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Calcolo di π nella storia della matematica
Nella storia della matematica nessun altra quantità ha colpito l'attenzione di un così alto numero di
persone quanto il calcolo di π. Non c'è proprio niente di misterioso nel numero π. Si sa da secoli
(dagli antichi studiosi greci) che π è collegato alla circonferenza ed all'area del cerchio nel rapporto
fondamentale illustrato qui sotto.
. . .
π π
C 2 r d
2
d
2
. .
π π
A r 4
Per molti π è un tasto della calcolatrice che contiene un suo valore numerico:
π = 3.141592653589793
Con un qualsiasi software di matematica un valore approssimato di π si può ottenere nel modo
seguente:
.
π π
4.0 atan 1.0 3.1415926535897932385
che restituirà
Queste, tuttavia, sono solo approssimazioni come dimostrò Johann Lambert nel 1767. Poiché π ha
un'infinità di cifre decimali non periodiche, il problema che ha affascinato, direi ossessionato, alcuni
ricercatori, è stato quello di determinare il maggior numero possibile di cifre decimali.
Il valore di π, che segue, ha 1400 cifre decimali. E' stato calcolato in pochi secondi usando il pacchetto
software simbolico Maple V. Calcoli odierni hanno portato oltre il miliardo il numero di cifre decimali
note!
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706
798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038
196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914
127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151
160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301
194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766
940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968
925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281
609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717
766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590
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927260426992279
Diamo uno sguardo ad alcune delle formule e tecniche, sviluppatesi negli anni, per accertare il valore di
π. Questa lista non è completa, ma illustra alcune delle più importanti ricerche degli ultimi secoli.
Per ogni evenienza abbiamo incluso un metodo di calcolo eseguito con Mathcad. Per piacere
considerate, mentre osservate ( o giocate con) le simulazioni, che :
1.Ogni simulazione è stata progettata per darvi la sensazione di quanto sia buona quella particolare
tecnica di approssimazione di π.
2.La precisione necessariamente limitata di ogni software di matematica non lo rende lo strumento
ideale per andare a caccia delle cifre di π. Il meglio che si può fare con ciascuna di queste simulazioni è
π = 3.141592653589793
3.Alcuni dei metodi descritti sono stati implementati sui moderni computer per produrre le incredibili
espansioni di π, ma la maggior parte delle simulazioni, fatte con Mathcad, erano originariamente
calcolate a mano!
Incominciamo con uno dei metodi più semplici e intuitivi, la costruzione geometrica degli antichi greci.
Approssimazione geometrica
I geometri greci hanno affrontato il problema della determinazione di π usando un approccio che
sottolinea l'aspetto matematico. Se si deve calcolare una quantità sconosciuta si inizia con il calcolare
per approssimazione semplici quantità conosciute.
Per esempio, se si disegna un cerchio di diametro 1, la lunghezza della circonferenza di quel cerchio
sarà esattamente π. Se ora disegniamo un quadrato inscritto nel cerchio, il perimetro del quadrato sarà
minore di π, mentre un quadrato circoscritto avrà un perimetro maggiore di π.
1
Per il il lato del quadrato inscritto è lungo (la diagonale è il diametro) e perciò il
Teorema di Pitagora, 2
1
.
perimetro del quadrato inscritto è 4 = 2.828
2 .
4 1 = 4
Il perimetro del quadrato circoscritto è .
π
2.828 < < 4
Quindi è stato verificato che
I Greci hanno continuato con questo metodo incrementando sempre di più il numero di lati (pentagoni,
N
esagoni ecc.). L'espressione qui sotto ci permette di vedere questo processo. Cambiando il valore di
N
il grafico viene ridisegnato per rappresentare il poligono inscritto e circoscritto di lati.
I corrispondenti perimetri sono calcolati come limiti superiori ed inferiori del valore di π.
Numero di lati:
N 5 π .
θ π
2
0 , ..
32
k 1 .. N 1
π
.
N sin = 2.938926261462366
N k
. . .
π
2 i
1 N
.
ω e
k 2 π . i
N
. .
Ω ω
r e
k k
1
r π
cos N
π
. 3.632712640026805
N tan =
N
Aspettate un minuto, ci direte! Avete barato! Quelle formule usano π! Avete ragione, per poter far
meglio la simulazione abbiamo usato ciò che più ci facilitasse le cose.
Ma i Greci come calcolavano questi perimetri? Usando i principi base della geometria, essi
Pc
e rappresentavano rispettivamente i perimetri dei poligoni inscritti e
dimostrarono che, sePi
N lati, allora le formule
circoscritti di 2 . .
1 1 Pi 2 N Pc
.
. .
Pi2N Pi , N 2 N 1 Pc2N Pc , N
2 2 N 2 2
N N Pc 2 N
danno i perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti con il doppio numero di lati, .
Per esempio abbiamo visto prima che per il quadrato si aveva:
1 .
. Pc 4 1
Pi 4 e
2
perciò, se usiamo ottagoni, i corrispondenti perimetri saranno:
Pi2N Pi , 4 = 3.061
Pc2N =
Pc , 4 3.314
Ma ricordatevi che a quel tempo i calcoli erano fatti a mano! Quanto potevano andare lontano? Usando
questo metodo ed iniziando l'approssimazione dal triangolo, Archimede portò avanti il computo dei
3.14
perimetri dei poligoni fino ad un poligono di 96 lati. In tal modo stabilì che il valore di π è
Solo due cifre decimali! Per poter arrivare a calcolare π con la precisione del valore incorporato in
π = 3.141592653589793
Mathcad si devono considerare poligoni di circa 200,000,000 lati! Non c’è
da meravigliarsi quindi se è stato necessario inventarsi nuovi metodi!
Un metodo empirico
Facciamo ora un lungo salto attraverso la storia (circa 2200 anni) fino al 1777 ed allo scienziato e
matematico Comte de Buffon. Buffon approntò un metodo probabilistico per stimare il valore di π.
Immaginate di avere un foglio di carta a righe, distanziate uniformamente. Poi immaginate di avere un
ago che abbia la stessa lunghezza dello spazio tra le righe, Buffon dimostrò che, se l'ago viene fatto
p,
cadere a caso sul foglio di carta, la probabilità, che l'ago intersechi una linea, è
2
p π 2
π
o, ciò che è lo stesso, π soddisfa la relazione p
procuratevi un ago ed un pezzo di carta che soddisfino i requisiti dell'esperimento.
Così, per calcolare π Nv,
Fate cadere l'ago un qualunque numero, di volte. Contate il numero di volte, che l'ago incrocia
Nl,
una linea. Nl 2
p p
Calcolate la probabilità di incrociare una linea come . Poi calcolate π come .
Nv p
Sotto abbiamo usato Mathcad per simulare questo esperimento. In questo caso abbiamo semplificato le
cose assumendo di avere solo due linee sulla nostra carta, distanziate di una unità. Si simula un lancio
θ
Y
generando a caso la coordinata del centro dell'ago e l'angolo che l'ago forma con l'orizzontale.
,
Θ
Y
Basandoci sul valore di calcoliamo l'angolo minimo richiesto all'ago per incrociare la linea più
vicina. θ Θ
ε δ
I valori di vengono confrontati per determinare se l'ago abbia incrociato una linea in quel
lancio. Segue la simulazione. Ci si serve di un trucco di programmazione con Mathcad, dove le
quantità, che interessano in un processo iterativo, vengono memorizzate in una colonna vettoriale, che
viene poi riscritta usando una variabile intervallo all'interno dell'operatore colonna.
Ciò fa si che si debba usare π nella nostra simulazione, ma non fa niente perchè l'idea è di dimostrare
l'accuratezza di questo metodo senza costringervi a passare un fine settimana lanciando aghi su un
foglio di carta. Prima di tutto definiamo le variabili:
Y rnd 1
.
θ π
rnd 2 1 . .
Θ asin
if Y > , 1 Y , asin
2 2 Y
2
Y coordinata dell'ago
angolo dell'ago
θ
Θ angolo richiesto per incrociare una linea
0 conteggio degli incroci
Y
θ
V Θ
0
Poi la simulazione iterativa vera e propria:
i 1 .. Nv rnd 1
. π
2
rnd
1
.
< >
0 i 1 . .
2 2 V
asin
if V > , 1 V , asin
V 1 1 1
2 . π
π π π 3 V
V V V
V > >
4 3 2 3 2
2
2 2 2
Nl V
4 Nv, che rappresenta il numero di lanci dell'ago.
Qui si può cambiare il valore della variabile
Nv 5000
Per il vostro esperimento la probabilità empirica che vi sia un incrocio per questa serie di lanci è
Nl
p Nv
p = 0.6402
e la corrispondente stima di π
2 = 3.124023742580444
p π 3.141592653589793
=
che possiamo confrontare con
Nv e vedrete la bontà dell'approssimazione che riuscite ad ottenere.
Cambiate pure il valore di
Il problema di un metodo come questo, oltre a richiedere che i lanci siano veramente casuali, è che si
riesce ad avere solo una piccola certezza di avere trovato una cifra di π, non come il metodo
geometrico visto sopra, dove si riesce a sapere quando si è scoperta la prossima cifra. Infatti il metodo
dell'ago non ha mai con successo determinato π in modo significativo. Nella prossima sezione daremo
un'occhiata ad una serie di metodi, incluso quello che ha prodotto la miliardesima cifra decimale!
Somme e Prodotti Infiniti
Nel corso degli anni sono state scoperte molte somme e prodotti infiniti che tendono a π o a qualche
espressione che implica π. Alcune dei più noti sono qui elencati cronologicamente, completati da
Mathcad.
La Formula del Prodotto di Viete
Nel 1579, il matematico francese Francois Viete stabilì una relazione di prodotto infinito interessante
che implicava π. Il prodotto di Viete è
2 2 2 2 2 2 2
. . . ..........
π 2 2 2 m termini è:
Una possibile algoritmo, implementato su Mathcad, per calcolare il prodotto dei primi
m 10
i 2 .. m 1
x 2
1
x 2 x
i i 1
x x
1 i
.
P 2 2
i 2 3.141592345570118
=
La corrispondente approssimazione a π è allora P
π = 3.141592653589793
che può essere confrontata con
Il prodotto converge abbastanza rapidamente e può essere paragonato alla precisione di Mathcad
m è 25.
quando
La Formula di Wallis
Un altro prodotto infinito emerse nel 1650 grazie al matematico inglese John Wallis. Una forma della
formula di Wallis è:
. . . . . . . .
π 2 2 4 4 6 6 8 8 ............
. . . . . . . .
2 1 3 3 5 5 7 7 9 ............ M
Algoritmi con Mathcad, che risolvono l'approssimazione per termini al numeratore ed al
denominatore, appaiono sotto:
M 1000
i 1 .. M 1
i 1
.
a 1
2 ceil
i 2
a 1
1 i 1
.
b 2
2 floor
i 2
L'approssimazione per π è allora
b
i
. 3.143160705532255
2 =
a
i
i π 3.141592653589793
=
che può essere confrontata con
Notate quanto lenta sia la formula di Wallis a convergere se paragonata a quella di Viete. Ci vogliono
quasi 4000 termini per ottenere tre decimali di accuratezza!
La Serie di Gregory atan x
Lo scozzese James Gregory stabilì nel 1671 che la funzione
1 1 1 1
3 5 7 9
. . . .
x ...
x x x x
si sviluppa nella serie 3 5 7 9 x
Nei decenni seguenti, altri(Sharp e Machin per citarne due) si servirono del fatto che ponendo uguale
a 1 nella relazione precedente, la serie diventa
π 1 1 1 1 1
1 ...........
4 3 5 7 9 11
a produssero stime di π.
Anche questa serie converge troppo lentamente, come viene dimostrato sotto con Mathcad, per essere
utile al problema di determinare molte cifre decimali π
k 1000
i 1 .. k i 1
1
.
4 = 3.140592653839794
.
2 i 1
i π = 3.141592653589793
che possiamo confrontare con
Usando relazioni diverse che implicavano π e la funzione atan(x), la serie di Gregory può essere
impiegata per produrre serie che convergono molto più rapidamente. Questo approccio venne seguito in
due diverse occasioni a metà 1800. Dapprima, William Rutherford si servì dell'identità
π 1 1 1
. atan atan
4 atan
4 5 70 99
Mentre poco dopo Zacharias Dase impiegò