Definizioni e concetti relativi alla similitudine e ometetia

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In questo appunto viene descritto che cosa si intenda per similitudine e omotetia, attraverso la descrizione dei concetti fondamentali, definizioni e teoremi base per comprendere appieno l'argomento.

Similitudine

Una similitudine (definita anche come

[math]\Sigma[/math]

) non è altro che un'affinità tra punti del piano che mantiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti, cioè se AB, A'B' e CD, C'D' sono due coppie qualsiasi di segmenti corrispondenti, si ha la seguente relazione matematica:

[math]\frac{A'B'}{AB} =\frac{C'D'}{CD} = k[/math]

Dove questi rapporti esprimono proprio il concetto di similitudine tra punti del piano, ed è dunque un rapporto che deve risultare sempre costante, andando così a confermare quanto detto prima.

Formule analitiche

Anche nel caso della similitudine, si possono ottenere delle formule analitiche che descrivono la trasformazione.

Si procede andando a distinguere, però, il caso in cui si abbia una similitudine diretta, e una similitudine inversa.
Abbiamo le seguenti equazioni nel caso della similitudine diretta risultano essere le seguenti qui riportate:

[math]\Sigma[/math]

[math]x'=ax-by+p [/math]

[math] y'=bx+ay+q [/math]

E la matrice dei coefficienti A ha determinante positivo, infatti deve risultare come segue:

[math][ \mbox{det}(A) = \mbox{det}\begin{pmatrix} a&-b \\ b&a\\ \end{pmatrix} = a^2+b^2 \gt 0 ][/math]

Nel caso della similitudine indiretta, invece, abbiamo le seguenti equazioni riportate qui di seguito:

[math]\Sigma [/math]

[math]x'=ax-by+p[/math]

[math]y'=bx-ay+q [/math]

E, in questo caso, la matrice A dei coefficienti ha determinante negativo, infatti abbiamo:

[math] \mbox{det}(A) = \mbox{det}\begin{pmatrix} a&b \\ b&-a \\ \end{pmatrix} = -a^2-b^2 \lt 0 [/math]

Il rapporto costante tra segmenti corrispondenti è detto rapporto di similitudine, ed è dato dalla seguente formula qui riportata:

[math]k = \sqrt{a^2+b^2}[/math]

Possiamo notare che le isometrie sono particolari similitudini di rapporto

[math]k = 1[/math]

; in particolare, le traslazioni e le rotazioni sono similitudini dirette, mentre la simmetria assiale è una similitudine indiretta.

Proprietà
Qui di seguito verranno descritte le proprietà fondamentali delle similitudini.
Una similitudine ha le stesse proprietà di un'affinità, e inoltre, è una trasformazione, che prevede dunque le seguenti trasformazione:

triangoli in triangoli simili;
rette perpendicolari in rette perpendicolari;
circonferenze in circonferenze.

Inoltre, se F e F' sono due figure corrispondenti nella similitudine di rapporto k, allora siamo in presenza di queste situazioni particolari, qui di seguito descritte:

il perimetro di F' è uguale al perimetro di F moltiplicato per la costante k;
l'area di F' è uguale all'area di F moltiplicata per il quadrato della costante k.

Omotetia

Abbiamo descritto che cosa si intendeva per similitudine, passiamo ora all'argomento successivo della lezione: "Omotetia".
Consideriamo un punto C del piano e un numero reale k non nullo. Si definisce omotetia di centro C e rapporto a la corrispondenza biunivoca tra punti del piano che ad ogni punto P fa corrispondere in modo univoco il punto P', in modo che:

[math]\vec{CP'} = a \vec{CP} [/math]

In particolare, possiamo notare le seguenti cose particolari, ovvero:

se
[math](a \gt 0) [/math]
i punti P e P' sono dalla stessa parte rispetto al punto C;
se
[math](a \lt 0) [/math]
i punti P e P' sono dalla parte opposta rispetto al punto C.

Omotetia di centro C

Vediamo ora cosa caratterizza un'omotetia in casi particolari. Qui di seguito un elenco dei casi su cui dobbiamo andare a porre e focalizzare la nostra attenzione:

se
[math]a = 1[/math]
abbiamo che ad ogni punto P del piano corrisponde se stesso, quindi, l'omotetia è un'identità; inoltre, possiamo dire che tutti i punti del piano sono punti uniti;
se
[math]a = -1[/math]
ad ogni punto P del piano corrisponde il suo simmetrico rispetto al punto C, e l'omotetia si trasforma quindi in una simmetria centrale di centro C;
se
[math](| a | \gt 1)[/math]
si ha una dilatazione;
se
[math](0 \lt | a | \lt 1)[/math]
si ha una contrazione;
se
[math](a \le 1) [/math]
l'unico punto unito è il centro C e ogni retta passante per C si trasforma in se stessa, ed è quindi unita anch'essa.

L'inversa di un'omotetia di centro C e rapporto a è un'omotetia di centro C e rapporto (1/a) come segue:

[math] \omega_{C,a}^{-1} = \omega_{C, \frac{1}{a}} [/math]

Formule analitiche

Consideriamo un punto del piano (P(x; y)) e il suo corrispondente (P'(x'; y')) derivato dall'omotetia di centro (C(x_0; y_0)). Se

[math]a[/math]

è il rapporto dell'omotetia, le formule analitiche che la descrivono sono le seguenti riportate qui di seguito:

[math]\omega_{C,a} [/math]

[math]x'=a(x-x_0)+x_0 [/math]

[math]y'=a(y-y_o)+y_0[/math]

In particolare, le equazioni possono essere scritte in questa forma riportata qui di seguito:

[math]\omega_{C,a}[/math]

[math]x'=ax+h [/math]

[math]y'=ay+k [/math]

Dove possiamo osservare che l'omotetia è un caso particolare di similitudine; la matrice associata, infatti, è la seguente riportata qui di seguito:

[math] A = \begin{pmatrix} a&0 \\ 0&a \\ \end{pmatrix} ,,,, , ,,,, \mbox{det}(A) = a^2[/math]

Poiché il determinante della matrice associata è sempre positivo, se a è diverso da zero, possiamo affermare che l'omotetia è una similitudine diretta.

Composizione di omotetie aventi lo stesso centro

Consideriamo due omotetie di centro (C(x_0; y_0)), e di rapporti

[math]k_1[/math]

[math]k_2[/math]

; la loro composizione è data da:

[math]\omega_{C,k} =\omega_{C,k_2} \ast \omega_{C, k_1}[/math]

Da cui dunque il rapporto della loro composizione è dato dal prodotto dei rapporti delle omotetie di partenza. Pertanto osserveremo la seguente situazione:

[math]k = k_1 \cdot k_2[/math]

In particolare, la composizione di omotetie gode della proprietà commutativa, in quanto si ha la seguente situazione matematica:

[math]\omega_{C,k} =\omega_{C,k_2} \ast \omega_{C,k_1} =\omega_{C,k_1} \ast \omega_{C,k_2}[/math]