Carl Friedrich Gauss: la geometria intrinseca

 

Carl Friedrich Gauss: la geometria intrinseca

Il matematico tedesco C. F. Gauss si è occupato di numerosi campi di ricerca matematica e fisica. Riguardo al problema della dimostrabilità o meno del V postulato di Euclide , quello sulla parallela, non ha pubblicato dei contributi chiari e precisi, ha scritto, però, alcune lettere indirizzate ad amici matematici che si occupavano della questione.

Fino alla fine del Settecento la geometria euclidea sembrava avere un unico neo: un postulato che Euclide era stato in qualche modo costretto ad aggiungere alla sua organizzazione logico-deduttiva della geometria. Questo postulato era necessario? era dimostrabile a partire dagli altri? da dove derivava la sua necessità? da questione logiche o empiriche?

Il 16 dicembre 1799 scrive a W. Bolyai, padre di Janos uno dei scopritori delle geometrie non euclidee ,

Mi dispiace molto di non aver sfruttato la nostra maggiore vicinanza di un tempo per conoscere più a fondo i tuoi lavori sopra i primi fondamenti della geometria; certamente mi sarei in tal modo risparmiato una serie di inutili fatiche … Io stesso ho fatto molti progressi nei miei lavori su tale argomento, nonostante che le mie altre occupazioni, del tutto eterogenee, mi lascino poco tempo per esso; solo che la via che ho imboccato conduce non già allo scopo che si desidera e che tu sostieni di aver raggiunto (la dimostrazione del V postulato di Euclide), ma piuttosto a mettere in dubbio la verità della geometria.

Il 28 aprile 1817 scrive a Olbers

Mi persuado sempre di più che la necessità della nostra geometria non possa essere dimostrata, non, per lo meno, dall’intelletto umano o per l’intelletto umano, Può darsi che in una diversa vita noi si giunga, sulla natura dello spazio, ad idee diverse, le quali ci sono per ora inattingibili. Ma fino ad allora è necessario porre la geometria non accanto all’aritmetica, la quale è puramente a priori, ma all’incirca sullo stesso piano della meccanica.

Il 27 gennaio 1829 scrive a Bessel

In qualche ora libera sono talvolta tornato a riflettere su un altro  argomento che per me è già vecchio di quasi quarant’anni; intendo parlare dei primi fondamenti della geometria; non so se Le ho già parlato delle mie idee in proposito. Anche su tale argomento ho ulteriormente consolidato alcuni punti, e la mia convinzione che non sia possibile fondare la geometria in modo interamente a priori è divenuta se possibile, ancora più salda. Intanto lascerò passare molto tempo prima di decidermi ad elaborare per la pubblicazione le mie assai ampie ricerche sull’argomento, e forse ciò non avverrà mai durante la mia vita, perché temerei le strida dei Beoti qualora volessi esprimere compiutamente le mie idee.

I Beoti di cui parla Gauss sono quasi sicuramente i seguaci di Kant, i quali ritengono che la geometria sia una forma di conoscenza sintetica ma a priori .

Il 9 aprile 1830 scrive ancora a Bessel

Secondo la mia più profonda convinzione, la dottrina dello spazio occupa rispetto alla nostra conoscenza a priori un posto del tutto diverso da quello della teoria pura delle grandezze; infatti manca del tutto alla nostra conoscenza della prima quella completa convinzione della sua necessità (e quindi anche della sua assoluta verità), che è propria della seconda; dobbiamo umilmente riconoscere che mentre il numero è un puro prodotto del nostro spirito, lo spazio ha una realtà anche al di fuori del nostro spirito, e le sue leggi noi non le possiamo descrivere interamente a priori.

Nel maggio del 1831scrive a Schumacher

Da qualche settimana ho cominciato a mettere per iscritto qualche risultato delle mie meditazioni su questo soggetto, che risalgono in parte a quarant’anni, e di cui non avevo mai nulla redatto; cosa che mi ha costretto tre o quattro volte a ricominciare tutto il lavoro nella mia testa. Non vorrei pertanto che tutto ciò perisse con me.

Il primo novembre 1844 scrive a Schumacher

Osserverete la stessa cosa (l’incompetenza matematica) nei filosofi contemporanei Schelling, Hegel, Nees von Essembeck, e nei loro seguaci; non vi fanno rizzare i capelli sulla testa con le loro definizioni? Leggete nella storia della filosofia antica quele che i grandi uomini di quell’epoca, Platone ed altri (escludo Aristotele) davano come spiegazioni. Ed anche con lo stesso Kant spesso le cose non vanno molto meglio; secondo me, la sua distinzione fra proposizioni analitiche e sintetiche è una di quelle cose che cadono nella banalità o sono false.

Dunque, Gauss si convince sempre di più del fatto che, se l’aritmetica, e tutta la matematica che si fonda sul numero, è a priori, la geometria dello spazio fa riferimento a una realtà che è al di fuori della nostra mente, quindi una realtà da investigare empiricamente.

Per capire come sia giunto a queste convinzioni è utile tenere presente la sua attività di geodeta e i suoi studi sulla geometria differenziale delle superfici.

Le sue ricerche partono da un’attività pratica. Nel 1818, accetta l’incarico di eseguire la direzione di una rilevazione topografica del regno di Hannover. Lo studio della geometria di Gauss comincia proprio dall’origine storica alla quale si fa risalire il termine stesso di geometria, cioè la misura della Terra. Il procedimento classico usato nell’esecuzione di un rilievo geodetico si chiama "triangolazione". Si scelgono un certo numero di punti di riferimento nel paesaggio e si misurano con cura le distanze fra coppie diverse di punti di riferimento. La regione di cui si esegue il rilievo viene ricoperta da una rete di triangoli i cui lati e i cui angoli vengono determinati attraverso strumenti di misurazione nel modo più preciso possibile. E’ un’operazione relativamente semplice e noiosa che porta via molto tempo ed è soggetta a errori. Da questa enorme mole di dati bisogna dedurre le distanze, in linea d’aria, di

punti inaccessibili uno dall’altro. A questo punto interviene una fatto cruciale. La forma della Terra incide in maniera non trascurabile sul modo di raccordare le misure. Se la Terra fosse piana si potrebbe utilizzare al geometria euclidea, se fosse perfettamente sferica si potrebbero utilizzare le formule note della geometria sulla superficie sferica. Era già noto invece che la Terra ha approssimativamente la forma di un ellissoide, i cui assi principali erano stati dedotti da Newton dalle sue leggi sulla gravitazione. La conoscenza della forma della Terra è determinante per il lavoro di raccordo delle triangolazioni eseguite sul terreno. Gauss considera invece il problema opposto: come si possono utilizzare i rilievi geodetici per determinare la forma della Terra.

La forma della Terra si può dedurre da osservazioni astronomiche. Se la forma è sferica si osserva che, percorrendo uno stesso tratto AB = BC, l’angolo tra la verticale e la Stella Polare varia di una stessa quantità. Se la forma è ellittica, per misurare la stessa variazione dell’angolo, bisogna percorrere un tratto diverso, A’B’>B’C’. 

Il problema che si pone Gauss è più complesso e profondo: se non abbiamo riferimenti esterni, come l’osservazione degli astri, possiamo dedurre dalla sola rilevazione geodetica la forma della Terra? In altre parole è possibile stabile la curvatura della Terra compiendo soltanto misurazioni sulla sua superficie?

Per capire il pensiero di Gauss esaminiamo, sia pure in modo molto superficiale i risultati teorici sullo studio delle superfici curve pubblicati in un saggio del 1827 intitolato Disquisitiones generales circa superficies curvas .

Vediamo i principali paletti teorici dei suoi studi.

Una superficie, come per esempio quella della Terra, può essere pensata immersa in uno spazio tridimensionale e studiata con i classici metodi della geometria analitica cartesiana, utilizzando tre coordinate x, y, z, ma in realtà sono sufficienti due coordinate (longitudine e latitudine) per la superficie terrestre.

La latitudine è la distanza angolare di un punto dall’Equatore, misurata in gradi e frazioni di grado, sull’arco di meridiano passante per quel punto. Alla misura in gradi bisogna aggiungere N o S a seconda che il punto si trovi nell’emisfero boreale o in quello australe.
La longitudine è la distanza angolare di un punto dal meridiano di riferimento, o meridiano zero, che è quello passante per Greenwich, misurata in gradi e frazioni di grado, sull’arco di parallelo passante per quel punto. Alla misura in gradi bisogna aggiungere E o W a seconda che il punto si trovi a Est o a Ovest del meridiano fondamentale.

Gauss utilizza, quindi, non l’equazione cartesiana, del tipo f(x,y,z)=0, ma le equazioni parametriche x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v), dove u e v sono le coordinate curvilinee della superficie.

Per la superficie della sfera unitaria il procedimento è analogo. L’equazione cartesiana è
x2 +y2 +z2 -1=0, quindi del tipo f(x,y,z)=0
L’equazione parametrica è
x=cosu·cosv
y=cosu·sinv
z=sinu
dove u è la latitudine, v la longitudine. 

Il secondo passaggio fondamentale è quello di determinare il modo di calcolare le distanze sulla superficie.

Un’altra importante innovazione che Gauss introduce è la nozione di curvatura di una superficie.

Nel caso delle curve si parte dalla curvatura di un cerchio, che per definizione si assume come il reciproco del raggio, cioè K=1/r.

Per calcolare la lunghezza di un arco infinitesimale si serve del teorema di Pitagora

(1) ds2 =dx2 +dy2 +dz2

Dalle equazioni parametriche x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v), passando ai differenziali

dx=adu+a’dv; dy=bdu+b’dv; dz=cdu+c’dv

e sostituendo nella (1) ottiene

ds2 =Edu2 +2Fdudv+Gdv2 ,

dove

E=a2 +b2 +c2 , F=aa’+bb’+cc’, G=a’2 +b’2 +c’2

nota con il nome di prima forma fondamentale.

Questa formula esprime la distanza tra due punti infinitamente vicini sulla superficie P(u,v) e Q(u+du,v+dv), da essa, applicando il calcolo delle variazioni, si possono ottenere le curve di minima distanza ossia le geodetiche .

Per determinare la curvatura di una curva in un punto si considera il cerchio osculatore che è il cerchio tangente alla curva nel punto P. Il cerchio osculatore si ottiene in questo modo. Si prendono tre punti, piuttosto vicini, sulla curva: P’,P,P”; per questi tre punti passa un solo cerchio; quindi si fanno avvicinare sempre di più i punti P’ e P” a P, nella situazione limite in cui i tre punti coincidono, si ottiene il cerchio osculatore. La curvatura di questo cerchio è per definizione la curvatura della curva nel punto P.

La curva rappresentata ha nei due punti P e Q curvatura di segno opposto.
La curvatura di una retta è nulla.

L’approccio utilizzato per le curve, tuttavia, non è generalizzabile alle superfici. Gauss prende spunto da alcune tecniche utilizzate in astronomia.

La curvatura totale di una porzione limitata di superficie si definisce attraverso la nozione di normale . La normale alla superficie in un punto P è la retta passante da P e perpendicolare al piano tangente alla superficie condotto dal punto P. Per definire la curvatura di una superficie, si serve di una sfera unitaria. A ogni punto P della superficie fa corrispondere un punto P’ sulla sfera, in modo che entrambi abbiano la stessa normale. Se si considera una piccola regione della superficie contenete P ad essa corrisponderà sulla sfera una regione contenente P’. La curvatura della superficie in P è definita come il limite del rapporto tra l’area della regione sulla sfera e l’area della regione sulla superficie, quando queste due aree tendono a ridursi ai rispettivi punti P e P’. Gauss ottiene la formula

Dopo numerosi calcoli, Gauss dimostra una caratteristica particolarmente importante. In generale, i coefficienti A, B, C, D che compaiono nella formula della curvatura sembrano dipendere dalle coordinate cartesiane x,y,z. Se invece la superficie è data per mezzo di equazioni parametriche, i coefficienti di K dipendono esclusivamente dalle coordinate curvilinee u e v. Da qui un risultato fondamentale per lo studio delle superfici: la curvatura non dipende dallo spazio circostante, è una caratteristica intrinseca alla superficie stessa. In altre parole, si può stabilire se la superficie è curva o piana restando sulla superficie stessa, senza fare riferimento a un ipotetico spazio ambiente in cui è immersa. Relativamente alla superficie terrestre si può stabilire il suo grado di curvatura effettuando esclusivamente misure sulla superficie, senza fare riferimento a osservazioni astronomiche.

In un passo successivo dimostra che la propria definizione di curvatura corrisponde a quella data da Eulero e ripresa da Monge. Eulero aveva proceduto in questo modo: per un punto della superficie aveva costruito il piano perpendicolare alla superficie in quel punto. Questo piano determina una curva della superficie, facendo ruotare il piano si ottengono curve con differente curvatura. Tra queste ce n’è una che ha la curvatura minima R1 e una che ha la curvatura massima R2 . Gauss dimostra che la propria definizione di curvatura, K, si può ottenere dal prodotto delle due curvature principali, quella minima e quella massima K=1/R1 ·R2 .

Questa proprietà ci permette di calcolare con facilità la curvatura di alcune superfici e di classificarle in base alla loro curvatura, che può essere positiva, negativa o nulla.

Gauss ottiene infine un teorema fondamentale per la trattazione delle superfici, il teorema definito da egli stesso "egregium ": una superficie può essere sovrapposta su un’altra solo se le due superfici hanno la stessa curvatura.

Questo teorema comporta dei risultati di particolare importanza. Prima di tutto risolve l’annosa questione della rappresentazione di una superficie su un altra, in particolare della rappresentazione della superficie terrestre su una carta piana. Il teorema dimostra che ciò è impossibile perché un foglio piano ha curvatura nulla, mentre la superficie della Terra ha curvatura ovunque positiva. Tuttavia, nella parte conclusiva delle sue Disquisizioni , Gauss dimostra che il triangolo terrestre che ha per vertici le colline di Brocken, Hohehagen e Inselberg si comporta agli effetti pratici come un triangolo su un foglio piano, poiché l’errore che si commette è impercettibile.

Ma ancora più importante dal punto di vista teorico è la conclusione che un pezzo di superficie, per esempio un triangolo o un’altra figura geometrica, può essere trasportato da una parte a un’altra della superficie solo se questa ha in tutti i punti la stessa curvatura, ossia la curvatura della superficie è costante.

L’importanza di quest’ultima caratteristica delle superfici è in stretto rapporto con una delle proprietà fondamentali della geometria, la congruenza delle figure geometriche che si rileva spostando una figura su un’altra fino a farle sovrapporre. Se le figure si sovrappongono perfettamente allora sono uguali. Un’altra conseguenza è che il concetto stesso di misura si fonda sulla possibilità di trasportare l’unità di misura da una regione a un’altra senza che essa si deformi. Le superfici sulle quali si può costruire una simile geometria sono tutte quelle a curvatura costante, non solo il piano che ha curvatura costante nulla ma anche quelle che hanno curvatura costante positiva o negativa.

La superficie della sfera ha curvatura costante positiva, perché in ogni punto le due curvature principali sono costanti e positive. La pseudosfera ha curvatura costante negativa, perché in ogni punto le due curvature principali sono costanti ma di segno opposto. Il piano ha curvatura costante nulla perché in ogni punto le due curvature principali sono nulle. Il cilindro ha curvatura costante nulla, perché in ogni punto una delle due curvature principali è sempre nulla. 

Infine, Gauss costruisce i primi elementi della geometria sulle superfici. Nel piano le costruzioni geometriche partono dalle rette; sulle superfici non vi sono rette nel senso comune del termine ma linee geodetiche, le linee della superficie che uniscono due punti per mezzo del percorso più breve. Nel piano è un segmento di retta, sulla superficie sferica è un arco di cerchio massimo, sul cilindro è un arco di elica.

Quindi, inizia una prima trattazione dei triangoli geodetici delle superfici. Il primo risultato fondamentale è che la somma degli angoli interni di un triangolo geodetico su una superficie curva non è 180°. Lo scarto rispetto a 180° è dato dall’integrale della curvatura esteso alla superficie del triangolo.

Se la curvatura della superficie è positiva la somma degli angoli interni del triangolo geodetico supera PIGRECO di una quantità proporzionale alla sua area; se la curvatura è negativa la somma degli angoli interni è inferiore di PIGRECO.
Se la superficie ha curvatura costante, la somma degli angoli interni del triangolo geodetico differisce da PIGRECO della quantità KA, dove K è la curvatura, A è l’area del triangolo.

 

 


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Commenti

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  1. Bellissimo. Se uno vuole studiare a livello universitario questi argomenti, cosa deve fare? Un corso di geometria differenziale?