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Sintesi
 Per molti
[math]\\pi[/math]
è un tasto della calcolatrice che contiene un suo valore numerico, nella storia della matematica nessun'altra quantità ha colpito l'attenzione di tante persone quanto il calcolo di questo numero. Tuttavia, non c'è proprio niente di misterioso nel numero
[math]\\pi[/math]
. Si sa da secoli (dagli antichi studiosi greci) che è collegato alla circonferenza ed all'area del cerchio nel seguente rapporto:

Estratto del documento

Calcolo di π nella storia della matematica

Nella storia della matematica nessun altra quantità ha colpito l'attenzione di un così alto numero di

persone quanto il calcolo di π. Non c'è proprio niente di misterioso nel numero π. Si sa da secoli

(dagli antichi studiosi greci) che π è collegato alla circonferenza ed all'area del cerchio nel rapporto

fondamentale illustrato qui sotto.

. . .

π π

C 2 r d

2

d

2

. .

π π

A r 4

Per molti π è un tasto della calcolatrice che contiene un suo valore numerico:

π = 3.141592653589793

Con un qualsiasi software di matematica un valore approssimato di π si può ottenere nel modo

seguente:

.

π π

4.0 atan 1.0 3.1415926535897932385

che restituirà

Queste, tuttavia, sono solo approssimazioni come dimostrò Johann Lambert nel 1767. Poiché π ha

un'infinità di cifre decimali non periodiche, il problema che ha affascinato, direi ossessionato, alcuni

ricercatori, è stato quello di determinare il maggior numero possibile di cifre decimali.

Il valore di π, che segue, ha 1400 cifre decimali. E' stato calcolato in pochi secondi usando il pacchetto

software simbolico Maple V. Calcoli odierni hanno portato oltre il miliardo il numero di cifre decimali

note!

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706

798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038

196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914

127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151

160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301

194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766

940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968

925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281

609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717

766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590

921642019893809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177

528347913151557485724245415069595082953311686172785588907509838175463746493931925506040092770167113

900984882401285836160356370766010471018194295559619894676783744944825537977472684710404753464620804

668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419

927260426992279

Diamo uno sguardo ad alcune delle formule e tecniche, sviluppatesi negli anni, per accertare il valore di

π. Questa lista non è completa, ma illustra alcune delle più importanti ricerche degli ultimi secoli.

Per ogni evenienza abbiamo incluso un metodo di calcolo eseguito con Mathcad. Per piacere

considerate, mentre osservate ( o giocate con) le simulazioni, che :

1.Ogni simulazione è stata progettata per darvi la sensazione di quanto sia buona quella particolare

tecnica di approssimazione di π.

2.La precisione necessariamente limitata di ogni software di matematica non lo rende lo strumento

ideale per andare a caccia delle cifre di π. Il meglio che si può fare con ciascuna di queste simulazioni è

π = 3.141592653589793

3.Alcuni dei metodi descritti sono stati implementati sui moderni computer per produrre le incredibili

espansioni di π, ma la maggior parte delle simulazioni, fatte con Mathcad, erano originariamente

calcolate a mano!

Incominciamo con uno dei metodi più semplici e intuitivi, la costruzione geometrica degli antichi greci.

Approssimazione geometrica

I geometri greci hanno affrontato il problema della determinazione di π usando un approccio che

sottolinea l'aspetto matematico. Se si deve calcolare una quantità sconosciuta si inizia con il calcolare

per approssimazione semplici quantità conosciute.

Per esempio, se si disegna un cerchio di diametro 1, la lunghezza della circonferenza di quel cerchio

sarà esattamente π. Se ora disegniamo un quadrato inscritto nel cerchio, il perimetro del quadrato sarà

minore di π, mentre un quadrato circoscritto avrà un perimetro maggiore di π.

1

Per il il lato del quadrato inscritto è lungo (la diagonale è il diametro) e perciò il

Teorema di Pitagora, 2

1

.

perimetro del quadrato inscritto è 4 = 2.828

2 .

4 1 = 4

Il perimetro del quadrato circoscritto è .

π

2.828 < < 4

Quindi è stato verificato che

I Greci hanno continuato con questo metodo incrementando sempre di più il numero di lati (pentagoni,

N

esagoni ecc.). L'espressione qui sotto ci permette di vedere questo processo. Cambiando il valore di

N

il grafico viene ridisegnato per rappresentare il poligono inscritto e circoscritto di lati.

I corrispondenti perimetri sono calcolati come limiti superiori ed inferiori del valore di π.

Numero di lati:

N 5 π .

θ π

2

0 , ..

32

k 1 .. N 1

π

.

N sin = 2.938926261462366

N k

. . .

π

2 i

1 N

.

ω e

k 2 π . i

N

. .

Ω ω

r e

k k

1

r π

cos N

π

. 3.632712640026805

N tan =

N

Aspettate un minuto, ci direte! Avete barato! Quelle formule usano π! Avete ragione, per poter far

meglio la simulazione abbiamo usato ciò che più ci facilitasse le cose.

Ma i Greci come calcolavano questi perimetri? Usando i principi base della geometria, essi

Pc

e rappresentavano rispettivamente i perimetri dei poligoni inscritti e

dimostrarono che, sePi

N lati, allora le formule

circoscritti di 2 . .

1 1 Pi 2 N Pc

.

. .

Pi2N Pi , N 2 N 1 Pc2N Pc , N

2 2 N 2 2

N N Pc 2 N

danno i perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti con il doppio numero di lati, .

Per esempio abbiamo visto prima che per il quadrato si aveva:

1 .

. Pc 4 1

Pi 4 e

2

perciò, se usiamo ottagoni, i corrispondenti perimetri saranno:

Pi2N Pi , 4 = 3.061

Pc2N =

Pc , 4 3.314

Ma ricordatevi che a quel tempo i calcoli erano fatti a mano! Quanto potevano andare lontano? Usando

questo metodo ed iniziando l'approssimazione dal triangolo, Archimede portò avanti il computo dei

3.14

perimetri dei poligoni fino ad un poligono di 96 lati. In tal modo stabilì che il valore di π è

Solo due cifre decimali! Per poter arrivare a calcolare π  con la precisione del valore incorporato in

π = 3.141592653589793

Mathcad si devono considerare poligoni di circa 200,000,000 lati! Non c’è

da meravigliarsi quindi se è stato necessario inventarsi nuovi metodi!

Un metodo empirico

Facciamo ora un lungo salto attraverso la storia (circa 2200 anni) fino al 1777 ed allo scienziato e

matematico Comte de Buffon. Buffon approntò un metodo probabilistico per stimare il valore di π.

Immaginate di avere un foglio di carta a righe, distanziate uniformamente. Poi immaginate di avere un

ago che abbia la stessa lunghezza dello spazio tra le righe, Buffon dimostrò che, se l'ago viene fatto

p,

cadere a caso sul foglio di carta, la probabilità, che l'ago intersechi una linea, è

2

p π 2

π

o, ciò che è lo stesso, π soddisfa la relazione p

procuratevi un ago ed un pezzo di carta che soddisfino i requisiti dell'esperimento.

Così, per calcolare π  Nv,

Fate cadere l'ago un qualunque numero, di volte. Contate il numero di volte, che l'ago incrocia

Nl,

una linea. Nl 2

p p

Calcolate la probabilità di incrociare una linea come . Poi calcolate π come .

Nv p

Sotto abbiamo usato Mathcad per simulare questo esperimento. In questo caso abbiamo semplificato le

cose assumendo di avere solo due linee sulla nostra carta, distanziate di una unità. Si simula un lancio

θ

Y

generando a caso la coordinata del centro dell'ago e l'angolo che l'ago forma con l'orizzontale.

,

Θ

Y

Basandoci sul valore di calcoliamo l'angolo minimo richiesto all'ago per incrociare la linea più

vicina. θ Θ

ε δ

I valori di vengono confrontati per determinare se l'ago abbia incrociato una linea in quel

lancio. Segue la simulazione. Ci si serve di un trucco di programmazione con Mathcad, dove le

quantità, che interessano in un processo iterativo, vengono memorizzate in una colonna vettoriale, che

viene poi riscritta usando una variabile intervallo all'interno dell'operatore colonna.

Ciò fa si che si debba usare π nella nostra simulazione, ma non fa niente perchè l'idea è di dimostrare

l'accuratezza di questo metodo senza costringervi a passare un fine settimana lanciando aghi su un

foglio di carta. Prima di tutto definiamo le variabili:

Y rnd 1

.

θ π

rnd 2 1 . .

Θ asin

if Y > , 1 Y , asin

2 2 Y

2

Y coordinata dell'ago

angolo dell'ago

θ

Θ angolo richiesto per incrociare una linea

0 conteggio degli incroci

Y

θ

V Θ

0

Poi la simulazione iterativa vera e propria:

i 1 .. Nv rnd 1

. π

2

rnd

1

.

< >

0 i 1 . .

2 2 V

asin

if V > , 1 V , asin

V 1 1 1

2 . π

π π π 3 V

V V V

V > >

4 3 2 3 2

2

2 2 2

Nl V

4 Nv, che rappresenta il numero di lanci dell'ago.

Qui si può cambiare il valore della variabile

Nv 5000

Per il vostro esperimento la probabilità empirica che vi sia un incrocio per questa serie di lanci è

Nl

p Nv

p = 0.6402

e la corrispondente stima di π

 2 = 3.124023742580444

p π 3.141592653589793

=

che possiamo confrontare con

Nv e vedrete la bontà dell'approssimazione che riuscite ad ottenere.

Cambiate pure il valore di

Il problema di un metodo come questo, oltre a richiedere che i lanci siano veramente casuali, è che si

riesce ad avere solo una piccola certezza di avere trovato una cifra di π, non come il metodo

geometrico visto sopra, dove si riesce a sapere quando si è scoperta la prossima cifra. Infatti il metodo

dell'ago non ha mai con successo determinato π in modo significativo. Nella prossima sezione daremo

un'occhiata ad una serie di metodi, incluso quello che ha prodotto la miliardesima cifra decimale!

Somme e Prodotti Infiniti

Nel corso degli anni sono state scoperte molte somme e prodotti infiniti che tendono a π o a qualche

espressione che implica π. Alcune dei più noti sono qui elencati cronologicamente, completati da

Mathcad.

La Formula del Prodotto di Viete

Nel 1579, il matematico francese Francois Viete stabilì una relazione di prodotto infinito interessante

che implicava π. Il prodotto di Viete è

2 2 2 2 2 2 2

. . . ..........

π 2 2 2 m termini è:

Una possibile algoritmo, implementato su Mathcad, per calcolare il prodotto dei primi

m 10

i 2 .. m 1

x 2

1

x 2 x

i i 1

x x

1 i

.

P 2 2

i 2 3.141592345570118

=

La corrispondente approssimazione a π è allora P

π = 3.141592653589793

che può essere confrontata con

Il prodotto converge abbastanza rapidamente e può essere paragonato alla precisione di Mathcad

m è 25.

quando

La Formula di Wallis

Un altro prodotto infinito emerse nel 1650 grazie al matematico inglese John Wallis. Una forma della

formula di Wallis è:

. . . . . . . .

π 2 2 4 4 6 6 8 8 ............

. . . . . . . .

2 1 3 3 5 5 7 7 9 ............ M

Algoritmi con Mathcad, che risolvono l'approssimazione per termini al numeratore ed al

denominatore, appaiono sotto:

M 1000

i 1 .. M 1

i 1

.

a 1

2 ceil

i 2

a 1

1 i 1

.

b 2

2 floor

i 2

L'approssimazione per π è allora

b

i

. 3.143160705532255

2 =

a

i

i π 3.141592653589793

=

che può essere confrontata con

Notate quanto lenta sia la formula di Wallis a convergere se paragonata a quella di Viete. Ci vogliono

quasi 4000 termini per ottenere tre decimali di accuratezza!

La Serie di Gregory atan x

Lo scozzese James Gregory stabilì nel 1671 che la funzione

1 1 1 1

3 5 7 9

. . . .

x ...

x x x x

si sviluppa nella serie 3 5 7 9 x

Nei decenni seguenti, altri(Sharp e Machin per citarne due) si servirono del fatto che ponendo uguale

a 1 nella relazione precedente, la serie diventa

π 1 1 1 1 1

1 ...........

4 3 5 7 9 11

a produssero stime di π.

Anche questa serie converge troppo lentamente, come viene dimostrato sotto con Mathcad, per essere

utile al problema di determinare molte cifre decimali π

k 1000

i 1 .. k i 1

1

.

4 = 3.140592653839794

.

2 i 1

i π = 3.141592653589793

che possiamo confrontare con

Usando relazioni diverse che implicavano π e la funzione atan(x), la serie di Gregory può essere

impiegata per produrre serie che convergono molto più rapidamente. Questo approccio venne seguito in

due diverse occasioni a metà 1800. Dapprima, William Rutherford si servì dell'identità

π 1 1 1

. atan atan

4 atan

4 5 70 99

Mentre poco dopo Zacharias Dase impiegò

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