotto (d cdot e).

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