_stan
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In questo appunto vengono descritti gli angoli. Guardando di fronte a noi riusciamo a vedere solo una porzione di ciò che ci circonda; questa parte è detta angolo di campo dell’occhio. Nell’uomo non è molto ampio, misura circa 45°, gli insetti hanno il primato: una mosca può arrivare a 160°. Vediamo come si definisce un angolo e quali sono i suoi elementi; la differenza tra concavo e convesso, come si confrontano e come si opera su di essi e come si misurano.

Angoli, definizioni di base

Nel piano euclideo per definizione, due semirette che hanno l’origine in comune, dividono il piano in due figure, una concava e una convessa.
Le due figure sono gli angoli. Analizziamo ogni termine che compare nella definizione, una semiretta è ciascuno dei due sottoinsiemi in cui ogni retta viene divisa da ogni suo punto. In altre parole, se consideriamo una retta e un punto O qualsiasi su di essa, si ottengono due semirette che hanno solo il punto O in comune. Il punto O si chiama origine delle semirette.

Per capire cosa voglia dire, figura concava o figura convessa, consideriamo una qualsiasi figura nel piano, scegliamo al suo interno due punti qualsiasi, disegniamo il segmento che li unisce e chiediamoci se il segmento è interamente contenuto nella figura.
Se la risposta è sì per ogni coppia di punti la figura è convessa, Tutti i segmenti sono come AB.
Se esiste almeno una coppia di punti per cui la risposta è no, la figura è concava. Il segmento CD, infatti, non è interamente contenuto nella figura.

Come specificato dalla definizione, tracciamo allora due semirette r ed s con l’origine O in comune, otteniamo in questo modo un angolo interno detto convesso e uno esterno detto angolo concavo. Elementi importanti nella definizione di un angolo sono il suo vertice cioè l’origine delle due semirette e i suoi lati, cioè le due semirette che separano l’angolo esterno dall’angolo interno. L’unica dimensione dell’angolo è la sua ampiezza, misurata in gradi o radianti.

Quando si chiede ad uno studente di disegnare un angolo, lo studente procede in questo modo: come prima cosa traccia due semirette che partono dallo stesso punto e poi fa un piccolo archetto che tocca le due semirette. Il pezzettino racchiuso tra l’archetto e le due semirette dovrebbe essere l'angolo!!!!
Attenzione, dunque, l’angolo è tutto il piano, sempre infinito. L’archetto è solo un simbolo, come quello utilizzato in tutte le figure.

Modalità di scrittura degli angoli

L’angolo può essere indicato simbolicamente in diversi modi:
Con una lettera minuscola greca:
[math]\alpha,\ \ \beta, \ \ \gamma[/math]
etc.
  • [math]\alpha[/math]
    convesso
  • [math]\beta[/math]
    concavo
Con tre punti, il punto al centro è il vertice e un punto su ciascun lato, mettendo sulla lettera centrale un accento circonflesso, che per l’angolo concavo è al contrario:
  • [math]A\widehat {O}B[/math]
    convesso
  • [math]A\check {O}B[/math]
    concavo

Usando la lettera che indica il punto del vertice, scritta tra due lettere che indicano le semirette dei lati dell’angolo:

  • [math]r\widehat {O}s[/math]
    convesso
  • [math]r\check {O}s[/math]
    concavo
Nel caso in cui non ci siano ambiguità, l’angolo si può indicare con la sola lettera maiuscola del vertice, sempre sormontata dall’accento:
  • [math]\widehat{O}[/math]
    convesso
  • [math]\check {O}[/math]
    concavo

Consecutivi, adiacenti, opposti al vertice e sovrapposti

Due angoli, in base alla loro posizione relativa, vengono denominati:
  • consecutivi
  • adiacenti
  • opposti al vertice
  • sovrapposti

  • Si dicono consecutivi due angoli che hanno un lato e il vertice in comune e gli altri due lati si trovano da parti opposte rispetto al lato comune.
  • Si dicono adiacenti due angoli consecutivi con i lati non comuni appartenenti alla stessa retta, ovvero a due semirette opposte.
  • Si dicono opposti al vertice se i loro lati sono uno il prolungamento dell’altro e sono congruenti.

Si dicono sovrapposti se hanno il vertice e un lato in comune e tutti i punti di un angolo appartengono anche all’altro

Bisettrice di un angolo

La bisettrice di un angolo e la semiretta che parte dall’origine dell’angolo e lo divide in due parti tra loro congruenti. La bisettrice di un angolo è unica.
Per disegnare la bisettrice di un angolo possiamo utilizzare un compasso. Puntiamo il compasso nel vertice con un’apertura a piacere e tracciamo una circonferenza in modo tale da intersecare i due lati dell’angolo. Indichiamo con A e B i punti di intersezione; puntiamo poi il compasso, con la stessa apertura iniziale, prima nel punto A e poi nel punto B tracciando due archi all’interno dell’angolo. Indichiamo con C il punto di intersezione dei due archi. Disegniamo infine la semiretta che ha origine nel vertice O e passa per C, questa è la bisettrice dell’angolo.

Confronto tra angoli

Confrontare due angoli significa stabilire se siano congruenti oppure quale sia il maggiore o il minore dei due. Per effettuare il confronto si sovrappongono i loro vertici e un loro lato e poi si controlla come sono reciprocamente gli altri due lati.
Si possono presentare tre diverse situazioni.
Se anche gli altri due lati dell’angolo coincidono, allora i due angoli sono perfettamente sovrapponibili e quindi si dicono congruenti.

Se il secondo lato dell’angolo

[math]\beta[/math]
è interno all’angolo
[math]\alpha[/math]
. Allora
[math]\alpha >\beta[/math]

Se il secondo lato dell’angolo

[math]\alpha[/math]
è interno all’angolo
[math]\beta[/math]
, allora
[math]\alpha

Angoli fondamentali

Gli angoli possono essere classificati in base alla loro ampiezza o alla posizione reciproca delle semirette che formano i lati degli angoli.
L’angolo è nullo se i lati dell'angolo sono semirette coincidenti che non contengono nessun punto del piano.
L’angolo nullo è convesso perché non contiene i prolungamenti dei suoi lati.
L’angolo è giro se i lati dell'angolo coincidono dopo che uno dei due lati ha fatto un giro completo. La semiretta a compie un giro completo attorno all’origine O fino a raggiungere la semiretta b. L’angolo giro è un angolo concavo.
Un angolo è piatto se i lati dell’angolo sono semirette opposte rispetto all’origine O, le semirette a e b sono una il prolungamento dell’altra. L’angolo piatto non è né concavo né convesso.
L’angolo retto è la metà di un angolo piatto. Tracciando la bisettrice di un angolo piatto questa lo divide in due parti tra loro congruenti ognuna delle quali è un angolo di 90 gradi.
Per indicare che un angolo è retto si utilizza al posto dell'archetto un quadratino.
In relazione all’angolo retto si può fare ancora un’ulteriore distinzione tra gli angoli.
Un angolo minore di un angolo retto è definito angolo acuto.
Un angolo maggiore di un angolo retto e minore dell'angolo piatto è definito angolo ottuso.
Gli angoli acuti e gli angoli ottusi sono entrambi angoli convessi.

Per approfondire di più l’argomento sugli angoli vedi anche qui

Operazioni tra gli angoli

Tra due o più angoli si può effettuare l’operazione di addizione e sottrazione.
La somma di due angoli è l'angolo che si ottiene disponendo graficamente i due angoli in modo che siano consecutivi. Per ottenere l'angolo somma prima si fanno coincidere i vertici poi si ruota uno dei due angoli fino a che essi diventino consecutivi. L’ampiezza dell’angolo somma si ottiene sommando le ampiezze dei due angoli

La differenza fra due angoli è data dall'angolo che deve essere sommata al secondo per ottenere il primo.
Dati due angoli

[math]\alpha \ \ e \ \ \beta[/math]
con
[math]\alpha > \beta[/math]
, per ottenere l’angolo differenza si sovrappongono i due angoli sempre facendo coincidere il vertice e un lato. L’angolo differenza è quello di vertice O e ha come lati i due lati che non coincidono.

L’ampiezza dell’angolo differenza si ottiene sottraendo all’ampiezza dell’angolo maggiore quella dell’angolo minore

L’angolo nullo è l'elemento neutro nelle operazioni di somma o differenza tra gli angoli.

  • Sottraendo a un angolo sé stesso si ottiene un angolo nullo.
  • Sommando l’angolo nullo a un angolo dato si ottiene sempre l’angolo dato.

Multipli e sottomultipli di un angolo

I multipli di un angolo si ottengono addizionando l'angolo a sé stesso più volte.
Dato un angolo, per ottenere il suo multiplo secondo il numero n, bisogna sommare l’angolo a sé stesso n volte quindi, l'angolo multiplo è uguale a n volte l’angolo dato:

[math]\beta=n\cdot \alpha[/math]

I sottomultipli secondo il numero n di un angolo sono l’ennesima parte di un angolo dato.
I sottomultipli si ottengono cercando ad esempio la meta, la terza parte, l’ennesima parte dell’angolo dato. in questo caso scriveremo:

[math]\beta=\frac{\alpha}{n}[/math]

Angoli di completamento e misura dell’ampiezza

Si definiscono angoli di completamento due o più angoli la cui somma è pari ad un angolo notevole.
Due angoli sono complementari se la loro somma è uguale ad un angolo retto.
Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto.
Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è uguale a un angolo giro.
La dimensione dell’angolo e l’ampiezza e la sua unità di misura è il grado (°).
Il grado e l’ampiezza dell’angolo ottenuto dividendo un cerchio in 360 parti uguali.
I sottomultipli del grado sono i primi (‘) e i secondi (“) e il sistema di misura che si utilizza si chiama sistema sessagesimale, perché i primi si ottengono dividendo il grado in 60 parti e i secondi si ottengono dividendo il 60 parti i primi. Elenchiamo ora le varie corrispondenze:
  • un grado=60 primi=3600 secondi
    [math]\to 1°=60’=3600”[/math]
  • un primo=un
    [math]60^{esimo}[/math]
    di grado = 1°:60
    [math]\to 1’= 1°:60[/math]
  • un secondo=un
    [math]60^{esimo}[/math]
    di primo = 1’:60
    [math]\to 1”=1’:60[/math]