1. Consideriamo la curva di equazione (
u = cos (t)).
Questa curva rappresenta una semiretta che forma l'angolo di ampiezza (
u) con l'asse polare; ad esempio, consideriamo il caso in cui l'angolo in questione misuri (pi/6); il grafico in questione è il seguente:
2. Analizziamo la curva (\rho = a = cos (t)).
Il luogo dei punti del piano P che hanno distanza costante uguale ad
circonferenza di centro O e raggio
di curva è il seguente:
3. Vediamo ora la curva di equazione ( \rho cdot \sin (
u) = a = cos (t) )
Dato che (y = \rho cdot \sin (
u)), questa curva è una retta parallela all'asse
Volendola rappresentare nel piano, otteniamo il seguente grafico, nel caso in cui si ha
(a = 1/2):
4. Consideriamo una curva simile alla precedente, la curva di equazione ( \rho cdot cos (
u) = a = cos (t)).
In questo caso, abbiamo che (x = \rho cdot cos (
u)), cioè l'equazione rappresenta una retta parallela all'asse
Il suo grafico risulta essere il seguente, nel caso in cui si ha (a = 1/2):
5. Consideriamo l'equazione (\rho = a cdot \sin (
u)) , essendo (
u) compreso tra
Osserviamo, prima di tutto, che per (
u = 0) e per (
u = pi), si ha che (\rho = 0), quindi la curva passa per l'origine; inoltre, sapendo che valgono le seguenti relazioni:
[ \rho = \sqrt{x^2+y^2} ,,,,, , ,,,, \sin
u = frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} ]
sostituendole nell'equazione di partenza otteniamo:
[ \sqrt{x^2+y^2} = a cdot frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} ]
e moltiplicando abbiamo la seguente equazione in
[ x^2+y^2 -ay = 0 ]
cioè, l'equazione di una circonferenza di centro (( 0 ; a/2 )) e raggio (a/2);
vediamo il grafico, per esempio, della circonferenza di equazione (\rho = 5 cdot \sin (
u)):
6. Consideriamo ora un'equazione simile alla precedente: (\rho = a cdot cos (
u)) , con (
u) compreso tra (-pi/2 mbox{ e } pi/2).
Notiamo subito che per (
u = -pi/2) e per (
u = pi/2) si ha che (\rho = 0), quindi possiamo concludere che la curva passa per l'origine. Così come nel caso precedente, abbiamo che la curva rappresenta una circonferenza di centro (( a/2 ; 0 )) e raggio (a/2).
Vediamo il grafico, per esempio, della circonferenza di equazione (\rho = 5 cdot \sin (
u)).
Le coniche
Le coniche cono delle curve che si possono ottenere dalla seguente equazione:[ a_1x^2+b_1y^2+c_1xy+d_1x+e_1y+f_1 = 0 ]
che può rappresentare una parabola, un'iperbole, un'ellisse, o una conica degenere; in particolare, le coniche possono essere distinte in base al valore di: ( c_1^2-4a_1b_1).
Abbiamo quindi i seguenti casi:
[ c_1^2-4a_1b_1 = 0 \rightarrow mbox{parabola}]
[c_1^2-4a_1b_1 gt 0 \rightarrow mbox{iperbole}]
[ c_1^2-4a_1b_1 lt 0 \rightarrow mbox{ellisse} ]
Le coniche in coordinate polari
Una conica può essere descritta tramite alcune caratteristiche: il fuoco, la direttrice, e l'eccentricità.
In particolare, dati il fuoco F e la direttrice non passante per F, una conica può essere descritta come il luogo dei punti P del piano per i quali è costante il rapporto (
[ C = Big{ P Big| frac{overline{PF}}{overline{PH}} = e ,,, ; ,,, e in mathbb{R}^{+}_0 Big} ]
In particolare, in base al valore di
- se [math]e = 1[/math]la conica è una parabola;
- se (0 lt e lt 1) la conica è un'ellisse;
- se (e gt 1) la conica è un'iperbole.
In un sistema di coordinate polari, consideriamo il fuoco
Allora, l'equazione in forma polare di una conica risulta essere del tipo:
[ \rho = frac{a}{1pm e cdot cos
u} ]
Dove, (\rho) è la distanza del punto
u) sono le coordinate polari del punto