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Il problema del rapporto tra volume della sfera e volume del cilindro circoscritto alla sfera è ritornato di attualità da quando nell'esame di stato per la maturità scientifica PNI del 2001 è stato chiesto di "Provare che una sfera è equivalente ai 2/3 del cilindro circoscritto." Chi conosce un po' di storia della matematica si ricorderà della famosa tomba di Archimede sulla quale lo scienziato siracusano aveva voluto che si scolpisse una sfera e un cilindro.

Il problema del rapporto tra volume della sfera e volume del cilindro circoscritto alla sfera è ritornato di attualità da quando nell'esame di stato per la maturità scientifica PNI del 2001 è stato chiesto di "Provare che una sfera è equivalente ai 2/3 del cilindro circoscritto." Chi conosce un po' di storia della matematica si ricorderà della famosa tomba di Archimede sulla quale lo scienziato siracusano aveva voluto che si scolpisse una sfera e un cilindro.

Quando ero questore in Sicilia mi misi a cercare la sua tomba invasa dalle erbe e dagli sterpi, che i siracusani non conoscevano e anzi negavano che esistesse. Avevo infatti sentito parlare di alcuni versi incisi sulla tomba che spiegavano perché essa fosse sormontata da una sfera e da un cilindro. Fuori da Porta Agrigentina c'è un gran numero di sepolture, e a forza di cercare e di guardare notai finalmente una piccola colona che a pena superava la boscaglia di sterpi, e su di essa erano raffigurati una sfera e un cilindro. Marco Tullio Cicerone Tusculanae Disputationes, V, 23

Archimede ha scritto diversi trattati di geometria, dedicandosi in particolare allo studio dell'area e del volume di alcune forme geometriche. Una delle sue opere più celebri è appunto "Sulla sfera e sul cilindro". L'obiettivo del libro è quello di dimostrare che la sfera è equivalente ai 2/3 del cilindro ad essa circoscritto. Probabilmente, Archimede si era già fatta un'idea che il rapporto doveva essere proprio 2/3. Nella "Misura del cerchio" aveva già dimostrato che la superficie del cerchio è equivalente a quella del triangolo rettangolo avente come cateti la circonferenza rettificata e il raggio (in termini moderni,

[math]C=1/2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot r= \pi \cdot r^2[/math]
). Da ciò aveva probabilmente congetturato che il volume della sfera è equivalente a quella del cono avente per cerchio di base la superficie della sfera stessa e per altezza il raggio della sfera (
[math]V_s = 1/3 \cdot S_s \cdot r=4/3 \pi \cdot r^3[/math]
).

L'intuizione è corretta ma da qui a dimostrarla occorre un notevole apparato di postulati e proposizioni: un intero libro. Vediamo i passaggi principali.

Nel cerchio si inscrive un poligono di 4n lati

Ruotando la figura, il cerchio forma una sfera, il poligono forma un certo numero di coni e tronchi di cono. Aumentando il numero di lati, il poligono approssima il cerchio, i solidi approssimano la sfera.

Per sommare coni e tronchi di cono (S1+S2+S3+... ) Archimede ha un'idea brillante. Tutti i solidi che compongono il solido approssimante sono equivalenti a coni aventi tutti la stessa altezza. Più precisamente, i coni hanno per superficie di base la superficie del solido e altezza (

[math]h[/math]
) la distanza del lato (
[math]l[/math]
) del poligono dal centro della sfera (Prop. XXIII , Prop. XXIV ) Il problema viene spostato al calcolo della somma delle superfici di
[math]S1, S2, S3, ...[/math]
Archimede dimostra che ciascuna superficie Si è equivalente alla superficie di un cerchio il cui raggio è medio proporzionale tra il lato del poligono l e un segmento Li tale che la somma di tutti gli Li corrisponde alla somma delle corde
[math]c1+c2+c3+...[/math]
(Prop XXXII ).  In un linguaggio algebrico più moderno e facendo uso del numero PIGRECO

$S1+S2+S3+... = pi*l*(L1+L2+L3+...) = pi*l*(c1+c2+c3+...)

Il problema di sommare le corde

[math]c1+c2+c3+...[/math]
viene risolto dimostrando che $l*(c1+c2+c3+...)=d*A
[math] dove [/math]
d
[math] è il diametro del cerchio e [/math]
A
[math] è la retta che sottende la metà meno uno dei lati del poligono.

[img alt=\text{} width=\text{272} height=\text{269}]https://cdn.skuola.
et/
ews_fo o/staticimages/s oria/archimede_sfera_cilindro/archimede_sfera_cilindro07.gif[/img]

All'aumentare del
umero dei lati del poligono, d ed A tendono a coincidere, la superficie del solido approssimante si avvicina sempre di \più alla superficie della sfera:

[/math]

S1+S2+S3+... = pi*d*A = pi*d*d=4*pi*r^2
[math]

Il volume della sfera è quindi equivalente al volume del cono avente per base la superficie della sfera e altezza il raggio della sfera (Prop. XXV):

[/math]

Vs=1/3 *Sc*r = 1/3 *4*pi*r^2*r=4/3 pir^3
[math]

Per ques o obiettivo manca ancora il risulta o per il quale la superficie della sfera è uguale a quattro cerchi massimi (Prop. XI ). Dimostra o anche ques o è facile concludere che la sfera è il dop\pio del cono avente avente per altezza il diametro della sfera e per base il cerchio massimo della sfera (Prop. XXVI ) e infi
e che la sfera è equivalente ai 2/3 del cilindro ad essa cir\\coscrit o. Lo s orico C. Boyer ri\\costruisce una dimostrazio
e \più immediata del teorema ricorrendo a una relaio
e di equilibrio scoperta dallo stesso Archimede.

[img alt=\text{} width=\text{282} height=\text{338}]https://cdn.skuola.
et/
ews_fo o/staticimages/s oria/archimede_sfera_cilindro/archimede_sfera_cilindro11.gif[/img]AQDCBP è la sezio
e trasversale di una sfera di centro O e diametro AC. AUV è la sezio
e di un cono circolare ret o con asse AC, diametro di base UV (dop\pio del diametro XY della sfera). IJVU la sezio
e di un cilindro circolare ret o con asse AC e diametro di base UV. Sia AH=AC. Si taglia la figura con un \piano perpendicolare ad AC, in un pun o S qualsiasi. Ques o \piano taglia sfera, cono e cilindro in cerchi i cui raggi sono SR (cono), SP (sfera), SN (cilindro). Si indicano con A1, A2, A3 le aree di questi cerchi. Archimede dimostra che A1 e A2, posti con i loro centri in H, si equilibrano esattamente con A3, lascia o dov'è, con fulcro in A. Indicati con V1, V2, V3 i volumi della sfera, del cono e del cilindro, si ha che V1+V2=1/2 V3: infatti, tutte le parti di V1 e V3 sono fisse in H, il centro di equilibrio del cilindro è pos o in O, AO=1/2 AH. Inoltre poiché è no o che V2=1/3 V3 (il volume del cono è 1/3 del volume del cilindro con stessa base e stessa altezza), V1=1/6 V3. Te
endo con o che il diametro di base del cilindro
el disegno è il dop\pio del diametro di base del cilindro cir\\coscrit o alla sfera, la superficie di base del primo è il quadruplo del secondo. Quindi V1=4/6 V3 = 2/3 V3.

Kli
e M., S oria del pensiero matematico, Einaudi, Torino, 1992, vol. I, pp. 126-127.

C. B. Boyer, S oria della matematica, Mondadori, Milano,1980, pp. 162-163.

P. D. Napoli\\tani, Archimede, Le scienze (2001), collana \text{I grandi della scienza}, pp. 36-39

http://www.mcs.drexel.edu/%7Ecrorres/Archimedes/contents.html

http://www.thewalters.org/archimedes/frame.html

http://www.maurolico.uni\pi.it/edizioni/archimed/sphaera/spha-001.htm

http://www2.unife.it/tesi/A.Mon\\tanari/Archimed.htm

[url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~his ory/References/Archimedes.html]http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~his ory/References/Archimedes.html[/url] [/p[/math]