Il paradosso della bella addormentata

ole_reidar_johansen-sleeping_beauty.jpgLa Bella Addormentata si sottopone a un esperimento nel quale viene addormenta ipnoticamente. I ricercatori lanciano una moneta: se il risultato del lancio della moneta è testa la Bella Addormentata viene svegliata e poi interrogata; se il risultato della moneta è croce viene svegliata, interrogata, riaddormentata imponendole di non ricordare niente del precedente risveglio, viene svegliata di nuovo e reinterrogata.

Ad ogni risveglio viene interrogata su questa domanda: con quale probabilità è uscito croce?

Cosa dovrebbe rispondere la Bella Addormentata se oltre a essere bella e addormentata conosce anche il calcolo delle probabilità?

1. Quando viene svegliata la Bella Addormentata non può sapere se è stata svegliata un’altra volta o se quello è il suo primo risveglio; la domanda che le viene posta riguarda il lancio di una moneta a due facce, perciò secondo la definizione di probabilità a priori (definizione classica) la probabilità che sia uscito testa è uguale alla probabilità che sia uscito croce, quindi 1/2.

2. I tipi di risvegli in tutto sono tre, se è uscito testa viene svegliata una volta, se è uscito croce viene svegliata due volte. Se si ripetesse molte volte l’esperimento, si avrebbe frequenza di risvegli 1/3 nel caso sia uscito testa, frequenza di risvegli 2/3 se è uscito croce. Di conseguenza secondo la definizione frequentista di probabilità svegliata valuterà 2/3 la probabilità che sia uscito croce.

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Ci sono 17 commenti su questo articolo:

  1. Su 100 lanci di monetina si ha il 50% di probabilità che esca testa e il 50% invece che esca croce, quindi se quando esce testa viene svegliata una volta e quando esce croce due volte, la B.A. si sarà svegliata in tutto 150 volte, non sapendo ella quando viene svegliata per la prima volta o quando per la seconda volta la sua probabilità di indovinare o di sbagliare resta sempre del 50%, orbene se su 150 risvegli la B.A. rispondesse sempre croce avrebbe apparentemente risposto bene 100 volte su 150, ma siccome ad ogni due risvegli corrisponde un lancio di monetina in cui sia uscito croce, ella avrebbe azzeccato pur sempre il 50% di risposte giuste.

  2. La bella addormentata verrà svegliata una volta se esce testa, due volte se esce croce, però anche in quest’ultimo caso la b.a. non saprà se sia stata svegliata per la prima volta o per la seconda.
    Soluzione: Secondo il calcolo delle probabilità, la B.A. sarà svegliata 1 volta su 3 quando esce testa e 2 volte su 3 quando esce croce. Sempre secondo il calcolo delle probabilità non avendo ella memoria quando esce croce di essere stata svegliata due volte, avrà sempre la probabilità del 50% di indovinare o di sbagliare, ciò premesso se per ipotesi, su 90 risvegli 30 volte è uscito testa e 60 volte è uscito croce, basta rispondere sempre croce per avere azzeccato i 2/3 di risposte giuste.

  3. Credo che la risposta corretta sia la seconda.
    Proviamo a stabilire una procedura statistica (metodo montecarlo) di verifica di tale ipotesi.
    Immaginiamo ad esempio che la moneta venga lanciata 100 volte. Mediamente usciranno 50 croci e 50 testa. Tuttavia i risvegli sono 150. Perciò la domanda viene posta 150 volte.
    E’ allora chiaro che se la bella addormentata risponde ogni volta croce alle 150 domande, vincerà 100 volte su 150.

  4. bel dilemma ma penso che la risposta esatta sia la 1.
    Poi c’è da chiedersi: è stata informata dello schema del gioco (come fa a sapere che teoricamente esce testa ed il gioco è finito).Comunque credo che dal suo punto di vista sia sempre lancio di una moneta e quindi 1/2 però…

  5. relatisticamente parlando se l’osservatpore è esterno la prob. è sempre 12 se esce T, se esce C al secondo risveglio la probabilità è del 100% poichè non vi è alcuna estrazione. Dal punto di vista della Bella Addormentata è sempre 12

  6. secondo me la risposta è 1…perchè (come nel lotto non cambia la probabilità di un numero di uscire se è uscito la volta precedente) non cambia la probabillità che sia uscita testa o croce. Poi è da considerare che se la svegliano (che è sicuro sia che esca testa sia che esca croce) lei non ha nessun punto di riferimento per dire che c’è più probabilità che sia uscito un segno piuttosto che un altro…e neanche la memoria perchè il testo dice che nel caso in cui uscisse croce sarebbe stata riaddormentata ordinandole di dimenticare tutto…!!

  7. Bisogna leggere bene cosa viene chiesto alla bella addormentata. Ad ogni singolo lancio di moneta, la probabilità che esca croce è sempre 1/2. La bella addormentata, al suo risveglio, dovrà rispondere 1/2; sia che si tratti del primo come del secondo risveglio. Lo svegliarsi una o più volte non influisce sul lancio della moneta. Invece, è 2/3 la probabilità che la bella addormentata si risvegli dopo l’ uscita di una croce; ma non è la stessa cosa della domanda. La risposta è 1.

  8. La soluzione è la seconda.
    In alcuni casi dobbiamo pensare alla casistica non come se fossimo presenti all inizio della situazione, ma alla fine.
    In altre parole: se ogni volta che le poniamo la domanda lei risponde sempre ugualmente, QUALE sarebbe la risposta che le comporterebbe maggior numero di risposte azzeccate?
    La risposta è ovviamente dire che è stata svegliata per una croce, dunque questa è quella che ha probabilità maggiore (2/3).

  9. ok ci sto ragionando ma prima do faccio la domanda intelligente(xdxd sese): come fa la ella addormentata a riaddormentarsi se è già addormentata??
    Scusate nn si poteva scegliere una donna qualunque a questo punto?? XD

  10. Bisogna leggere bene cosa viene chiesto alla bella addormentata. Ad ogni singolo lancio di moneta, la probabilità che esca croce è sempre 1/2. La bella addormentata, al suo risveglio, dovrà rispondere 1/2; sia che si tratti del primo come del secondo risveglio. Lo svegliarsi una o più volte non influisce sul lancio della moneta. Invece, è 2/3 la probabilità che la bella addormentata si risvegli dopo l’uscita di una croce; ma non è la stessa cosa della domanda. La risposta è 1.

  11. SE è vero che si sveglia 3 volte ipoteticamente, vale a dire 2 volte per croce e 1 per testa, è però vero che per svegliarsi 2 volte basta che esca 1 sola volta croce. Mi sembra intuitivo che la probabilità è sempre 1/2. I risvegli sono 2 su tre per croce e 1 su tre per testa, ma….basta una croce per svegliarla 2 volte.

  12. secondo me possiamo togliere il fattore temporale, che confonde solo le idee, e dire semplicemente che se esce testa c’è un risveglio e se esce croce ce ne sono due (visto che il secondo non dipende dal primo). Il risultato a mio parere è intuitivo, ma per esserne certi basta applicare il teorema di Bayes:

    p(A|B)=[p(A)*p(B|A)]/[£p(A)*(B|A)]

    tenendo presente che p(c)=p(t)=1/2 abbiamo

    p(c)=[(1/2)*2]/[1*(1/2)+2*(1/2)]=
    =2/3

    mi sembrava un problema a tranello, ma in realtà penso che non lo sia.

  13. Secondo me è sempre 1/2 perché per svegliarsi bisogna che si realizzi per forza 1/2 sia Croce sia Testa.

  14. dato che al secondo risveglio non viene tirata nessuna monetina la probabilità è semplicemente quella del lancio iniziale, ovvero 1/2

  15. Secondo me le situazioni sono 3 :
    1. è uscito T quindi si risveglia e il gioco finisce, ma lei non lo sa.
    2. è uscito C quindi si sveglia e il gioco continua, ma lei non lo sa.
    3. si sveglia perché prima è uscito C, ma lei non lo sa.

    Nel caso 1, la P vale ½.
    Nel caso 2, la P vale ½
    Nel caso 3, la P vale ½
    In effetti nel caso 3 ci si arriva con P = ½ ma poiché il gioco continua al secondo risveglio la P sarà nuovamente ½ oppure ½.

    In totale la P è ½ oppure ½ x ½ = ½ + ¼ = ¾

  16. mi ricorda molto paradosso del gatto di Schrödinger. A mio parere le probabilità di 1/2 e 2/3 coesistono allo stesso modo e nello stesso momento.
    Sembra strano ma…

  17. Premesso che se la bella addormentata è quella della foto penserei ad altro che non alla teoria della probabilità, comunque la domanda è precisa e la risposta è due.Quella di 2/3 è la probabilità che lei sia risvegliata nel caso di croce, ma la domanda dovrebbe essere:che probabilità c’è che adesso tu sia stata risvegliata con la monetina che segna croce?