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di _stan
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Definizione

Una trasformazione T si dice lineare se è del tipo:

[math] \displaystyle T: \mathbb{R}^2 \times\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \times\mathbb{R}^2 [/math]

[math] \displaystyle (x;y) \rightarrow (x';y') [/math]

descritta dalle seguenti equazioni:

[math] \displaystyle \begin{cases} x' = ax + by \\ y' = cx + dy \end{cases} [/math]

La matrice A, del tipo:

[math] \displaystyle A = \begin{pmatrix} a&b \\ b&c \end{pmatrix} [/math]

si dice associata alla trasformazione, e se il suo determinante non è nullo, allora la trasformazione è un'affinità.

Esempio: Una trasformazione lineare pu presentarsi in questo modo:

[math] \displaystyle T: \mathbb{R}^2 \times\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \times\mathbb{R}^2 [/math]

[math] \displaystyle (x; y) \rightarrow (x+y; 2x-y) [/math]

In tal caso, la matrice associata alla trasformazione è la seguente:

[math] \displaystyle A = \begin{pmatrix} 1&1 \\ 2&-1 \end{pmatrix} [/math]

e, poiché il suo determinante è uguale a -3, ed è quindi diverso da zero, possiamo affermare che la trasformazione è un'affinità.

Proprietà

Vediamo ora alcune proprietà che caratterizzano le trasformazioni lineari:
  • Il punto O(0 ; 0) viene trasformato in se stesso, ed è quindi un punto unito;
  • per ogni coppia di vettori
    [math] \vec{u} [/math]
    e
    [math] \vec{v} [/math]
    di
    [math]R^2[/math]
    , indichiamo
    [math]T(u)[/math]
    e
    [math]T(v)[/math]
    i loro trasformati rispetto a
    [math]T[/math]
    ; se
    [math]h[/math]
    e
    [math]k[/math]
    sono due numeri reali qualsiasi, abbiamo che:
    [math] \displaystyle T(h\vec{u}+k\vec{v} = hT(\vec{u}) + kT(\vec{v}) [/math]
    cioè, il trasformato di una combinazione lineare tra due vettori equivale alla combinazione lineare dei trasformati dei vettori stessi.

Operazioni

Nell'insieme delle trasformazioni di
[math]R^2[/math]
in
[math]R^2[/math]
, possiamo definire numerose operazioni di tipo algebrico; in particolare, le trasformazioni possono essere sommate tra loro, possono essere moltiplicate per un numero reale o tra loro.

Somma di due trasformazioni

Se

[math]T[/math]
e
[math]T'[/math]
sono due trasformazioni lineari di
[math]R^2[/math]
in
[math]R^2[/math]
, definiamo la loro somma
[math]T + T'[/math]
la seguente trasformazione:

[math] \displaystyle T+T': (x; y) \rightarrow T(x; y) + T'(x; y) [/math]

Ipotizziamo che la matrice associata alla trasformazione

[math]T[/math]
sia la matrice
[math]A[/math]
, e la matrice associata alla trasformazione
[math]T'[/math]
sia la matrice
[math]B[/math]
, e che siano così composte:

[math] \displaystyle A = \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2} \ a_{2,1}&a_{2,2} \end{pmatrix} \, \, \, \, B = \begin{pmatrix} \end{pmatrix} [/math]

Ciò significa che le trasformazioni

[math]T[/math]
e
[math]T'[/math]
sono tali che:

[math] \displaystyle T: (x;y) \rightarrow (a_{1,1}x+a_{1,2}y; a_{2,1}x+a_{2,2}y) [/math]

[math] \displaystyle T: (x;y) \rightarrow (b_{1,1}x+b_{1,2}y; b_{2,1}x+b_{2,2}y) [/math]

Allora, possiamo sommare le due trasformazioni, e ottenere la seguente trasformazione:

[math] \displaystyle T+T': (x;y) \rightarrow(a_{1,1}x+a_{1,2}y; a_{2,1}x+a_{2,2}y)+(b_{1,1}x+b_{1,2}y; b_{2,1}x+b_{2,2}y) [/math]

in particolare, poiché é possibile sommare due matrici, la matrice della somma delle trasformazioni è così composta:

[math] \displaystyle A+B=\begin{pmatrix} a_{1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2} \\ a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2} + b_{2,2} \end{pmatrix} [/math]

La somma di due trasformazioni gode delle seguenti proprietà:

  • Proprietà associativa:
    [math] \displaystyle T+(T'+T'') = (T+T')+T'' [/math]
  • Esistenza dell'elemento neutro: l'elemento neutro per la somma di trasformazioni lineari è la trasformazione
    [math]T_0[/math]
    che fa corrispondere ad ogni punto il vettore nullo, cioè:

    [math] \displaystyle T_0: (x;y) \rightarrow (0;0) [/math]

    In questo caso, risulta essere nulla anche la matrice associata alla trasformazione; lelemento neutro per la somma di trasformazioni è tale che:

    [math] \displaystyle T_0 + T = T+T_0 = T [/math]

  • Esistenza della trasformazione opposta: la trasformazione opposta di una trasformazione
    [math]T[/math]
    è la trasformazione
    [math]-T[/math]
    , definita in questo modo:

    [math] \displaystyle -T: (x;y) \rightarrow -T(x;y) [/math]

    Possiamo affermare che, sommando una trasformazione con la sua opposta otteniamo la trasformazione nulla; in particolare, la matrice associata alla trasformazione opposta è la matrice opposta di quella associata alla trasformazione

    [math]T[/math]
    .
  • Proprietà commutativa: possiamo sommare due trasformazioni non tenendo conto dell'ordine con cui lo facciamo:

    [math] \displaystyle T+T' = T'+T [/math]

Prodotto di una trasformazione per un numero reale

Definiamo il prodotto di un numero reale
[math]k[/math]
per una trasformazione
[math]T[/math]
la seguente trasformazione:

[math] \displaystyle kT: (x;y) \rightarrow k \cdot [T(x;y)] [/math]

Se

[math]A[/math]
è la matrice associata alla trasformazione
[math]T[/math]
, la matrice associata alla trasformazione
[math]kT[/math]
la matrice
[math]kA[/math]
.

Proprietà del prodotto

  • Proprietà distributiva rispetto alla somma di trasformazioni:

    [math] \displaystyle k(T+T') = kT+kT' [/math]

  • Proprietà distributiva rispetto alla somma in
    [math]R[/math]
    :

    [math] \displaystyle (h+k) \cdot T = hT + kT [/math]

  • Proprietà associativa:

    [math] \displaystyle h(kT) = (hk)t [/math]

Composizione o prodotto di trasformazioni

Il prodotto di due trasformazioni, o composizione,
[math]T[/math]
e
[math]T'[/math]
trasformazioni lineari, è la trasformazione che si ottiene applicando
[math]T'[/math]
ad ogni punto
[math]( \displaystyle x ; y )[/math]
, e successivamente
[math]T[/math]
al punto
[math]( \displaystyle x ; y )[/math]
ottenuto per risultato.

Abbiamo quindi che:

[math] \displaystyle [T\ast T'] (x;y) = T[T'(x;y)] [/math]

La matrice associata alla composizione di trasformazioni è la matrice che si ottiene moltiplicando le due matrici associate alle singolo trasformazioni, cioè, se

[math]A[/math]
e
[math]A'[/math]
sono le matrici associate, rispettivamente a
[math]T[/math]
e
[math]T'[/math]
, la matrice associata :

[math] A \ast A' [/math]
.

In questo caso, l'elemento neutro della composizione è l'identità, che ha per matrice associata la seguente:

[math] \displaystyle I = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} [/math]

Infatti, moltiplicando una trasformazione per lidentit otteniamo sempre la trasformazione stessa:

[math] \displaystyle T \ast I = I \ast T = T [/math]

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