Bernard Riemann: la geometria come ipotesi

Bernhard Riemann: la geometria come ipotesi

Di origini modeste, G. F. B. Riemann si laurea presso l'Università di Gottinga, in Germania, discutendo una tesi sulla teoria delle funzioni di variabile complessa, ricca di nuove idee per lo studio dell'analisi, della topologia e della fisica matematica. Nel 1854, è tenuto a presentare, sempre presso l'Università di Gottinga, una dissertazione per ottenere il titolo di Privatdozent , che gli avrebbe permesso di dare lezioni private presso l'università.

Riemann aveva proposto tre temi: due su elettricità e magnetismo, uno sulla geometria. Argomenti di cui si occupava il suo maestro Gauss. Proprio Gauss, contrariamente alle aspettative del giovane Riemann, sceglie il tema più complesso e filosoficamente più impegnativo e compromettente: collegare le più avanzate ricerche matematiche con il problema filosofico dello spazio.

In una lettera al fratello, Riemann scriveva:

Con i miei lavori va ora discretamente: all'inizio di dicembre ho consegnato lo scritto di abilitazione e insieme a quello dovevo proporre tre temi per la lezione d'abilitazione, tra i quali la facoltà ne sceglie uno. I primi due li avevo pronti e speravo che si sarebbe preso uno di quelli: Gauss però aveva scelto il terzo, e così ora sono di nuovo un po' alle strette, poiché questo devo ancora prepararlo.

Il compito che deve affrontare Riemann è quello di proseguire le ricerche del maestro nel campo della geometria differenziale delle superfici (vedi la scheda su Gauss ) ed esplicitarne le implicazioni filosofiche. La relazione doveva essere presentata all'intero consiglio della facoltà di filosofia e quindi a un pubblico costituito principalmente da filosofi; ciò costringe Riemann a un ulteriore sforzo per semplificare il complesso linguaggio tecnico della geometria differenziale.

Il risultato è un capolavoro che ha aperto la strada a numerosi campi della matematica (topologia, geometria differenziale, spazi a un numero qualsiasi di dimensioni, fondamenti della geometria, geometrie non euclidee) e della fisica (molti lo considerano il punto di partenza per la teoria della relatività di Einstein).

E' noto che la geometria presuppone, come qualcosa di dato, sia il concetto di spazio, sia i primi concetti fondamentali per le costruzioni nello spazio. Di essi dà soltanto definizioni nominali, mentre le determinazioni essenziali compaiono sotto forma di assiomi.

E' l'esordio della conferenza. Nonostante lo sforzo di matematici e filosofi, continua Riemann, il significato profondo dei fondamenti della geometria rimane nell'ombra. Non siamo in grado di affermare né se, o fino a che punto, le relazioni tra i concetti elementari della geometria sono necessarie, né addirittura se sono possibili.

La ragione sta forse nel fatto che non è stato per nulla sviluppato il concetto generale di grandezze pluri-estese, in cui rientrano le grandezze spaziali.

Il primo passo è quindi quello di introdurre la nozione di grandezza molteplicemente estesa, molteplicità (Mannigfaltigkeit ) o varietà secondo l'uso attuale del termine.

Concetti di grandezza sono possibili solo là dove esiste già un concetto generale che permette diversi modi di determinazione. A seconda che tra questi modi di determinazione vi sia o no un passaggio continuo dall'uno all'altro, essi formano una varietà continua o una varietà discreta; i singoli modi si chiamano nel primo caso punti, nel secondo caso elementi, della varietà.

Vi sono numerosi esempi di varietà discrete, mentre quelle continue sono casi piuttosto limitati. I casi più semplici di varietà continue sono le posizioni degli oggetti e i colori. Esse trovano, invece, un gran numero di applicazioni nella matematica superiore.

Le varietà discrete, cioè gli insiemi finiti di elementi, si possono confrontare semplicemente contando gli elementi.

Lo studio delle varietà continue è più complesso e si fonda su due elementi: il numero di dimensioni della varietà e l'assegnazione delle coordinate ad ogni punto di essa.

Se in un concetto i cui modi di determinazione formano una varietà continua, si passa secondo modalità definite, da un modo di determinazione a un altro, i modi di determinazione attraversati formano una varietà mono-estesa, il cui carattere essenziale è che da ogni suo punto ci si può spostare con continuità soltanto in due direzioni, in avanti o indietro. Se si immagina ora che questa varietà si trasformi di nuovo in un'altra, del tutto diversa, naturalmente ancora una volta secondo modalità definite, e ciò in modo che ogni punto dell'una passi in un punto determinato dell'altra, i modi di determinazione così ottenuti formano insieme una varietà biestesa. In modo analogo si ottiene una varietà triestesa, se si immagina che una varietà biestesa si trasformi secondo modalità definite, in una del tutto diversa, ed è facile vedere come questa costruzione possa procedere oltre. […] questa costruzione può essere indicata come una composizione di una variabilità a n+1 dimensioni, formata da una variabilità a n dimensioni e da una a una sola dimensione.

Il numero di dimensioni è quindi una caratteristica della varietà. L'assegnazione delle coordinate è, invece, un'operazione arbitraria, fatta eccezione per due aspetti: il numero delle coordinate deve necessariamente corrispondere alle dimensioni della molteplicità e l'assegnazione deve essere continua.

Questa parte dello studio delle varietà riguarda esclusivamente il modo in cui i punti di una molteplicità sono disposti ed è la base dello studio dell'analisi matematica. E' però possibile aggiungere la nozione di distanza tra due punti e quindi i processi di misura. Le relazioni di estensione e di dominio sono, quindi, distinte da quelle metriche; in particolare su relazioni di estensione identiche sono concepibili relazioni metriche differenti. Si ottiene così la possibilità di misurare le parti di una varietà continua e, conseguentemente, di fondare analiticamente la geometria. I principi fondamentali dello studio 'geometrico' delle varietà sono contenuti, lo ammette lo stesso Riemann, nel trattato di Gauss sulle superfici curve.

Le determinazioni metriche richiedono che la grandezza sia indipendente dalla sua posizione: condizione che si può realizzare in diversi modi. L'ipotesi che si presenta probabilmente per prima, e che io voglio qui seguire fino in fondo, è che la lunghezza di una linea sia indipendente dalla sua posizione, e che quindi ogni linea sia misurabile per mezzo di ogni altra linea. 

Per compiere operazioni di misura si devono, quindi, assumere certe grandezze come unità e supporre che queste spostandosi non subiscano deformazioni. Il caso più semplice che si presenta è quello descritto dal teorema di Pitagora: un elemento infinitesimo di linea si ottiene per mezzo di un'espressione differenziale di secondo grado . Questa espressione può essere modificata: dobbiamo perciò dedurre che è possibile applicare a una stessa varietà metriche diverse e, conseguentemente, che sono possibili diversi modi per misurare le distanze.

Le varietà  nelle quali, come nel piano e nello spazio, l'elemento di lineare si può ridurre alla forma costituiscono quindi solo un caso particolare delle varietà che prendiamo qui in considerazione. Esse meritano un nome particolare, perciò chiamerò piane queste varietà in cui il quadrato dell'elemento lineare si può ridurre alla somma di quadrati di differenziali totali.

Nonostante questa arbitrarietà nella scelta del modo di effettuare le misure, ogni varietà ha una caratteristica intrinseca, come ha dimostrato Gauss per le superfici. Si tratta della curvatura. Riemann introduce la nozione di curvatura estendendo quella gaussiana in un modo generalmente ritenuto piuttosto oscuro.

Le varietà il cui valore di curvatura è zero in ogni punto si possono considerare come caso particolare di quelle la cui curvatura è costante in ogni punto. Il carattere comune di queste varietà a curvatura costante si può anche esprimere dicendo che le figure che si trovano in esse possono venire mosse senza essere deformate. E' infatti evidente che le figure su di esse non si possono muovere e far girare a piacere se in ogni punto la misura di curvatura non è la stessa in tutte le direzione.

[…]

Può essere utile per un'esposizione geometrica prendere in considerazione superfici con valore di curvatura costante. Si vede facilmente che le superfici a curvatura costante positiva potranno sempre essere adattate su una sfera il cui raggio è l'unità divisa per la radice quadrata della misura di curvatura.

[…]

La superficie a curvatura zero sarà semplicemente una superficie cilindrica tangente all'equatore; le superfici con curvatura negativa saranno tangenti esternamente a questo cilindro e saranno formate come la parte interna della superficie di un anello, quella rivolta verso l'asse.

Altra questione è quella di stabilire quale, fra le molteplicità geometricamente possibili, sia adattabile allo spazio fisico. Per risolvere questo problema, è necessario caratterizzare con delle proprietà semplici ciascuna singola molteplicità; tali proprietà devono esprimere affermazioni la cui validità possa essere sottoposta a verifica sperimentale. In questo senso esse sono ipotesi . La possibilità di misurare le distanze servendosi del teorema di Pitagora è quindi semplicemente un'ipotesi.

Si cercano quindi sistemi di determinazioni metriche semplici dai quali le relazioni metriche dello spazio risultino completamente determinate e dai quali conseguano necessariamente tutti i teoremi intorno a queste relazioni. Rimane ora da esaminare in che grado e misura queste ipotesi sono garantite dall'esperienza.

[…] nelle seconde, invece, dove i casi possibili formano un continuo, ogni determinazione basata sull'esperienza rimane sempre inesatta, per quanto grande possa essere la possibilità che sia quasi corretta. Questa distinzione diventa importante quando si estendono queste determinazioni empiriche al di là dei limiti dell'osservazione, nell'incommensurabilmente grande e nell'incommensurabilmente piccolo.

Ne consegue che allo spazio fisico possono indifferentemente essere applicate proprietà metriche diverse. L'applicazione di una certa metrica allo spazio fisico altro non è che un'ipotesi . Tutto ciò che dello spazio fisico si può dire è che esso è una molteplicità continua, illimitata e a tre dimensioni. Se, come ha fatto Euclide, si assume l'ipotesi che la forma dei corpi nello spazio fisico non dipende dalla loro posizione, si deve concludere che lo spazio fisico ha curvatura costante. Restano però possibili tre alternative a seconda che la curvatura sia costantemente positiva, nulla o negativa. Se assumiamo che lo spazio sia una varietà continua i risultati sperimentali sono sempre approssimativi. Ne consegue che né il procedimento analitico, né l'approccio sperimentale possono risolvere il problema di individuare la natura della geometria della fisica.

Le misure compiute a livello astronomico hanno stabilito che lo spazio ha curvatura nulla e quindi che la geometria dell'astronomia è quella di Euclide. Queste misurazioni, però, non possono farci conoscere nulla sulla curvatura dello spazio a livello microscopico

Ora, sembra che i concetti empirici su cui sono basate le misurazioni spaziali, in particolare i concetti di corpo solido e di raggio luminoso, cessino di valere nell'infinitamente piccolo: di conseguenza si può benissimo concepire che nell'infinitamente piccolo le relazioni metriche dello spazio non siano in accordo con i postulati della geometria, e di fatto si sarebbe costretti a fare questa ammissione non appena essa permettesse una più semplice spiegazione dei fenomeni.

Altra questione è quella dell'incommensurabilmente grande. La nostra intuizione ci fa ritenere che le rette, o linee di minimo percorso, debbano essere infinite. Riemann distingue invece tra infinito e illimitato .

[…] Quando le costruzioni nello spazio vengono estese nell'incommensurabilmente grande, bisogna distinguere l'illimitato dall'infinito; l'uno appartiene alle relazioni di estensione, l'altro a quelle metriche. […] L'illimitatezza dello spazio ha quindi maggiore certezza empirica di qualsiasi esperienza del mondo esterno. Da questo carattere, tuttavia, non consegue in alcun modo l'infinitezza; al contrario, se si assume che i corpi siano indipendenti dalla loro posizione e si attribuisce quindi allo spazio una misura di curvatura costante, esso verrebbe a essere necessariamente finito non appena questa misura di curvatura avesse sia pure il più piccolo valore positivo. Se si prolungassero in linee di minimo percorso le direzioni iniziali, giacenti su una superficie, si otterrebbe una superficie illimitata con valore di curvatura positiva e costante, cioè una superficie che in una varietà piana triplamente estesa assumerebbe la forma di una superficie sferica, e dunque finita.

L'approccio di Riemann allo studio dei fondamenti della geometria non segue, quindi, il metodo tradizionale dello studio degli assiomi e delle definizioni. Sviluppando in modo ardito le idee di Gauss sulla geometria differenziale delle superfici, mette a fondamento della geometria una nuova nozione, quella di varietà; in seguito si parlerà, infatti, di varietà riemanniane . Per ciò che riguarda il problema dello spazio fisico, riconosce che non si tratta di un problema matematico: la matematica deve fornire gli strumenti per formulare ipotesi svincolate il più possibile da pregiudizi. Lo spazio va studiato non tanto nella sua globalità quanto nel suo comportamento locale e quindi nella sua struttura infinitesima. Pertanto, solo l'analisi può garantire un tale studio. 

In sintesi, la geometria ha un suo fondamento nell'analisi. Sono analiticamente possibili geometrie diverse; le misurazioni empiriche non sono in grado di determinare con precisione le caratteristiche geometriche dello spazio fisico.

 

La conferenza di Riemann, accolta con molto entusiasmo da parte di Gauss, che muore l'anno seguente, rimane inedita fino alla morte del suo autore. La stessa indifferenza iniziale era toccata alle opere di Lobacevski e Bolyai sulle geometrie non euclidee.

La pubblicazione della corrispondenza di Gauss, avvenuta dopo il 1860,  rende pubbliche le convinzioni del principe dei matematici sui fondamenti della geometria e contribuisce ad accendere il dibattito su questo complesso problema. L'inizio vero e proprio di questo dibattito è opera di un costante e lungo lavoro di alcuni matematici minori i quali contribuiscono a portare alla luce le idee di Gauss, Lobacevski, Bolyai e Riemann. Il francese J. Houell e l'italiano G. Battaglini ne traducono nelle rispettive lingue i più importanti saggi.

Il problema della posizione da prendere nei confronti delle nuove geometrie è, in questo periodo, particolarmente attuale per la cultura italiana, perché strettamente correlato a quello dell'insegnamento della geometria nelle scuole del nuovo Regno. La riforma di Cremona prevede che nelle scuole di indirizzo classico si studi il libro di Euclide. Battaglini invece mette in discussione la validità della scelta proprio alla luce dell'emergere delle geometrie non euclidee. Si scatena un aspro clima di polemiche, nel quale le nuove geometrie vengono bollate come geometrie del soprasensibile o da manicomio.

Nel 1868 viene pubblicata la memoria di Riemann a cura di Dedekind; nel 1870 ne viene pubblicata la traduzione francese e nel 1873 quella inglese.

In una riorganizzazione storico-didattica delle geometrie non euclidee, viene attribuita a Lobacevski la 'scoperta' della geometria a curvatura negativa e quindi quella relativa all'esistenza di più di una parallela condotta per un punto dato, a Riemann viene invece attribuita la scoperta della geometria a curvatura positiva, nella quale per un punto non passa nessuna parallela a una retta data.

 

A partire dalla pubblicazione del saggio di Riemann, vengono intraprese diverse ricerche nel campo della matematica pura e della fisica matematica che fanno uso del concetto di varietà. In particolare, si indaga sulla possibilità di estendere alcune discipline classiche della fisica matematica agli spazi a curvatura non nulla, nella speranza di trovare nuove soluzioni ai problemi rimasti irrisolti. La condizione indispensabile per queste ricerche è la necessità di esprimere le equazioni fondamentali della fisica matematica in una notazione generale che restasse valida per ogni tipo di spazio, euclideo e non. Da queste ricerche nasce la nozione di tensore e di calcolo tensoriale elaborata da Ricci-Curbastro e Levi-Civita verso la fine del secolo. Intorno al 1912, Einstein si serve degli strumenti matematici elaborati da Gauss, Riemann, Levi-Civita e Ricci-Curbastro per elaborare la teoria della relatività generale. Nella conferenza di Kyoto del 1922, Einstein afferma

Se tutti i sistemi sono equivalenti allora la geometria euclidea non può valere in ciascuno di essi. Abbandonare la geometria e conservare le leggi fisiche è come descrivere i pensieri senza parole. Bisogna cercare le parole prima di poter esprimere i pensieri. Che cosa si doveva cercare a questo punto? Tale problema rimase insolubile per me fino al 1912, quando all'improvviso mi resi conto che la teoria di Gauss delle superfici forniva la chiave per svelare questo mistero. Compresi che le coordinate di una superficie di Gauss avevano un profondo significato. Non sapevo però a quell'epoca che Riemann aveva studiato i fondamenti della geometria in maniera ancora più profonda. […] Mi resi conto che i fondamenti della geometria avevano un significato fisico. Quando da Praga tornai a Zurigo, vi trovai il matematico Grossmann, mio caro amico: da lui appresi le prime notizie sul lavoro di Ricci e in seguito su quello di Riemann.

 

Antonio Bernardo

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Ci sono 3 commenti su questo articolo:

  1. ottimo articolo, grazie per aver riportato alla luce quello che una enorme mente è stata capace di elaborare, e delle piccole menti hanno voluto sotterrare. Riemann è stato un genio, se non fosse stato per lui e gauss ci sarebbero voluti altri mille anni per arrivare alla relatività.
    a quando un articolo su von neumann?

  2. Complimenti, proprio un bell’ articolo.
    Puoi indicare però le fonti degli estratti citati? Mi interesserebbe approfondire l’ argomento, grazie.