Appunti storici per una tavola cronologica della trigonometria

Appunti per una cronologia della trigonometria dal 2000 a.C. a oggi.

-2000 Lo scriba egiziano Ahmes trascrive, intorno al 1650 a.C., parti di un papiro risalente al Regno Medio (circa 2000 a.C. – 1800 a.C.) contenente alcune operazioni relative a misure di angoli. Si tratta del Papiro di Rhind (o di Ahmes), dal nome dell’antiquario scozzese Henry A. Rhind (1833-1863) che l’acquistò a Luxor nel 1858, decifrato nel 1868 e conservato al British Museum di Londra dal 1865.
-1800  La tavoletta di argilla babilonese Plimpton 322, dal nome dell’editore newyorkese George Arthur Psuccess (1855-1936) che l’acquistò negli anni Venti del XX secolo dall’antiquario Edgar James Banks (1866-1945) e donata alla sua morte alla Columbia University, contiene una tabella di quindici righe ordinata su quattro colonne che rappresenta forse una funzione proto-trigonometrica.
-370 Eudosso di Cnido (V-IV ssuccess.), considerato il padre dell’astronomia scientifica con il suo sistema delle sfere omocentriche. Crea il metodo di esaustione. Calcola, inoltre, il diametro del Sole.
-270 Aristarco di Samo (IV-III ssuccess.), precursore di Copernico, propone un sistema eliocentrico. Calcola la distanza del Sole e della Luna con metodi trigonometrici da cui il trattato Sulla grandezza e la distanza del Sole e della Luna.
 -240  Il teorema della corda spezzata di Archimede di Siracusa (287-212 a.C.) prefigura il seno della somma e della differenza di due angoli.
 -230 Eratostene di Cirene (III-II sec. a.C.) determina la lunghezza della circonferenza terrestre mediante la rilevazione della distanza angolare del Sole dallo zenit. Il relativo trattato, Sulla misurazione della Terra, è andato perduto ma ne restano alcuni frammenti presso altri autori quali Erone (I a.C. – I d.C.) e Tolomeo. Certamente non si tratta della prima, e neanche l’ultima, determinazione fatta nell’antichità, tuttavia, è la più riuscita e famosa.
Effettua la misurazione nelle città di Syene (attuale Assuan) e Alessandria, fra loro distanti 5000 stadi, al mezzogiorno del solstizio d’estate ottenendo un valore per l’angolo d’inclinazione dei raggi solari rispetto allo zenit locale, rispettivamente, di 0° e 1/50 di 360°. Deducendo che la circonferenza della Terra deve essere 50 volte la distanza fra le due città, ottiene un risultato di 250000 stadi (corrispondenti a 39400 chilometri).
 -200 Apollonio di Perge (III-II sec. a.C.) crea il sistema degli epicicli e degli eccentrici per rappresentare il moto dei pianeti. Compone (forse) una tavola di corde anticipando Ipparco nell’applicazione di metodi trigonometrici all’astronomia.
 -140 Ipparco di Nicea (II sec.a.C.), considerato il padre della trigonometria, compila una tavola trigonometrica, come asserisce Teone di Alessandria (IV sec. d.C.). Scopre la precessione degli equinozi. Poche sono le informazioni che abbiamo su Ipparco e provengono principalmente da Tolomeo. L’unica opera di Ipparco giunta fino a noi è il Commentario ai “Fenomeni” di Eudosso e Arato.
100 La Sphaerica di Menelao di Alessandria (I sec. d.C.) antico trattato conosciuto di trigonometria sferica. Esso ci è pervenuto in una versione araba in tre libri: libro I dedicato alla geometria sferica, libro II dedicato all’astronomia e il libro III dedicato alla trigonometria sferica. Menelao è considerato il padre della trigonometria sferica avendola, per la prima volta, trattata in modo indipendente. Nell’opera viene dimostrato il teorema di Menelao (prima proposizione del terzo libro) che svolgerà un ruolo fondamentale nell’astronomia sferica durante i secoli seguenti e che nel Medio Evo (periodo storico convenzionalmente ricompreso dalla caduta dell’Impero Romano d’Occidente del 476 alla scoperta dell’America del 1492) era noto con il nome di regula sex quantitatum a causa delle sei quantità variabili che prende in considerazione. Viene fornita la prima definizione di triangolo sferico ossia, la figura formata da tre archi di cerchio massimo di una sfera ciascuno dei quali è minore di un semicerchio. Vi si trova anche il teorema che afferma che “se gli angoli di un triangolo sferico sono rispettivamente uguali a quelli di un altro, allora i due triangoli sono congruenti” che non ha nessun analogo per i triangoli piani. Lo stesso Teone di Alessandria (IV sec. d.C.) menziona un altro lavoro di Menelao che tratta delle Corde tirate di un cerchio.
 150
  • L’Almagesto (“il più grande”) (Mathematiké syntaxis) di Claudio Tolomeo di Tolemaide Ermea (II sec. a.C.) è un trattato in tredici libri che contiene l’esposizione sistematica dell’antica teoria della trigonometria piana e sferica basata sulle corde in un cerchio e le tavole risultanti per uso astronomico. Nel libro I, 11 si trova la prima tavola trigonometrica esistente (Tavola delle corde nel cerchio) e nel libro I, 13 la dimostrazione dei due teoremi di Menelao. Il Sistema Tolemaico costituisce la fondazione di tutta la scienza astronomica fino a Copernico. Il teorema della corda stabilisce che la lunghezza di una corda AB di una circonferenza di raggio r è data dal doppio prodotto del raggio per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda, ossia \(AB=2r\sin\alpha=2r\sin\beta\).
  • Viene trattato anche il teorema delle proiezioni per triangoli piani: in un triangolo qualunque la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure degli altri due lati per il coseno dell’angolo che ciascuno di questi forma con il primo, ossia \(a=b\cos\gamma+c\cos\beta\). Nell’opera si ritrovano le formule che forniscono, in termini moderni, il seno della somma e differenza di due archi e quello dell’arco metà, nonché quattro delle relazioni che risolvono i triangoli rettangoli sferici.
  • Nell’opera si trova il teorema delle tangenti per triangoli piani: in un triangolo qualunque il rapporto fra la somma di due lati e la loro differenza è uguale al rapporto fra la tangente della semisomma degli angoli opposti e la tangente della loro semidifferenza, ossia \((a+b)/(a-b)=\tan(\alpha+\beta)/2 / \tan(\alpha-\beta)/2\) che trae origine dal problema, trattato dallo stesso Tolomeo: trovare due archi data la loro somma (o la loro differenza) e il rapporto delle loro corde. Il teorema delle tangenti viene anche denominato teorema di Nepero in quanto le formule del teorema sono analoghe, nel triangolo piano, a quelle trovate da John Napier (Nepero) (1550-1617) per il triangolo sferico. (vedi Clavio, 1604 e Finck, 1583).
400 Il Surya Siddhanta (Sistema del Sole) è la prima opera in cui compare una tavola dei seni (intesi come corrispondenza tra la metà della corda di un cerchio e la metà dell’angolo sotteso al centro dall’intera corda a differenza della trigonometria di Tolomeo che si basava sul rapporto funzionale tra le corde di un cerchio e gli angoli al centro sottesi da esse).
499 Nell’Aryabhatiya di Aryabhata di Pataliputra (V-VI sec. d.C.) si trovano per la prima volta le funzioni del seno, coseno e senoverso e spiegato come calcolare una tavola di seni. Commentari di questa opera furono fatti da Bhaskara I (VII sec. d.C.) nel 629 e da Nilakantha (1445-1545) con Aryabhatiya Bhasya nel 1500.
540 Il matematico indiano Varahamihira (505-587), autore del compendio Pancha Siddhantika, introduce il coseno, formulando molte relazioni fra le tre funzioni trigonometriche conosciute
600 Nel Maha Bhaskariya di Bhaskara I viene ricavata una formula per calcolare il valore approssimato del seno di un angolo senza l’aiuto di una tavola goniometrica. Formula attribuita a Aryabhata di Pataliputra e riportata nell’opera Brahma Sputa Siddhanta di Brahmagupta.
665 Brahmagupta (VI-VII sec. d.C.), nell’opera Khanda Khadyaka, mostra come interpolare i seni di angoli in termedi con una tavola goniometrica. La formula di interpretazione di Brahmagupta è equivalente a quella di Newton-Stirling per le differenze di secondo grado
810 Habash al-Hasib al-Marwazi (796-860) introduce la nozione generale di tangente di un arco e compila anche tavole dei valori di cotangente, secante e cosecante. Tutte le sei funzioni trigonometriche sono ormai definite.
920 al-Battani (Albatenio) (850-929) dimostra il teorema del coseno per triangoli sferici, una relazione fondamentale di trigonometria sferica. Verso la fine del IX secolo effettuò un passo importante nella trigonometria sostituendo il seno (vedi Peuerbach, 1541) alla corda (ossia, il doppio del seno dell’arco metà) sino ad allora usato. La sua opera venne più volte tradotta in latino con il titolo Opus astronomicum.
1000 Abu ‘l-Wafa (959-988), nell’opera Kitab al-Majisti, e Abu Nasr Mansur (960-1036) dimostrano in modo indipendente alcuni dei più importanti teoremi di trigonometria per la risoluzione dei triangoli sferici: la “regola delle quattro quantità”, quella delle tangenti ed il teorema generale dei seni. L’opera Chiave per la scienza dell’astronomia di al-Biruni ne fornisce un resoconto.
1020
  • al-Biruni (973-1048), la cui opera maggiore è al-Qanun al-masudi (1035) in undici libri, enuncia il teorema del coseno per triangoli piani: in un triangolo qualunque il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati diminuita del doppio prodotto di questi due per il coseno dell’angolo opposto al lato considerato, ossia \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\). Si tratta del teorema di Pitagora generalizzato, essenzialmente contenuto in forma geoemtrica nelle proposizioni 12 e 13 del secondo libro degli Elementi di Euclide (IV sec. a.C.).
    Proposizione 12: “Nei triangoli ottusangoli il quadrato del lato opposto all’angolo ottuso è maggiore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l’angolo ottuso, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che contengono l’angolo ottuso e dalla proiezione dell’altro su esso”. pag. 187
    Proposizione 13: “Nei triangoli acutangoli il quadrato del lato opposto all’angolo acuto è minore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l’angolo acuto, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che contengono l’angolo acuto e dalla proiezione dell’altro su esso”, pag. 189
    da: Frajese, Attilio & Maccioni, Lamberto (a cura) Gli Elementi di Euclide, Classici della scienza UTET, Torino 1970
  • Il teorema del coseno si trova riportato e dimostrato anche da altri matematici moderni come in Trigonometria plana et sphaerica, linearis et logarithmica (1643) di Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647), in Course d’Analyse (1821) di Augustin Louis Cauchy (1789-1857) che lo deduce dal teorema dei seni e in De la corrélation des figures en géométrie (1800) di Lazare Nicolas Margherite Carnot (1752-1823) che lo dimostra utilizzando il teorema delle proiezioni e ne prende anche il nome di teorema del coseno o di Carnot.
  • al-Biruni (973-1048), insieme al suo maestro Abu Nasr, dimostra per la prima volta il teorema dei seni per triangoli piani: in un triangolo qualunque il rapporto fra la misura di un lato e il seno dell’angolo opposto è costante (modulo del triangolo) ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo, ossia \(a/\sin\alpha = b/\sin\beta = c/\sin\gamma = 2r \). Il teorema dei seni si trova applicato da al-Battani (Albatenio) (850- 929) che vi giunge mediante il teorema di Pitagora. In tempi moderni, una dimostrazione generale venne fornita da Augustus Ferdinand Möbius (1790-1868), che tenne conto dell’orientamento dei lati e del senso di rotazione degli angoli (vedi Gersonide, 1316).
1075 L’arabo Andaluso Ibn Mu’adh al-Jayyani (X-XI sec. d.C.), autore tra l’altro del primo tentativo di misurare l’altezza dell’atmosfera (con metodi trigonometrici), introduce nel suo trattato Libro delle incognite degli archi della sfera, recentemente scoperto, il concetto di triangolo polare.
1140 Jabir ibn Aflah al-Ishbili (Geber) (1100-1150) trova un’altra delle sei relazioni che risolvono i triangoli rettangoli sferici, utile quando si conosce un lato e l’angolo adiacente \(\cos\alpha = \cos\alpha \sin\beta\) (teorema di Geber).
1150 Siddhanta Siromani (Diadema dei Siddhanta) di Bhaskara II (Bhaskaracarya “il maestro”) (1114-1185), trattato in quattro parti spesso considerate opere indipendenti dai titoli Lilavati, Bijaganita, Grahaganitadhyaya e Goladhyaya. Studio sistematico e accurato della trigonometria con migliore accuratezza delle tavole dei seni rispetto ai suoi predecessori. Riconobbe che il titolo acharya (maestro/insegnante) di astronomia spettasse soltanto a coloro che disponevano di sufficienti nozioni di trigonometria.
1220 La Practica geometriae (1220) di Leonardo Pisano (Fibonacci) (1170-1250) è la prima opera europea in cui viene trattata la trigonometria. Questo trattato, in cui viene posta una base teorica alla materia, riproduce gran parte della trigonometria greca e araba, che Fibonacci utilizza anche in agrimensura al posto dei metodi geometrici romani.
1250 Nasir al-Din (soprannome che significa “difensore della fede”) al-Tusi (1201-1274) scopre l’ultima relazione per risolvere i triangoli rettangoli sferici, cosc = cotα cotβ, e si serve con chiarezza del triangolo polare, riprendendo alcuni studi di Abu Nasr. La sua grande opera Trattato sul quadrilatero è il primo lavoro in cui la trigonometria viene considerata come disciplina indipendente dall’astronomia.
1316 L’ebreo provenzale Lewi ben Gereshon (Gersonide) (1288-1344) fornisce un notevole contribuito alla trigonometria. Tuttavia, la sua opera, in lingua ebraica, resterà a lungo ignorata. A lui si deve la più antica dimostrazione del teorema dei seni per i triangoli piani, effettuata ricorrendo al cerchio circoscritto e alla proprietà che un lato è uguale al prodotto del diametro per il seno dell’angolo opposto.
1330 Riccardo di Wallingford con le opere Quadripartitum e De sectore fornisce un quadro più completo delle conoscenze trigonometriche in Europa.
1400 Madhava di Sangamagrama in Kerala (1340-1425) ricava la serie per la tangente inversa attribuita a Gregory (1667), la serie di potenze per il seno e il coseno attribuita a Newton (1676) e quella di Leibniz per \(\pi\), nonché alcune approssimazioni razionali di funzioni trigonometriche , tra cui la serie di Taylor per le funzioni seno e coseno. Attribuzioni che si trovano nelle opere Tantra Samgraha di Nilakantha, nel Karana Paddhati di Putumana Somayaji, nel Yuktibhasa di Jyesthadeva, nel Kriyakramakari di Narayana, nel Sandratnamala di Sankara Varman.
1410 Jamshid al-Kashi (1380-1429) formula un algoritmo iterativo, basato su un’equazione cubica, per trovare il seno di 1° con l’accuratezza desiderata. Sviluppa inoltre dei procedimenti di calcolo estremamente raffinati, ottenendo ad esempio un valore di \(\pi\) esatto fino alla 16a cifra decimale. Trattate nelle opere Epistola comprensiva sulla circonferenza e Trattato sulla corda e sul seno.
1440 Nel Tractatus de sinibus, chordis et arcubus di Giovanni di Gmunden (1384-1442) vengono introdotti due diversi metodi per il calcolo della tavola dei seni.
1490 L’Opus tabularum directionum profectionumque (1467, ma pubblicata postuma nel 1490) e il De triangulis omnimodis (1464, ma pubblicata postuma nel 1533) di Johann Müller (Regiomontano) (1436-1476) sono i primi libri apparsi in Europa a trattare la trigonometria piana e sferica in maniera sistematica e completa nonché indipendente dall’astronomia. Nell’opera del 1533 appare per la prima volta, sebbene implicitamente, la formula trigonometrica per trovare l’area di un triangolo, espressa come \(S= (bc \sin\alpha)/2\). Utilizza anche la nuova funzione di senoverso, già usata in India, che gli Arabi chiamano sahem (freccia) e che nel termine latino di sagitta venne usato da Fibonacci e altri autori. Calcolò tavole dei seni, la prima in assoluto pubblicata a stampa nel 1490, a doppia entrata come la Tabula primi mobilis e le Tabulae directionum, comprendente anche una tavola delle tangenti (che chiamò Tabula fecunda).
1514 Johann Werner (1468-1528) nell’opera De triangulis sphaericis (1514) perfeziona il lavoro di Regiomontano nel campo della trigonometria sferica. Utilizzando le formule di prostaferesi, introduce le tre formule eponime: \[\sin\alpha \cos\beta = 1/2 [\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\]\[\cos\alpha \cos\beta = 1/2 [\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\]\[ \sin\alpha\sin\beta = 1/2 [\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)] \] La seconda delle quali già nota agli Arabi, per semplificare i calcoli astronomici.
1541 Georg von Peuerbach (1423-1461) nell’opera Tractatus super propositiones Ptolomaei de sinibus et arcubus (1541) introduce, per la prima volta, il termine seno.
1542 Il De lateribus et angulis triangulorum (1542) e il De revolutionibus orbium coelestium (1543) di Niklas Kopernik (Copernico) (1473-1543) contengono importanti contributi alla trigonometria. L’opera del 1543, nei capp. XII-XIV del Libro I, contiene una tavola dei seni e un’ampia esposizione di trigonometria sia piana sia sferica, necessaria per comprendere i procedimenti matematici utilizzati nel trattato astronomico stesso.
1579 Primo libro Universalium inspectionum ad canonem mathematicum liber singularis e secondo libro Canon mathematicus seu ad triangula cum appendicibus (Canon mathematicus) (1579) di François de la Bigotière Viète (Vieta) (1540-1603) contiene estese tavole di tutte le sei funzioni trigonometriche. L’opera di Vieta apporta numerosi contributi alla trigonometria rendendola analiticamente moderna come oggi la conosciamo: come il trattamento sistematico dei triangoli piani e sferici, l’uso del triangolo polare, le formule di prostaferesi e delle tangenti, quelle dell’angolo multiplo e l’espressione del prodotto infinito per \(\pi\). Viète considera la trigonometria la più nobile tra le scienze matematiche alla quale dedica la maggior parte della sua opera matematica composta da 16 trattati.
1583 Thomas Finck (1561-1656) nell’opera Geometriae rotundi (1583) introduce il termine tangente e il termine secante e dimostra, per la prima volta, il teorema delle tangenti (vedi Vieta, 1593).
1590 Philippe van Lansberg (1561-1632) nell’opera Triangulorum geometriae enuncia il teorema del coseno relativo agli angoli in trigonometria sferica, dedotto con l’ausilio del triangolo polare.
1591 De aequationum recognitione et emendatione (1591, pubblicato postumo nel 1615) di François de la Bigotière Viète (Vieta) (1540-1603) ricorre alla soluzione trigonometrica dell’equazione cubica come anche nell’opera Supplementum geometriae (1593). Soluzione che venne illustrata da Albert Girard (1590-1633) nell’opera Invention nouvelle en l’algèbre (1629).
1592 Le opere De planis triangulis (1592) e Primum mobile duodecim libris contentum (1609) di Giovanni Antonio Magini (1555-1617) contengono tavole di funzioni trigonometriche.
1593 Variorum de rebus mathematicis responsorum (1593) di François de la Bigotière Viète (Vieta) (1540-1603) riporta una proposizione, forse fu il primo a usarla, equivalente alla nostra legge della tangente (vedi Finck, 1583). Utilizzò aree di poligoni inscritti nel cerchio per scoprire un’espressione numerica per \(\pi\).
1595 Il termine trigonometria appare per la prima volta nel titolo del manuale espositivo Trigonometria, sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus (1595) di Bartholomäeus Pitiscus (Pitisco) (1561-1613) inserito nel volume Sphaericorum libri tres (1595) di Abraham Scultetus (Sculteti) (1566-1624). Tavole di funzioni trigonometriche sono anche contenute nell’opera Thesaurus mathematicus (1613) sempre di Pitisco.
1596
  • Van der Circkel (1596) di Ludolph van Ceulen (1590-1610);
  • L’opera Opus palatinum de triangulis (1569, ma completata e pubblicata postuma dal suo allievo Valentin Otho (1550-1602) nel 1596) di Georg Joachim von Lauchen (Retico) (1514-1576) contiene, per la prima volta in Occidente, tavole dei valori naturali dei seni, delle tangenti e delle secanti da 0° a 90° in 10” in 10” che egli definisce in relazione ad un angolo anziché all’arco di un cerchio. Ricava le formule \[ \sin n\alpha = 2\sin(n-1)\alpha\cos\alpha-\sin(n-2)\alpha \] \[\cos n\alpha = 2\cos(n-1)\alpha\cos\alpha – \cos(n-2)\alpha\] applicandole alla costruzione delle sue tavole ed enuncia: \[ \tan(\alpha/2) = \pm [(p-b)(p-c)/p(p-a)]^{0.5}\] (vedi Briggs, 1633)
1604 Geometria pratica (1604) di Schlüssel Christoph (Clavio) (1538-1612) contiene una dimostrazione del teorema delle tangenti.
1609 Canon triangulorum (1609) di Andriae van Roomen (1561-1615).
1613 L’opera Thesaurus mathematicus (1575, ma completata e pubblicata postuma da Bartholomäeus Pitiscus (Pitisco) (1561-1613) nel 1613) di Georg Joachim von Lauchen (Retico) (1514-1576) contiene tavole di funzioni trigonometriche ancora più precise di quelle del 1596.
1614

1617

1619

1620

1624

  • John Napier (Nepero) (1550-1617) nelle opere Mirifici logarithmorun canonis descriptio (1614) e Mirifici logarithmorun canonis constructio (postuma, 1619 a cura del figlio Robert 1580-1655) espone i logaritmi naturali (in base e). Introduce il termine logaritmo (numero della ragione).
  • Jobst Bürgi (1552-1632) nell’opera Arithmetische und geometrische progress tabulen (1620), fornisce i risultati del suo lavoro risalente agli anni 1603-1611.
  • Henry Briggs (1561-1631) nelle opere Logarithmorum chilias prima (1617) e Aritmetica logaritmica (1624) espone i logaritmi decimali (in base 10) che rispetto a quelli neperiani risultano più facilmente trattabili.
  • Nel New logarithmes (1619) di John Speidell (1600-1634) sono calcolati i logaritmi naturali delle funzioni trigonometriche.
  • Sviluppati dietro le necessità della trigonometria, la scoperta dei logaritmi nè apporta una sostanziale riorganizzazione. Molte formule vengono modificate e altre introdotte ex novo (come le analogie di Napier) in modo da poterle utilizzare nel calcolo logaritmico. La scoperta delle parti circolari ad opera di Napier permette di sostituire attraverso una sola e chiara regola le numerose formule usate fino ad allora nel calcolo dei triangoli sferici. Vengono costruite tavole che danno i logaritmi dei seni degli angoli. Con l’introduzione dei logaritmi l’uso della funzione cosecante e secante andò scomparendo.
1627 Doctrina triangulorum canonica (postuma 1627) di Willebrord van Royen Snell (Snellius) (1591-1626).
1631 Ad logisticem speciosam notae priores (1631) di François de la Bigotière Viète (Vieta) (1540-1603) da cui trae le formule dell’angolo multiplo.
1632 Directorium generale uranometricum (1632) di Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) dimostra che l’area A di un triangolo sferico è dato da \(A=\epsilonR^2\), dove \(\epsilon=\alpha+\beta+\gamma-\pi\)  rappresenta l’eccesso sferico del triangolo. Nella formulazione del teorema viene comunque preceduto da Albert Girard (1590-1633) [introdusse il simbolo \(\infty\)] e Thomas Harriot (1560-1621) [introdusse i simboli < >]. Oltre a dimostrare le analogie di Napier, esprime, con l’ausilio di relazioni trigonometriche, il logaritmo della somma e della differenza di due numeri.
1633 Henry Briggs (1561-1631) nell’opera Trigonometria britannica (postuma 1633) utilizza la formula relativa alla tangente (vedi Lauchen, 1596) in quanto atta al calcolo logaritmico. Per questo motivo vengono dette, per consuetudine, formule di Briggs, quelle che esprimono le funzioni trigonometriche degli angoli di un triangolo mediante i suoi lati \(\sin(\alpha/2)=\pm[(p-b)(p-c)/bc]^{0.5}\) (dovuta a William Purser, metà del XVII secolo)  \(\cos(\alpha/2) = \pm [p(p-a)/bc]^{0.5}\) (dovuta a William Purser, metà del XVII secolo), \(\tan(\alpha/2) = \pm [(p-b)(p-c)/p(p-a)]^{0.5}\) (dovuta a Lauchen, 1596) in cui $p$ è il semiperiodo del triangolo
1643 Trigonometria plana et sphaerica, linearis et logarithmica (1643) opera di Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647). Fornisce la formula dell’area del triangolo sferico in funzione dei lati.
1657 Trigonometry (1657) di William Oughtred (1574-1660) è la prima opera nella quale si trova stabilita tutta la nomenclatura trigonometrica.
1667 James Gregory (1638-1675) ottiene le serie della tangente e della secante.
1706 William Jones (1675-1749) nell’opera Synopsis palmariorum matheseos (1706) introduce, in onore di Pitagora, il simbolo \(\pi\).
1707 Abraham de Moivre (1667-1754) dimostra un’espressione equivalente alla sua famosa formula \((\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta\). Introduce la trigonometria dei numeri immaginari. La formula di Moivre è la relazione che permette di calcolare la potenza di un numero complesso scritto sotto forma trigonometrica.
1710 Thomas Fantet de Lagny (1660-1734) fu il primo ad esporre in forma chiara la periodicità delle funzioni trigonometriche. Introduce il termine goniometria. Ricava le formule generali per tan nx e sec nx direttamente dal triangolo rettangolo.
1711 Isaac Newton (1642-1727) nell’opera De analisi per aequationes numero terminorum infinitas (1711 ma redatta nel 1699) fornisce lo sviluppo in serie di potenze di seno e coseno.
1746 Analysis triangulorum (1746) di Friedrich Wilhelm von Oppel (1720-1769).
1748 Introductio in analysin infinitorum (1748) di Leonhard Euler (Eulero) (1707-1783) fornisce una trattazione completa della goniometria. Assume il raggio del cerchio goniometrico uguale all’unità e considera le sei funzioni trigonometriche come funzioni dell’arco. Diede le formule di Euler che legano le funzioni trigonometriche alle funzioni esponenziali, notevoli sviluppi in serie e in prodotti infiniti per le funzioni circolari dirette e inverse. Notevoli anche i contributi apportati alla trigonometria sferica che si trovano in diversi lavori pubblicati nel 1753 a Berlino e nel 1779 a Pietroburgo, come il triangolo euleriano o triangolo sferico ordinario.
1753 Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits (1753) di Leonhard Euler (Eulero) (1707-1783).
1757 Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium (1757) di Vincenzo Riccati (1707-1775) introduce le funzioni iperboliche e utilizza la notazione Ch per il coseno e Sh per il seno. Le prime tavole vennero introdotte da Johann Heinrich Lambert (1728-1777) nel 1768 che utilizzò le notazioni cosh, sinh e tgh e diffuse la nuova trigonometria iperbolica.
1761 Johann Heinrich Lambert (1728-1777) dimostra l’irrazionalità di \(\pi\), ossia non esprimibile come rapporto di interi.
1765 Institutiones analyticae (1765) di Vincenzo Riccati (1707-1775), in analogia con le corrispondenti funzioni trigonometriche, introduce in modo geometrico il seno e il coseno iperbolici, precisati poi analiticamente da Johann Heinrich Lambert (1728- 1777). Chiama lineae trigonometricae, come anche Gerolamo Saladini (1731-1813), le sei funzioni circolari (seno, coseno, tangente, cosecante, secante e cotangente).
1770 Analytische Trigonometrie (1770) di Georg Simon Klügel (1739-1812). Chiama funzioni trigonometriche le sei funzioni circolari (seno, coseno, tangente, cosecante, secante e cotangente). Contiene una dimostrazione del teorema delle tangenti.
1779 Trigonometria sphaerica universa ex primis principiis breviter et dilucide derivata (1779) di Leonhard Euler (Eulero) (1707-1783).
1784 Giuseppe Luigi Lagrangia (1736-1813) nel 1784 e Adrien Marie Legendre (1752- 1833) nel 1786 notano la sussistenza di una analogia tra le formule della trigonometria sferica e quelle delle funzioni ellittiche.
1786 Trigonometria piana e sferica (1786) di Antonio Cagnoli (1743-1816). Fornisce una prima definizione moderna di tutte le sei funzioni trigonometriche.
1787 Mémoire sur les opérations trigonométriques dont les resultats dépendent de la figure de la Terre (1787) di Adrien Marie Legendre (1752-1833). Con il teorema eponimo, nel campo geodetico, permette di risolvere un triangolo sferico mediante le formule della trigonometria piana. Questa è un caso limite di quella sferica.
1803 Georg Simon Klügel (1739-1812) nell’opera Mathematisches Worterbuch (1803- 1808) introduce il termine punti notevoli.
1808 Formule di Mollweide: attribuite a Karl Brandan Mollweide (1774-1825) che le pubblica nel 1808 in Monatl. Corr. Erd-Himmelsk., 18 p. 398 e, successivamente, nel 1812 in Ann. math. pures appl. 3 p. 350. Tuttavia, la seconda (quella del coseno) si trova già in Arithmetica universalis (1707) di Isaac Newton (1642-1727) ed entrambe (del coseno e del seno) in Analysis triangulorum (1746) di F. W. de Oppel (1720-1769) dedotte dal teorema delle tangenti. Ma anche in Principes d’astronomie sphérique (1765) di Antoine René Mauduit (1731-1815) e in Trigonometria piana e sferica (1786) di Antonio Cagnoli (1743-1816).
1809 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) nell’opera Teoria motus corporum coelestium (1809) generalizza le formule della trigonometria sferica.
1822 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) nell’opera Théorie analytique de la chaleur (1822) formalizza l’idea, già affermata da Alexis Claude Clairaut (1713-1765) e Daniel Bernoulli (1700-1782), che una funzione arbitraria può essere rappresentata mediante una serie trigonometrica.
1826 Grundlehren der ebenen und sphärischen Trigonometrie (1826) di Karl Dietrich von Münchow (1778-1836). Chiama funzioni goniometriche le sei funzioni circolari (seno, coseno, tangente, cosecante, secante e cotangente).
1829
  • Sui principi della geometria (1829) di Nikolaj Ivanovic Lobacevskij (1793-1857) [estratto di una sua precedente memoria dal titolo Exposition succincte des principes de la géométrie avec une démonstration rigoureuse du théorème des parallèles presentata e letta all’Università del Kazan nel 1826] si trova la geometria non euclidea iperbolica o dell’angolo acuto (dallo stesso chiamata immaginaria e, successivamente, pangeometria) nella quale la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di due angoli retti. Sono messe in relazione le varie geometrie piane mediante il confronto delle corrispondenti leggi di trigonometria.
  • Sur la convergence des séries trigonométriques (1829) di Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859).
1834 Saggio d’un trattato generale di trigonometria (1834) di Filippo Corridi (1806-1877).
1835 Lehrbuch der niederen Sphärik (1835) di Christoph Gudermann (1798-1852).
1838 Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) misura la prima parallasse di una stella (61 Cygni). Con il metodo della parallasse trigonometrica è possibile determinare la distanza di corpi celesti fino a circa 500 anni luce.
1846 Augustus Ferdinand Möbius (1790-1868) introduce i triangoli di Möbius.
1863 Tavole dei logaritmi delle funzioni circolari e iperboliche (1863) di Angiolo Forti (1818-1900) contiene anche un studio di Ottaviano Fabrizio Mossoti (1791-1863).
1866 Trattato elementare di trigonometria piana e sue applicazioni (1866) di Ermenegildo Francolini.
1869 William Henry Besant (1828-1917) nell’opera Conic Sections (1869) introduce il termine ortocentro per il punto d’incontro delle tre altezze di un triangolo
1871 James Thomson (1822-1892) introduce il termine radiante.
1873 Èmile Michel Hyacinthe Lemoine (1840-1912) con la memoria Sur quelques propriétés d’un point remarquable d’un triangle (1873) si fa iniziare la moderna geometria del triangolo.
1882 Ferdinand von Lindemann (1852-1939) dimostra la trascendenza di \(\pi\), ossia non è radice di alcuna equazione algebrica a coefficienti razionali.
1891 Friedrich Georg Schilling (1868-1950) studia la trigonometria sferica Über die geometriche Bedeutung der Formeln der sphärischen Trigonometrie im Falle complexer Argumente (1891), come Gaston Tarry (1843-1913) quella piana, quando i lati e gli angoli sono considerati variabili nel campo complesso.
1893 Eduard Study (1862-1930), come anche Augustus Ferdinand Möbius (1790-1868), considerando i lati dotati di un verso, generalizza il concetto di triangoli sferici.
1894 Über die hypergeometrische Funktion (1894) di Christian Felix Klein (1849-1925).
1895 Trattato di trigonometria piana e sferica (1895) di Giuseppe Pesci ()
1899

1901

In Traité de nomographie (1899) di Philibert Maurice d’Ocagne (1862-1938) e in Cenni di nomografia (1901) di Giuseppe Pesci () si trovano i primi metodi grafici per la risoluzione approssimata dei triangoli.
1928 Serie trigonometriche (1928) di Leonida Tonelli (1885-1946).
1934 Tullio Levi-Civita (1873-1941) nell’opera Terne di congruenze sopra una superficie ed estensione della trigonometria (1934), estende la trigonometria ad una superficie qualunque.

 

Bibliografia

  • aa.vv. Enciclopedia delle matematiche elementari e complementari, 7 voll., Hoepli, Milano 1979
  • Agostini, Amedeo Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche. Trigonometria piana e sferica (vol. II parte 1 cap. XXX pp. 541-615)
  • Bortolotti, Ettore Storia della matematica elementare (vol. III parte 2 cap. LVIII pp. 539-750)
  • Fano, Gino Geometrie non euclidee.e non archimedee (vol. II parte 2 cap. XXXVIII pp. 435-512)
  • aa.vv. Matematica, le Garzantine, Garzanti, Milano 2013
  • Boyer, Carl Benjamin Storia della matematica, Mondadori, Milano 1994 – Trigonometria e misurazione nella Grecia antica cap. 10 pp. 186-206
  • Buscherini, Stefano Nel segno di Urania. Introduzione alla trigonometria greca e al calcolo delle corde, Mimesis, Milano 2009
  • Flora, Ferdinando Trigonometria piana Hoepli, Milano 1977
  • Frajese, Attilio & Maccioni, Lamberto (a cura) Gli Elementi di Euclide, Classici della scienza UTET, Torino 1970
  • Iaccarino, Bruno La storia dei segni matematici, Ed. Scientifiche Italiane, Napoli 1995
  • Kline, Morris Storia del pensiero matematico I Dall’antichità al Settecento II Dal Settecento a oggi, 2 voll. Einaudi, Torino 1999
  • Loria, Gino Le scienze esatte nell’antica grecia, Hoepli, Milano 1914
  • Mazzucato, T. Michele Triangoli piani e loro risoluzione, CLUP, Milano 2005
  • Paladini, Franco & Sicoli, Salvatore Angoli linee stelle. Origini e sviluppo della trigonometria, Aracne, Roma 2004
  • Piccato, Alfredo Dizionario dei termini matematici, Rizzoli, Milano 1987

 

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