Esercizi svolti di calcolo combinatorio, calcolo delle probabilità e statistica
Da una sezione dell’acquedotto transitano in media ogni giorni 240 metri cubi di acqua, con una varianza pari a 120. i) Calcolare la probabilità che in tre mesi (90 giorni) passino per tale sezione almeno 21500 metri cubi di acqua. ii) Sia Z ~ N( μ , 120); determinare μ e q affinché siano valide entrambe le seguenti espressioni $P(Z ≤ q) = 1/2$, $P(Z ≤ 2μ) = 0,975$
La probabilità che uno studente dimentichi (in maniera indipendente dagli altri) di portare con sé la calcolatrice alla prova scritta di un esame è $p = frac(1)(100)$. Supponiamo che 200 studenti partecipino alla prova. i) Calcolare l probabilità che tutti gli studenti abbiano la calcolatrice e la probabilità che vi siano più di 2 studenti senza calcolatrice. ii) Stimare il valore di quest’ultima probabilità utilizzando l’approssimazione di Poisson. iii) Stimare lo stesso valore utilizzando l’approssimazione normale. Che valutazione si può dare per queste due approssimazioni?
Supponiamo che il numero di incidenti stradali che avvengono giornalmente in una certa città sia una variabile aleatoria di Poisson di media 1. i) Qual è la probabilità che si verifichino più di 20 indicenti in due settimane? ii) Ipotizzando sempre una distribuzione di Poisson, quale dovrebbe essere la media del numero di incidenti giornalieri affinché con una probabilità maggiore (≥) del 95% si abbiano meno di 13 incidenti in 20 giorni?
Un commerciante di accessori per computer sa che il numero di articoli di una certa marca che può vendere in un giorno è una variabile aleatoria di Poisson di media 4. i) Quanti articoli di quella marca dovrebbero immagazzinare per essere sicuri al 95% che gli basteranno per 25 giorni? ii) Qual è il numero atteso di giorni entro i 25 che il commerciante passerà senza vendere articoli di quella marca?
Supponiamo che il tempo di vite di un certo modello di processore per computer sia una variabile aleatoria di media μ=10 e deviazione standard σ=5, dove l’unità di misura è 1 anno. Si provano n = 100 processori di questo tipo: siano $bar T_(100) = 1/(100) (T_1 + … + T_(100))$ la media campionaria dei tempi di vita osservati. Utilizzando il teorema del limite centrale, stimare approssimativamente: i) $P(bar T_(100) > 9,5)$; ii) $P(9,5 ≤ bar T_(100) ≤ 10,5)$
Siano $X_1, …, X_n$ variabili aleatorie e con la stessa distribuzione, e sia $bar X_n = 1/n (X_1 + … + X_n)$. Inoltre, siano μ=2 e $σ^2 = 4$ media e varianza delle variabili aleatorie in questione. i) Scrivere la disuguaglianza di Chebyshev per $P(|X_1 – 2| ≥ 5)$. ii) Scrivere la disuguaglianza di Chebyshev per $P(|bar x_(10) – 2| ≥ 5)$. iii) Calcolare $P(bar X_(100) < 2,3)$ con l'approssimazione normale
Il tempo di vita di un componente elettrico è una variabile aleatoria di media μ = 100 (ore) e deviazione standard σ = 20 (ore). Se si provano 16 componenti di questo tipo, quanto vale (approssimativamente) la probabilità che la media campionaria delle loro durate sia: i) minore di 104 ore; ii) compresa tra 98 ore e 104 ore (calcolare tali probabilità utilizzando l’approssimazione normale)
In un messaggio binario di 900 bit, i singoli bit possono assumere i valori 0 e 1 con una probabilità rispettivamente di $9/(16)$ e $7/(16)$. Utilizzando l’approssimazione normale, calcolare: i) la probabilità che vi siano più (≥) di 420 bit uguali a 1; ii) la probabilità che il numero di bit uguali a 1 sia compreso tra 390 e 410
In un laboratorio di ricerca viene sperimentata una dieta che produce un aumento di peso che segue una legge di media μ e varianza $σ^2 = 25$. Tale dieta viene somministrata a 100 cavie. Sia $X_i$ la variabile aleatorie che indica l’aumento di peso prodotto dalla dieta sull’iesina cavia e sia $ bar X_n = 1/n (X_1 + X_2 + … + X_n)$. i) Supponiamo che μ = 12, Utilizzando l’approssimazione normale, calcolare la probabilità che la differenza in valore assoluto tra la variabile aleatoria $bar X_(100) $ e μ sia più piccola di η = 2. ii) Supponiamo che la media μ delle variabili aleatorie non sia nota. Avendo rilevato un aumento di peso medio $bar x_(100) = 14,5$, calcolare un intervallo di confidenza al livello 0,9 per la media μ
Siano $X_1 , X_2 , … , X_n$ delle variabili aleatorie indipendenti con la stessa legge esponenziale di varianza 9. Posto: $S_(150) = X_1 + X_2 + … + X_(150)$ e $ bar S_(150) = frac(S_(150))(150)$ i) Stimare mediante la disuguaglianza di Chebyshev: $P(| bar S_(150) – 3| > frac(sqrt(6))(10) )$. ii) Stimare la stessa quantità utilizzando l’approssimazione normale
Indichiamo con $S_n$ il numero di teste uscite in n lanci di una moneta che da testa con probabilità p. Usando l’approssimazione normale stimare: i) $P(40 < S_(100) < 60) $ nel caso in cui p = 0,5 ii) $delta$ affinché $P(800 - delta < S_(1600) < 800 + delta) > 0,95 $ nel caso in cui p = 0,5 iii) il numero di lanci affinché $P(0,20 < S_(n)/n < 0,30) > 0,95 $ nel caso in cui p = 0,25
Qual è la probabilità che il numero 1 esca in una estrazione del lotto? Usando l’approssimazione normale, stimare la probabilità che il numero 1 sia uscito almeno 12 volte nelle ultime 100 estrazioni
Una moneta equilibrata viene lanciata n volte. Per ogni k ≤ n poniamo $X_k = 1$ se il k-esimo lancio ha dato il valore Testa, e $X_k = 0$ altrimenti. Indichiamo con $bar X_n = 1/n (X_1 + … + X_n)$ la proporzione di teste negli n lanci. Usando l’approssimazione normale calcolare: i) $P(bar X_n ≥ 0,51)$ per n = 900 ii) $P( |bar X_n – 1/2| ≤ 0,01)$ per n = 900 iii) stimare quanto deve essere grande n affinché sia $P( |bar X_n – 1/2| ≤ 0,01) ≥ 0,95$
Ad una stazione ricevente possono giungere messaggi binari da due canali diversi, A e B. In ognuno di questi messaggi i singoli bit possono prendere i valori 0 e 1, a caso e in maniera indipendente. Nei messaggi provenienti dal canale A ogni singolo bit è uguale a 1 con probabilità $7/(16)$ e uguale a zero con probabilità $9/(16)$. Nei messaggi provenienti dal canale B ogni singolo bit è uguale a 1 con probabilità $1/2$ e uguale a zero con probabilità $1/2$. i) Qual è la probabilità che in un messaggio di 1600 bit proveniente dal canale A ci siano più di 750 bit uguali a 1? ii) Per decidere se un messaggio proviene dal canale A o dal canale B usiamo la procedure seguente: se il messaggio contiene più di 750 bit uguali a 1 decidiamo che esso proviene dal canale B. Qual è la probabilità che un messaggio proveniente da B venga effettivamente individuato? iii) Qual è la probabilità che in un messaggio proveniente da B il numero di bit uguali a 1 sia compreso tra 780 e 820?
Supponiamo che il peso dei salmoni cresciuti in un certo allevamento commerciale abbia distribuzione normale con media che varia da stagione a stagione, e con deviazione standard $σ = 20 g$. Quanto grande occorre prendere un campione, affinché con probabilità ≥ 0,95 risulti che la media campionaria del peso dei salmoni di quest’anno sia precisa entro +/- 5 g?
Si lancia n volte una moneta equilibrata e sia $S_n / n$ la proporzione di teste uscite; calcolare il minimo n per cui risulta: $P(| frac(S_n)(n) – 1/2| ≤ 0,05) ≥ 0,95$
Una moneta equilibrata viene lanciata 1000 volte. Qual è la probabilità che il numero delle teste sia ≤ 526?
Ogni sera due coniugi fanno lanciare dal proprio figlio di tre anni un dado, per decidere chi deve lavare i piatti. Se esce un numero dispari tocca alla moglie, mentre se esce un numero pari tocca al marito. Visti i risultati del dado, il marito crede che tocchi a lui troppo spesso: 33 volte su 50. Si tratta solo di sfortuna oppure il dado è effettivamente truccato per favorire la moglie?
Sia ${X_n}$ una successione di variabili aleatorie indipendenti ed esponenziali di parametro λ e sia $bar X_n = 1/n (X_1 + X_1 + … + X_n)$. i) stimare con la disuguaglianza di Chebicev $ P(|bar X_n – 1/λ | ≥ ɛ ) $ ii) stimare la stessa quantità usando il Teorema del Limite Centrale iii) confrontare le due stime per $λ = 2$, $ɛ = 1/(100)$ , $n = 10000$
I circuiti integrati prodotti da un certo impianto sono difettosi con probabilità 0,25, indipendentemente l’uno dall’altro. Se si testa un campione di 1000 pezzi, con che probabilità se ne troveranno meno di 240 difettosi?
Supponiamo che il peso corporeo (misurato in kg) di una popolazione di operai edili si distribuisca secondo una variabile aleatoria di media m = 77 e deviazione standard $sigma = 9,4$. i) Se la numerosità del campione considerato è n = 36, quanto vale la probabilità che la media campionaria dei loro pesi sia compresa tra 75 e 79? ii) E se il campione ha numerosità 144?
Si sa che le aule destinate agli studenti del primo anno del corso di laurea in Giurisprudenza di una certa università hanno una capienza di 150 posti. Considerato che, dall’esperienza passata, solo il 30% degli studenti iscritti segue le lezioni, l’ateneo adotta la politica di accettare le iscrizioni di 450 studenti. Calcolare la probabilità che una di quelle aule risulti insufficiente a contenere gli studenti frequentanti il I anno
Due dadi non truccati vengono lanciati simultaneamente 120 volte. Calcolare la probabilità che un 6, un 7 o un 9 si presentino almeno 70 volte
Supponiamo che con probabilità 0,09 una persona abbia bisogno di assistenza ospedaliera nel corso di un anno. Se una società assicuratrice ha in atto 60000 polizze di assicurazione sanitaria, stimare: i) la probabilità che 500 indennizzi vengano liquidati in un anno; ii) la probabilità che vengano liquidati almeno 300 indennizzi in un anno
Si effettuano n estrazioni con reinserimento da un mazzo di carte: dopo che una carta è stata estratta, essa viene rimessa nel mazzo, questo viene mescolato, e si estrae successivamente un’altra carta, ripetendo la procedura n volte. Calcolare la probabilità che effettuando 100 estrazioni con reinserimento si ottenga 20 volte una carta di quadri
Le variabili aleatorie $X_i$ i_1,…n$ sono indipendenti ed ognuna di esse ha legge di Poisson di parametro $lambda = 2$. Calcolare la probabilità che $S_(100) = X_1 + X_2 + …+ X_(100)$ sia compresa tra 190 e 210
Una scatola contiene delle schede contenenti i dati personali dei dipendenti di una ditta. Di questi dipendenti, il 20% sono uomini e l’80% sono donne. Estraiamo una scheda a caso e annotiamo se si tratta di un uomo o di una donna. Prima di scegliere un’altra scheda, rimettiamo quella appena estratta nella scatola e procediamo così estraendo n schede. Quanto deve essere grande n affinché sia almeno 0,95 la probabilità che la proporzione di schede corrispondenti a dipendenti uomini sia compresa tra 0.18 e 0.22?
Si consideri la successione di variabili aleatorie {$X_n$} (n = 1,2…) uniformemente distribuite nell’intervallo (-1/n, 1/n). Stabilire se {$X_n$} converge in distribuzione a qualche variabile aleatoria X
Si consideri la successione di variabili aleatorie {$X_n$} (n = 1,2…) uniformemente distribuite nell’intervallo (-n, n). Stabilire se {$X_n$} converge in distribuzione a qualche variabile aleatoria X
Tre dadi non truccati vengono lanciati simultaneamente n volte. Sia $S_n$ il numero delle volte che si ottiene un punteggio complessivo uguale a 4 (cioè la somma dei dadi dà 4). Se n = 1296, trovare approssimativamente il valore di $S_n$
Una compagnia di assicurazioni vuole condurre un’indagine per stimare l’indennizzo medio pagato a seguito di incidenti domestici. Analisi pregresse mostrano che tali importi possono essere modellati con una variabile aleatoria gaussiana di media μ incognita e deviazione standard nota pari a 400 euro. Su un campione casuale $(X_1 , … , X_n)$ di n incidenti è stato osservato un indennizzo medio $bar X_n$ pari a 6230 euro. i) Determinare un intervallo di confidenza di livello 95% per il parametro μ quando l’ampiezza del campione è n = 144. ii) Determinare la dimensione minima del campione necessaria affinché l’ampiezza dell’intervallo di confidenza di livello 95% per il parametro μ non superi i 160 euro
Un campione di 100 dischetti per computer viene estratto da una grossa fornitura ed esaminato per rilevare eventuali difetti. Si trova che 80 pezzi superano il controllo. i) Calcolare un intervallo di confidenza per μ al livello 1 – α = 0,95 per la percentuale p di dischetti della fornitura accettabili. ii) Siano $X_1, …, X_n$ variabili aleatorie di Bernoulli di parametro q = 0,8 e sia $bar X_n = 1/n (X_1 + … + X_n)$. Stimare quanto deve essere grande n affinché sia $P(|bar X_n – q| <= 0,01) >= 0,99$
Si esamina un campione di n = 100 componenti elettronici e si trova che la media campionaria del tempo di vita dei componenti è $bar x_n = 50$ (mesi). Ipotizzando che il tempo di vita di un componente del campione sia una variabile aleatoria X con varianza $σ^2 = 144$ e media μ incognita. i) si trovi un intervallo di confidenza per μ al livello 1 – α = 0,95 per la media; ii) supponendo che X ~ N(50, 144), calcolare $P(44 ≤ X ≤ 62)$
Siano $X_1, … , X_n$ variabili aleatorie e con la stessa distribuzione, e sia $bar x_n = 1/n (X_1 + … + X_n)$ la media campionaria. Inoltre, siano μ e $σ^2 = 16$ media e varianza delle variabili aleatorie in questione. i) Supponendo che μ sia incognita, calcolare l’intervallo di confidenza per μ al livello 1 – α = 0,90 nel caso in cui $bar x_n = 80$ e n = 100. ii) Supponiamo che le variabili aleatorie $X_1, … , X_n$ siano normali e che μ=2. Calcolare $P(X_1 < 3)$
Un segnale elettrico viene trasmesso dalla sorgente A alla stazione ricevente B. A causa del “rumore” la stazione ricevente registra un valore (affetto da errore) con media μ e varianza 4. Per ridurre l’errore, lo stesso segnale viene trasmesso 100 volte. I valori registrati da B forniscono una media campionaria $bar x_(100) = 9$. Calcolare l’intervallo di confidenza per μ al livello 1 – α = 0,90
Su 144 campi adibiti alla coltivazione di barbabietole si sperimenta un nuovo fertilizzante e si osserva un aumento medio di produzione di 14 kg. Sia X la variabile aleatoria che indica l’aumento di produzione su un singolo campo. i) Supponiamo che la variabile aleatoria X abbia media incognita e varianza nota: $sigma^2 = 121$. Calcolare un intervallo di confidenza al livello $1 – alpha = 0,95$ per la media $mu$. ii) Supponiamo che la variabile X abbia una distribuzione normale di media $mu = 14$ e varianza $sigma^2 = 121$. Calcolare la probabilità che l’aumento della produzione sia maggiore di 20 kg
Cento studenti di chimica effettuano delle misurazioni per determinare il punto di fusione del piombo. Dai dati ottenuti dalle 100 misure effettuate, si trova che la media campionaria è 329,2 °C. Ipotizzando che il punto di fusione cercato sia distribuito secondo una variabile aleatoria con deviazione standard $sigma = “15,4” °C$, trovare : i) un intervallo di confidenza al livello 0,95 per la temperatura media di fusione del piombo; ii) un intervallo di confidenza al livello 0,99 per la temperatura media di fusione del piombo
Un’azienda decide di assicurare il suo parco veicoli contro i propri danni. Per valutare il costo medio di riparazione per infortunio, viene scelto a caso un campione di n = 144 incidenti, e si trova una media campionaria di 2200 euro. Ipotizzando una deviazione standard σ = 800 euro, trovare un intervallo di confidenza al livello $1 – α = 0,90$ per il costo medio delle riparazioni.
Supponiamo che il contenuto di nicotina di una certa marca di sigarette segua una distribuzione con media m incognita e varianza $σ^2 = 0,0081 mg^2$ nota. Analizzando un campione di 100 sigarette, si trova che il valor medio campionario del contenuto di nicotina è 1,3 mg. Trovare un intervallo di confidenza $1 – α = 0,99$ per la media m.
Un campione di 100 transistor viene estratto da una grossa fornitura e testato per rilevare eventuali imperfezioni. Si trova che 80 pezzi superano il test. Calcolare un intervallo di confidenza a livello $1 – alpha = 0,95$ per la percentuale di transistor della fornitura che sono accettabili.
Una scatola $S_1$ contiene 7 batterie cariche e 3 scariche; un’altra scatola $S_2$ contiene 7 batterie in tutto, di cui 4 cariche. Si sceglie una scatola col seguente criterio: si lancia un dado perfetto, e se esce un numero minore di 3 si sceglie la scatola $S_1$, mentre altrimenti si sceglie la scatola $S_2$. Quindi si estrae una batteria dalla scatola prescelta. i) Qual è la probabilità di estrarre una batteria carica?
In un esame di calcolo delle probabilità ogni studenti sceglie a caso una di 3 buste. Ogni busta contiene un quesito su un argomenti diverso: la prima busta contiene una domanda sulla probabilità condizionale, la seconda busta sul teorema delle probabilità totali, e la terza sul teorema di Bayes. Supponiamo che la probabilità di superare il quesito sulla probabilità condizionale è 0,5, quella di superare il quesito sul teorema delle probabilità totali è 0,6 e quella di superare il terzo quesito è 0,3. Calcolare: i) la probabilità che uno studente superi l’esame
Si consideri il seguente gioco. Si lancia una moneta equa: se esce testa, si lancia un dado perfetto e si vince il gioco se esce il numero 1; se esce croce si lanciano due dadi perfetti e si vince il gioco se esce due volte il numero 1. i) Calcolare la probabilità di vincere il gioco.
Un’urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5. Si estraggono 2 palline, una alla volta, senza reinserimento. i) Calcolare la probabilità di estrarre una pallina pari e una dispari in questo ordine, ovvero la probabilità che la prima pallina estratta sia pari e che la seconda estratta sia dispari.
In una fabbrica che produce bombolette spray risulta che il 3% della produzione presenta delle imperfezioni, poiché il propellente contiene tracce di fluorocarburi, sostanze dannose all’ozono. Per questo motivo le bombolette vengono sottoposte ad una proceduta di controllo, in seguito alla quale i pezzi difettosi vengono scartati con probabilità del 95%; i pezzi non difettosi vengono anch’essi scartati in certi casi, con una probabilità del 2%. i) Qual è la probabilità che una bomboletta prodotta superi il controllo e venga messa in commercio?
Una scatola contiene sei bottoni: uno verde, 2 neri e 3 grigi. Si estraggono dalla scatola tre bottoni senza rimpiazzo. i) Qual è la probabilità che venga fuori un bottone verde?
Un’urna $A_1$ contiene 5 biglie nere e 2 bianche; un’altra urna $A_2$ contiene 3 biglie nere e 2 bianche. Si sceglie un’urna a caso e si estrae una pallina. i) Qual è la probabilità di estrarre una biglia bianca?
I computer di una certa partita vengono assemblati utilizzando processori di due diverse qualità, alle quali corrisponde un’affidabilità, in un dato intervallo di ∆, rispettivamente del 98% e del 75%. Il 30% dei computer è assemblato con processori di qualità migliore. Si sceglie a caso un computer: i) Qual è la probabilità che esso funzioni correttamente durante un intero intervallo ∆?
Un’urna contiene 100 biglie delle quali 8 sono nere, e le rimanenti bianche. Vengono estratte 3 biglie a caso. Sia A l’evento “le 3 biglie estratte sono nere” e B l’evento “delle biglie estratte, 2 sono bianche ed una è nera”. i) Calcolare P(A) e P(B) nel caso che le estrazioni siano con rimpiazzo
Un’urna contiene 4 palline rosse e 7 bianche. Vengono effettuate delle estrazioni senza rimpiazzo