Un giochino con le frazioni: la serie di Farey

fredr-street_fraction.jpgUn semplice giochino con le frazioni che utilizza una proprietà matematica delle frazioni scoperta dal geologo Farey nell’800.

Oggi giochiamo con le frazioni: prenderemo tutte quelle minori di 1 che contengano al loro interno tutti i numeri da 0 a n, ordineremo questo insieme in modo crescente, e lo chiameremo Fn.

Vediamo che cosa accade con n=3.

Le frazioni possibili sono:

$0/1, 0/2, 0/3, 1/1, 1/2, 1/3, 2/2, 2/3, 3/3$

Nessuno avrebbe messo lo zero a denominatore, vero?

Bene, adesso dobbiamo ordinarle e togliere quelle equivalenti (come ad esempio $1/1$, $2/2$ e $3/3$), ottenendo: $F3 = 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1$

ra prendiamo qualunque terna di elementi consecutivi dalla serie, per esempio i tre centrali, e mostriamo una cosa “magica” che vale per tutte le serie costituite in questo modo e per qualsiasi terna di elementi consecutivi:

$1/3 1/2 2/3$

a somma dei numeratori delle due frazioni esterne vale $1+2=3$, la somma dei denominatori delle stesse vale $3+3=6$. Se ora facciamo la divisione $3/6$ e semplifichiamo otteniamo $1/2$, cioè esattamente il termine centrale!

Proviamo con un altro caso più complesso, non vorrei pensaste che stiamo bluffando. Per $n=6$ otteniamo la successione ordinata di frazioni seguenti:

$F6 = 0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1$

Prendiamo ad esempio i tre termini consecutivi $3/5, 2/3, 3/4$ e proviamo a fare la verifica. Per i numeratori abbiamo $3+3=6$. Per i denominatori abbiamo $5+4=9$.

$6$ diviso $9$ si semplifica in… $2/3$!

Funziona sempre, provate con il valore di n che volete!

Questa bellissima proprietà matematica delle frazioni è stata scoperta da Farey, un geologo inglese dell’800, e le serie Fn prendono appunto il nome di Serie di Farey, e hanno anche tante altre proprietà notevoli oltre a quella qui presentata.

Per approfondimenti, potrete trovare la dimostrazione della proprietà descritta, così come molte altre caratteristiche della serie sul sito (in inglese): http://www.cut-the-knot.org/blue/Farey.shtml

 

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Ci sono 3 commenti su questo articolo:

  1. nel caso si sospettasse di aver individuato tale successione da qulche parte conoscere questa proprietà potrebbe essere utile per ircostruire dei dati per esempio…interessante :-)