Cosa sono i numeri amici e a cosa servono
Secondo i pitagorici, alcuni numeri avevano un valore mistico: tra questi vi erano i numeri amici. Molti matematici nella storia si sono interessati a questo argomento, cercando di elaborare una formula che permettesse di definirli in maniera equivoca. Studiosi come Fermat, Cartesio ed Eulero hanno dato un proprio contributo, arricchendo la lista di coppie di numeri amici conosciuti.Si definiscono numeri amici due numeri per i quali la somma dei divisori di uno è proprio l'altro numero, e viceversa. Facciamo un esempio.
Esempio commentato sui numeri amici
Due mercanti medievali, legati da grande amicizia, avevano studiato la struttura dei numeri, le proprietà dei numeri perfetti (ossia quei numeri pari alla somma dei propri divisori), i misteri della cabala, e avevano deciso in omaggio a complicate concezioni astrologiche, di operare sempre con numeri che fossero esatti divisori delle loro proprietà.Probabilmente fu questa regola, poco adatta al loro mestiere di mercanti, che li portò alla rovina. Quindi si ritirarono dal commercio, decisero di donare i loro averi e di andare a vivere in un convento.
Il primo rimase con
[math]284[/math]
fiorini, calcolò i divisori di [math]284[/math]
. Eseguendo la scomposizione in fattori primi: [math]
\begin{array}{c|c|}
284 & 2 \\
142 & 2 \\
71 & 71 \\
1 &\\
\end{array}
[/math]
\begin{array}{c|c|}
284 & 2 \\
142 & 2 \\
71 & 71 \\
1 &\\
\end{array}
[/math]
si ha
[math]284=2^2 \cdot 71[/math]
da cui si evince che i divisori sono [math]1, 2, 4(2^2), 71, 142[/math]
e dispose di donare un numero di fiorini pari a tali divisori a parenti, amici e benefattori secondo la sua valutazione. Alla fine gli avanzavano ancora [math]64[/math]
fiorini.Al suo amico erano rimasti
[math]220[/math]
fiorini. Anch'egli aveva calcolato i divisori del suo avere. Dalla scomposizione in fattori primi si può notare che
[math]
\begin{array}{c|c|}
220 & 2 \\
110 & 2 \\
55 & 5 \\
11 & 11 \\
1
\end{array}
[/math]
\begin{array}{c|c|}
220 & 2 \\
110 & 2 \\
55 & 5 \\
11 & 11 \\
1
\end{array}
[/math]
da cui si evince che
[math]220=2^2 \cdot 5 \cdot 11[/math]
. Il mercante quindi capì che i divisori erano [math]1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110[/math]
. Dispose dei lasciti alle persone care pari ai divisori trovati. Purtroppo si rese conto che gli mancavano ben [math]64[/math]
fiorini. I due mercanti misero a confronto le loro soluzioni e concordarono che era sufficiente scambiarsi gli averi per poter entrambi distribuire i loro fiorini così come avevano calcolato. Cose di questo tipo capitano soltanto a veri amici, proprio per questo motivo i numeri
[math]220[/math]
e [math]284[/math]
sono detti dai matematici numeri amici o numeri amicabili.
Come abbiamo già anticipato, per avere una coppia di numeri amici la somma dei divisori di un numero deve dare come risultato l'altro numero.
La somma dei divisori di
[math]284[/math]
è, infatti, [math]1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220[/math]
. La somma dei divisori di [math]220[/math]
è [math]1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 +55 + 110 = 284.[/math]
Cosa sono i numeri fidanzati e i numeri felici con esempio
I numeri amici non sono le uniche coppie di numeri "particolari" esistenti in matematica. A questo proposito, è necessario citare anche i numeri fidanzati e i numeri felici.Si dicono numeri fidanzati due numeri per i quali la somma dei divisori di un numero (uno escluso) è uguale all'altro numero. Sono fidanzati i numeri
[math]48[/math]
e [math]75[/math]
. Infatti, osservando la scomposizione dei numeri [math]48 [/math]
e [math]75[/math]
:
[math]
\begin{array}{c|c|}
48 & 2 \\
24 & 2 \\
12 & 2 \\
6 & 3 \\
2 & 2 \\
1 & \\
\end{array}
[/math]
\begin{array}{c|c|}
48 & 2 \\
24 & 2 \\
12 & 2 \\
6 & 3 \\
2 & 2 \\
1 & \\
\end{array}
[/math]
per il numero
[math]75[/math]
, invece
[math]
\begin{array}{c|c|}
75 & 3 \\
25 & 5 \\
5 & 5 \\
1 & \\
\end{array}
[/math]
\begin{array}{c|c|}
75 & 3 \\
25 & 5 \\
5 & 5 \\
1 & \\
\end{array}
[/math]
si può affermare che i divisori di
[math]48[/math]
sono [math]2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24[/math]
e la loro somma è [math]75[/math]
. I divisori di [math]75[/math]
sono [math]3, 5, 15, 25[/math]
e la loro somma è [math]48[/math]
. Si prende un numero, si elevano al quadrato le sue cifre e si somma i risultati, quindi si ripete l'operazione con il numero ottenuto. Se dopo un po' di passaggi si raggiunge il numero [math]1[/math]
, il numero di partenza è detto numero felice.[math]19[/math]
è un numero felice, perché [math]12+92 =1+81=82; 82+22=64+4=68; 62+42=36+64=100; 1+0+0=1.[/math]
