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In quest'appunto troverai delle informazioni sulla serie di Farey attraverso la spiegazione di un piccolo gioco basato su uno stratagemma matematico.

Cosa sono le frazioni in matematica e come si utilizzano

I numeri non sono tutti uguali: è questo il motivo alla base dell'esistenza degli insiemi numerici. Questi ultimi raggruppano tutti i valori numerici aventi caratteristiche in comune. Tra questi vi è l'insieme dei numeri razionali, ossia dei numeri esprimibili attraverso l'ausilio di una frazione.
Ogni frazione consta di due termini: il numeratore (posizionato sopra la linea di frazione) e il denominatore (al di sotto della linea di frazione).

Nel linguaggio comune, questo strumento è impiegato per indicare una certa quantità rispetto a un valore intero specifico. Emblematico è l'esempio della torta: se dispongo di una torta divisa in quattro fette e scelgo di mangiarne una, avrò consumato l'

[math]\frac{1}{4}[/math]

della torta e quindi i restanti

[math]\frac{3}{4}[/math]

saranno a disposizione degli altri invitati. In questo caso, il numeratore della frazione esprime il numero di parti "coinvolte" nell'azione descritta, mentre il denominatore esprime il numero totale in cui l'intero è stato diviso.

Il denominatore gioca un ruolo importante nell'effettuare la somma algebrica tra frazioni. Il risultato di una somma algebrica è infatti una frazione avente come denominatore il minimo comune multiplo tra tutte le frazioni in gioco - calcolabile attraverso la scomposizione in fattori primi - e come numeratore la somma dei prodotti tra i denominatori e i numeratori delle singole frazioni.

Alcune differenze sono presenti anche nello svolgimento di moltiplicazioni e divisioni. Il prodotto tra due fattori frazionari è infatti una frazione avente come denominatore il prodotto dei denominatori e come numeratore il prodotto dei numeratori. Nel caso della divisione, invece, bisogna moltiplicare la frazione del dividendo per il reciproco del divisore.

In alternativa, il risultato può essere visto come una frazione avente come numeratore il prodotto tra il numeratore del dividendo e il denominatore del divisore e come denominatore il prodotto tra il denominatore del dividendo e il numeratore del divisore.

La serie di Farey spiegata attraverso un semplice gioco

Un semplice giochino con le frazioni che utilizza una proprietà matematica delle frazioni scoperta dal geologo Farey nell'800. Oggi giochiamo con le frazioni: prenderemo tutte quelle minori di

[math]1[/math]

che contengano al loro interno tutti i numeri da

[math]0[/math]

[math]n[/math]

, ordineremo questo insieme in modo crescente, e lo chiameremo insieme

[math]F_n[/math]

Vediamo che cosa accade con

[math]n=3[/math]

. Le frazioni possibili sono:

[math]\frac{0}{1}, \frac{0}{2}, \frac{0}{3}, \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}[/math]

.
Nessuno avrebbe messo lo zero a denominatore, vero? Bene, adesso dobbiamo ordinarle e togliere quelle equivalenti (come ad esempio

[math]\frac{1}{1}[/math]

[math]\frac{2}{2}[/math]

[math]\frac{3}{3}[/math]

), ottenendo:

[math]F3 = \frac{0}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{1}[/math]

Ora prendiamo qualunque terna di elementi consecutivi dalla serie, per esempio i tre centrali, e mostriamo una cosa magica che vale per tutte le serie costituite in questo modo e per qualsiasi terna di elementi consecutivi.

[math]\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3}[/math]

: la somma dei numeratori delle due frazioni esterne vale

[math]1+2=3[/math]

, mentre la somma dei denominatori delle stesse vale

[math]3+3=6[/math]

Se ora facciamo la divisione

[math]\frac{3}{6}[/math]

e semplifichiamo otteniamo

[math]\frac{1}{2}[/math]

, cioè esattamente il termine centrale.

Un esempio più complesso sulla sequenza di Farey

Proviamo con un altro caso più complesso, non vorrei pensaste che stiamo bluffando. Per

[math]n=6[/math]

otteniamo la successione ordinata di frazioni seguenti:

[math]F_6 = \frac{0}{1}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{1}{1}[/math]

Prendiamo ad esempio i tre termini consecutivi

[math]\frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}[/math]

e proviamo a fare la verifica. Per i numeratori abbiamo

[math]3+3=6[/math]

. Per i denominatori abbiamo

[math]5+4=9[/math]

[math]6[/math]

diviso

[math]9[/math]

si semplifica in

[math]2/3[/math]