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di _stan
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In questo appunto vengono definite e analizzate le isometrie e le traslazioni (un caso particolare di isometria), l’appunto comprende esempi e formule analitiche e si conclude con un approfondimento sulla composizione di traslazioni.

Le isometrie

Un'isometria è un'affinità tra i punti del piano che conserva le distanze.

In particolare, un'isometria trasforma i segmenti in segmenti di uguale lunghezza, i cerchi in cerchi di uguale raggio, le rette perpendicolari in rette perpendicolari, i triangoli equilateri in triangoli equilateri di uguale lato, i quadrati in quadrati di uguale lato.

L'isometria più semplice è l'identità I, cioè la trasformazione descritta dalle seguenti equazioni:

[math]I: \begin{cases} x' = x \\ y' = y \end{cases}[/math]

In questo caso, quindi, la matrice associata, cioè la matrice dei coefficienti, è data da:

[math]A= \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix} \rightarrow det(A) = 1[/math]

Le isometrie possono essere di varie tipologie; alcune di esse sono, per esempio, le traslazioni, le rotazioni, le simmetrie rispetto a un punto, o a una retta, e anche le trasformazioni che si ottengono componendo due o più trasformazioni di questo tipo.

Per ulteriori approfondimenti sull’isometria vedi anche qua

Le traslazioni

Si definisce traslazione di vettore v la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che ad ogni punto P associa il punto P' tale che:
[math]\overrightarrow{PP'} = \overrightarrow{v}[/math]

Come abbiamo detto prima, la traslazione è una isometria; consideriamo due punti del piano P e Q, e i loro corrispondenti P' e Q', e supponiamo che questi siano generati da una traslazione di vettore v.

Traslazione di due punti nel piano

In questo caso, si ha:

[math]\overrightarrow{PP'} = \overrightarrow{v}[/math]

[math]\overrightarrow{QQ'} = \overrightarrow{v}[/math]

La trasformazione inoltre preserva le distanze, in quanto i segmenti PQ e P'Q' sono congruenti.

Notiamo che, se il vettore che descrive la traslazione è diverso dal vettore nullo, cioè:

[math]\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}[/math]

nessun punto può essere mandato in se stesso, tutti subiscono uno spostamento quindi, possiamo affermare che la trasformazione non ha punti uniti.

Viceversa, se il vettore della trasformazione è proprio il vettore nullo, cioè:

[math]\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}[/math]

la traslazione è un'identità che fa corrispondere ad ogni punto se stesso.

Formule analitiche

Una traslazione può essere descritta da formule analitiche; in particolare, se un punto P, di coordinate ( x ; y ), viene traslato di un vettore v = ( p ; q ), e il suo corrispondente è il punto P', di coordinate ( x' ; y' ); è possibile determinare le coordinate del nuovo punto mediante le seguenti equazioni:
[math]\tau_{\overrightarrow{v}} : \begin{cases} x'=x+p \\ y' = y + q \end{cases}[/math]

dove, la matrice dei coefficienti è:

[math]\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix} \rightarrow det(A) = 1[/math]

In particolare, possiamo anche determinare le equazioni che descrivono la trasformazione inversa, cioè la traslazione di vettore - v; le equazioni della traslazione inversa sono:

[math]\tau_{-\overrightarrow{v}} : \begin{cases} x'=x-p \\ y' = y +-q \end{cases}[/math]

Esempio:

Consideriamo il segmento OP, che ha un estremo nell'origine O(0;0), e l'altro nel punto P (3; 4), e trasliamo il segmento di un vettore v(3; 1).

Per determinare le coordinate degli estremi del segmento traslato, basta sostituire le coordinate dei punti, e il valore del vettore, alle equazioni della traslazione:

[math]\tau_{-\overrightarrow{v}} : \begin{cases} x'=x-p \\ y' = y -q \end{cases}[/math]

ricordando che, nel nostro caso, abbiamo:

[math]x_P = 3 ,,,, , ,,,, y_P = 4[/math]

[math]x_O = 0 ,,,, , ,,,, y_O = 0[/math]

[math]p = 3 ,,,, , ,,,, q = 1[/math]

Formule analitiche delle traslazioni di due punti nel piano

Determiniamo, quindi, i nuovi punti O' e P':

[math]O' : \begin{cases} x'=0+3=3 \\ y'=0+1=1 \end{cases} \rightarrow O'(3;1)[/math]

[math]P' : \begin{cases} x'=3+3=6 \\ y'=4+1=5 \end{cases} \rightarrow P'(6;5)[/math]

Per ulteriori approfondimenti sul piano cartesiano e le coordinate di un punto vedi anche qua

Composizione di traslazioni

Come abbiamo visto in precedenza, due trasformazioni possono essere composte; in questo caso, consideriamo due traslazioni di vettori, rispettivamente, v e u, tali che:
[math]\tau_{\overrightarrow{v}}: P \rightarrow Q | \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{v}[/math]

[math]\tau_{\overrightarrow{u}}: Q \rightarrow R | \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{u}[/math]

Notiamo che il punto P viene traslato di vettore v e si trasforma nel punto Q, il quale, poi, viene traslato nel punto R mediante un vettore u; possiamo quindi dire che il punto P viene traslato nel punto R mediante la composizione delle due traslazioni, e possiamo scrivere:

[math]\tau = \tau_{\overrightarrow{u}} \ast \tau_{\overrightarrow{v}}[/math]

Il vettore che descrive lo spostamento di P in R è dato dalla somma dei vettori u e v.

Composizione di traslazioni

La composizione di traslazioni gode della proprietà commutativa, in quanto si ha:

[math]\tau = \tau_{\overrightarrow{u}} \ast \tau_{\overrightarrow{v}} = \tau_{\overrightarrow{v}} \ast \tau_{\overrightarrow{u}}[/math]

Questa proprietà vale perché il vettore che rappresenta lo spostamento di P in R è dato dalla somma dei due vettori u e v, e sappiamo che la somma di vettori gode della proprietà commutativa.

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