Eulero, il Mozart della matematica

Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero è stato il più importante matematico del periodo illuminista e uno dei più grandi di sempre. Basta guardare le note di un qualsiasi libro di storia della matematica per rendersene conto: i riferimenti a Eulero sono continui, che si parli di analisi matematica o di teoria dei numeri, che si tratti di numeri complessi o di teoria dei grafi.

Proprio in questa estrema duttilità si fonda, a mio avviso, la grandezza di questo matematico. Ecco, allora, spiegato il motivo del paragone con Wolfgang Amadeus Mozart: come il prodigioso musicista di Salisburgo esplorò tutti gli ambiti musicali, creando in ciascuno di essi opere straordinarie e spesso innovative rispetto al panorama dell’epoca, così Eulero fu capace di cimentarsi in tutti i campi della matematica – ottenendo sempre grandi risultati – e di allargarne l’orizzonte scoprendo nuove formule e nuovi teoremi.

Inoltre, se la “qualità” è sempre di altissimo livello, non va dimenticata la “quantità”: complessivamente, si conoscono ben 886 pubblicazioni di Eulero, relative ai più svariati campi della matematica e della fisica.

Ma c’è di più: egli fu veramente un “eclettico” (nel senso migliore della parola) a tutto tondo, e le sue conoscenze andavano ben oltre l’ambito strettamente scientifico: studiò latino, greco ed ebraico (poiché il padre l’avrebbe voluto teologo), si laureò in filosofia e la sua prima cattedra a San Pietroburgo fu quella in medicina!

Eulero, comunque, fu in primis uno straordinario genio della matematica ed è su questo aspetto che intende soffermarsi il presente studio.

 

Francobollo con la formula di Eulero
Francobollo con la formula di Eulero

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Banconota da 10 franchi usata in Svizzera fino al 1995
Banconota da 10 franchi usata in Svizzera fino al 1995

 

 

 

 

 

 

BIOGRAFIA

Il padre Paul Euler, pastore protestante, era amico della famiglia Bernoulli, passata alla storia per la quantità di grandi matematici che contava tra le sue file. Fu proprio Johann Bernoulli il primo maestro del giovane Leonhard (che frequentava la facoltà di filosofia) e – intuendone lo straordinario talento – convinse il padre che la sua strada non era quella degli studi teologici, bensì quella della matematica.

Nel 1727 Eulero partecipò al Grand Prix dell’Accademia francese delle scienze. Il problema di quell’anno riguardava il miglior modo di disporre gli alberi su una nave ed egli arrivò secondo subito dopo Pierre Bouguer, oggi riconosciuto come il padre dell’architettura navale.

Successivamente, Eulero vinse quel premio ben 12 volte.

In quegli anni i due figli di Johann Bernoulli – Daniel e Nicolas – lavoravano all’Accademia Imperiale delle Scienze di San Pietroburgo; morto Nicolas, Daniel chiamò Eulero per la cattedra di medicina ed egli fu il medico della marina russa, prima di passare al dipartimento di matematica.

Nel 1741, stanco dei continui tumulti in Russia, accettò il posto presso l’Accademia di Berlino offertogli da Federico II di Prussia e lì visse per 25 anni, durante i quali ebbe occasione di conoscere – tra gli altri – Johann Sebastian Bach, e pubblicò le sue due opere principali: Introductio in analisi infinitorum (1748) e Institutiones calculi differentialis (1765).

Si allontanò da Berlino poiché in conflitto con il re (che lo riteneva “poco raffinato” per la sua corte) e – su invito della nuova zarina Caterina la Grande – tornò a San Pietroburgo, dove rimase fino alla morte. Nel secondo periodo russo, Eulero ebbe varie traversie: nel 1771 un incendio mandò in fumo tutti i suoi appunti e due anni dopo perse la moglie.

Inoltre, la sua vista peggiorò molto (anche a causa del lavoro di cartografia svolto per l’Accademia Imperiale); nondimeno, continuò a lavorare grazie alle sue abilità mentali di calcolo e alla sua eccezionale memoria fotografica.[2]

Morì per emorragia cerebrale a 76 anni, nel 1783.

 

EULERO MATEMATICO: SINTESI DEI PRINCIPALI RISULTATI

 Come accennato, Eulero si cimentò con tutte le branche della matematica, ottenendo sempre notevolissimi risultati.

Introdusse o diffuse buona parte della simbologia tuttora in uso; per esempio le notazioni trigonometriche, i per i numeri immaginari, Σ come simbolo per la sommatoria, f(x) per indicare una funzione, il simbolo π e la lettera e per la base dei logaritmi naturali[3], tanto che talvolta viene attribuita a tale costante l’ennesima definizione di “numero di Eulero”.

Inoltre, Eulero fu indubbiamente il più grande “fornitore” di denominazioni matematiche: oggi il suo nome è legato a una quantità impressionante di formule, relazioni, equazioni, teoremi, metodi, criteri. Riportiamo sinteticamente i principali, suddivisi per ambito matematico; alcuni di essi saranno descritti con maggiori dettagli nei successivi capitoli.

Come se non bastasse, l’aggettivo “euleriano” viene associato a molti altri “oggetti” matematici: numeri euleriani (differenti dai numeri di Eulero); ciclo euleriano; grafo euleriano; catena euleriana di un grafo senza anse…

In questo studio saranno trattate le più significative scoperte di Eulero, concentrando l’attenzione su tre ambiti: l’Analisi matematica, la Teoria dei numeri e quell’arcipelago di giochi numerici e curiosità che generalmente viene ricompreso nella definizione di “matematica ricreativa”. Per agevolare la lettura, si dedicherà un capitolo a ciascuno di essi, con l’avvertenza – però –  che spesso il confine è labile, in quanto molti teoremi o formule si possono collegare con più d’uno degli argomenti trattati.

Per quanto riguarda altre branche della matematica e altre “materie”, si citeranno solo i principali contributi di Eulero, senza ulteriori spiegazioni, rimandando a studi specifici per maggiori dettagli.

 

ANALISI MATEMATICA

L’analisi era il campo di studio principale nel panorama matematico del XVIII secolo e i lavori di Eulero in proposito furono senza dubbio determinanti.

Riguardo alle funzioni polinomiali, scoprì nuovi metodi per risolvere l’equazione di quarto grado.  Inoltre, provò le Identità di Newton (o formule di Newton-Girard) sulle relazioni che legano i polinomi simmetrici elementari con altri ottenuti mediante somme di potenze (in altri termini, le relazioni tra i coefficienti di un polinomio e la somma delle sue radici, la somma dei quadrati delle sue radici etc.)

Le scoperte più importanti, però, sono quelle relative a somme e prodotti infiniti, che fecero fare all’analisi matematica grandi passi in avanti, visto che all’epoca mancava una solida base formale sul tema. In particolare, Eulero studiò le espressioni analitiche comprendenti funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche, viste come versioni infinitarie di funzioni algebriche, attraverso espansioni in serie di potenze.

Serie numeriche

Eulero calcolò il risultato di alcune importanti serie; la prima riguarda lo sviluppo del numero e:

\( \displaystyle e = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots \)

Un’altra – che costituiva il cosiddetto “Problema di Basilea” – era la serie costruita sommando gli inversi dei quadrati dei numeri interi; Eulero ne trovò l’inaspettata soluzione:

\(  \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}\)

Ancora più sorprendente è un’altra serie – in cui torna nuovamente il valore π – che riguarda gli inversi di tutti i numeri naturali:

\( \pi = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} – \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} – \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12}  \frac{1}{13} \ldots \)

I segni dei termini, dopo i primi due, si determinano come segue:

  • Segno + se il denominatore è un numero primo del tipo 4m-1 (es. 11)
  • Segno – se il denominatore è un numero primo del tipo 4m+1 (es. 5)
  • Prodotto dei segni dei singoli fattori se il denominatore è un numero composto (es. 10=2×5)

Ma la più importante tra le serie numeriche studiate da Eulero, soprattutto per i suoi successivi sviluppi, è la cosiddetta Funzione ζ di Eulero definita, per ogni n maggiore di 1, come:

\( \displaystyle \zeta(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x} = 1 + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \ldots \)

Il matematico svizzero comprese la fondamentale importanza di questa formula nullo studio dei numeri primi e dimostrò l’identità nota come Prodotto di Eulero:

\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}= \prod_p \frac{1}{1-p^s} \)

Questa espressione, che mette in relazione una serie in cui compaiono tutti i numeri naturali e un prodotto in cui compaiono tutti i numeri primi, è all’origine del collegamento tra funzione ζ(s) e numeri primi che caratterizza la celeberrima Ipotesi di Riemann.[4]

Un altro significativo risultato di Eulero è l’introduzione della costante matematica, γ (poi ribattezzata Costante di Eulero-Mascheroni)[5], definita come limite della differenza tra la serie armonica e il logaritmo naturale:

\( \displaystyle \gamma = \lim_{n\rightarrow \infty} \Big( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + + \frac{1}{n}  – \ln(n)\Big) \)

  • Il valore approssimato di γ è 0,57721.
  • Ancora, ricordiamo i Numeri di Eulero (En), una successione di interi importante nel calcolo combinatorio e definita dal seguente sviluppo della secante iperbolica (inverso della funzione coseno iperbolico, la cosiddetta “catenaria”[6]): \[ \displaystyle  \operatorname{sech(t)} = \frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{\exp(t) + \exp(-t)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{n!} \cdot t^n \]
  • I numeri di Eulero di indice dispari sono nulli, quelli di indice pari hanno segno alterno; i primi valori sono: E0 = 1; E2 = -1; E4 = 5; E6 = -61; E8 = 1.385; E10 = -50.521.

Infine, Eulero scoprì il seguente sviluppo dell’arcotangente:

\( \arctan(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{2n+1} \)

 

Geometria Analitica

Riguardo alla geometria analitica, le principali scoperte di Eulero sono:

Inoltre, nell’Introductio in analysis infinitorum si trova una esauriente trattazione delle coordinate polari, esposte nella forma moderna. Ancora oggi, spesso, si indica (erroneamente) Eulero come l’inventore di questo sistema di notazione.

 

Calcolo differenziale

Anche nel calcolo differenziale Eulero conseguì importanti risultati, in particolare riguardo all’approssimazione degli integrali stessi.

Su questo argomento vanno ricordati il Metodo di Eulero – il più basilare tra i metodi espliciti per l’integrazione numerica di equazioni differenziali ordinarie – e la Formula di Eulero-Mac Laurin:[7] se n è un intero positivo e f(x) una funzione definita tra 0 e n, allora l’integrale di f(x) tra 0 e n può essere approssimato con la somma S = f(0)/2 + f(1) +… f(n-1) + f(n)/2

Inoltre, Eulero dette il proprio nome a due diverse tipologie di integrali (Funzione Beta e Funzione Gamma) conosciuti, per l’appunto, come Integrali di Eulero:

– Integrale del primo tipo (Funzione Beta) \[ \beta(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\, dt = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \]

– Integrale del secondo tipo (Funzione Gamma) \[ \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} \, dt \]

Nel dominio dei numeri naturali le due funzioni assumono le seguenti espressioni:

\( \beta(n,m) = \frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!} = \frac{n+m}{nm\begin{pmatrix} n+m \\ n \end{pmatrix}} \,\,\,\,\,\,\,\,; \,\,\,\,\,\,\,\, \Gamma(n) = (n-1)! \)

Eulero contribuì in modo decisivo anche allo sviluppo del calcolo variazionale scoprendo l’equazione differenziale che sta alla base del calcolo stesso e stabilisce una condizione necessaria per la soluzione di tali problemi (come l’annullamento della derivata lo è per i massimi e minimi).

Oltre alle scoperte teoriche di cui si è detto, Eulero ebbe grandi successi anche nell’applicazione dei metodi analitici a situazioni reali; tra l’altro, applicò il metodo delle “flussioni” di Newton al calcolo integrale di Leibniz, il che rese più agevole risolvere diversi problemi di fisica.

Formula e Identità di Eulero

Eulero svolse un ruolo fondamentale anche nello studio dell’analisi relativa ai numeri complessi (ad esempio, ne definì i logaritmi); in questo campo la sua scoperta più importante è una formula che mostra la relazione esistente fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa.

Si tratta della Formula di Eulero: per ogni numero reale x vale la relazione: \(e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x) \). Da tale formula, sostituendo semplicemente alla x il valore π, si ottiene come caso particolare la celeberrima Identità di Eulero: \(e^{i\pi}+1= 0\).

Questa identità fu definita da Richard Feynmanla più bella formula della matematica[8] poiché:

  • racchiude in una semplice relazione 5 costanti fondamentali della matematica (e, π, i, 1, 0);
  • comprende gli operatori aritmetici principali (uguaglianza, addizione, prodotto, elevamento a potenza);
  • collega tra di loro – caso assai raro – numeri interi, irrazionali reali e irrazionali immaginari.

 

TEORIA DEI NUMERI

Insieme all’analisi, la teoria dei numeri è l’ambito matematico a cui Eulero si dedicò maggiormente nel corso della sua vita. A seguire, riportiamo alcuni dei principali risultati raggiunti, ciascuno con una breve descrizione.

Numeri primi

Eulero provò l’infinità dei numeri primi in un modo differente rispetto alla classica dimostrazione di Euclide, sfruttando la divergenza della serie armonica.

In sintesi, il procedimento è il seguente: poiché ogni numero si può scomporre in fattori primi, al variare di n variano tutti i possibili prodotti di numeri primi, con tutti i possibili esponenti. Allora, se ci fosse solo un numero finito di primi la somma 1+1/2+1/3+… 1/n sarebbe finita, poiché equivalente al prodotto di un numero finito di progressioni geometriche del tipo 1+1/p+1/p2+… 1/pn, ciascuna delle quali vale p/p-1.

Pierre de Fermat aveva ipotizzato che tutti i numeri della forma 2 elevato a 2n più 1 (detti, per l’appunto, numeri di Fermat) fossero primi, sulla base del fatto che l’ipotesi è vera per n compreso tra 0 e 4 (ad esempio, è primo 2 elevato a 23+1, ossia 28+1 = 513).

In realtà già per n=5 ciò non vale più, poiché 232+1 = 4.294.967.297 = 641×6.700.417. Si tratta di numeri troppo elevati per essere scomposti a mano, con la semplice “forza bruta”, ma Eulero – grazie a un’ingegnosa semplificazione – dimostrò che era sufficiente considerare i soli divisori del tipo 64k+1. Così, al decimo tentativo (k=10) trovò la scomposizione in fattori vista sopra, smentendo l’ipotesi di Fermat.

In questo caso la grandezza di Eulero sta soprattutto nella capacità di trovare una “scorciatoia” decisiva in grado di trasformare un problema assai arduo in uno agevolmente risolvibile.

  • Ancora, va ricordato il Criterio di Eulero: dato p primo diverso da 2, se a è residuo quadratico[9] modulo p, allora a(p-1)/2 ≡ 1 (mod p); in caso contrario si ha a(p-1)/2 ≡ -1 (mod p). Tale criterio è tuttora usato nella ricerca al computer di grandi numeri primi.

Congettura di Eulero

Si è accennato ai lavori di Fermat; uno dei più grandi successi di Eulero fu proprio la dimostrazione del cosiddetto Ultimo teorema di Fermat[10] per il caso particolare n=3, ottenuta facendo uso dei numeri complessi e applicando il metodo della “discesa infinita”.

Eulero, inoltre, formulò un’ipotesi più generale (della quale l’ultimo teorema di Fermat è un caso particolare), detta Congettura di Eulero: nessuna potenza n > 2 può essere espressa come somma di meno di n potenze n-esime; ad esempio, nessun cubo può essere espresso come somma di 2 cubi. Questa congettura fu confutata soltanto nel 1966, quando – con l’ausilio di un programma per computer – fu scoperto un controesempio per il caso n=5: 275+845+1105+1335 = 1445.

Funzione φ di Eulero

Esistono alcune particolari funzioni matematiche che prendono in considerazione i soli numeri interi; la più importante di queste è la Funzione φ di Eulero (o Funzione Totiente), definita – per ogni intero positivo n – come il numero degli interi minori di n coprimi con n stesso.

Ad esempio, φ(8)=4 poiché i numeri coprimi con 8 sono 1, 3, 5 e 7.

A partire dalla considerazione che per qualsiasi primo p φ(p)=p-1, lavorando nell’aritmetica modulare, Eulero generalizzò il Pìiccolo teorema di Fermat[11], dando origine al cosiddetto Teorema di Eulero: se k ed n sono coprimi tra loro, vale la seguente relazione: kφ(n) ≡ 1 (mod n). Il teorema può essere usato per ridurre facilmente grandi potenze in modulo n. Ad esempio, qual è l’ultima cifra di 7222, ovvero 7222 (mod 10)? I numeri 7 e 10 sono coprimi e φ(10)=4; quindi, per il teorema di Eulero 74 ≡ 1 (mod 10). Con pochi semplici calcoli si ricava: 7222 ≡ 74·55 + 2 ≡ (74)5572 ≡ 155·72 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10).

La Funzione φ(n) ha una grande importanza “pratica” nella nostra vita quotidiana: su di essa, infatti, si basano i principali sistemi di crittografia, in particolare, l’algoritmo di cifratura RSA,[12] il più utilizzato per proteggere codici che devono rimanere segreti come i numeri delle carte bancarie.

Identità dei 4 quadrati

Intorno al 1750 Eulero scoprì la cosiddetta Identità dei 4 quadrati: il prodotto di due numeri, ognuno scrivibile come somma di quadrati, si può anch’esso scrivere come somma di quadrati. In particolare: (a12+a22+a32+a42) × (b12+b22+b32+b42) = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4)2 + (a1b2 – a2b1 – a3b4 – a4b3)2 + (a1b3 – a2b4 – a3b1 – a4b2)2 + (a1b4 – a2b3 – a3b2 – a4b1)2

L’identità si può dimostrare con semplici passaggi di algebra elementare ed è valida in ogni anello commutativo; la sua importanza nella teoria dei numeri è legata al suo uso nella dimostrazione di Lagrange del Teorema dei quattro quadrati.[13]

Numeri perfetti

I numeri perfetti – ossia quelli equivalenti alla somma dei loro divisori propri, 1 compreso – costituiscono una delle famiglie di interi più note in assoluto e furono studiati sin dall’antichità.

Un teorema enunciato da Pitagora (e dimostrato poi da Euclide) afferma che se 2n-1 è un numero primo, allora m=2n-1×(2n-1) è un numero perfetto. I numeri perfetti, dunque, sono strettamente legati ai primi del tipo 2m-1 (primi di Mersenne).

Eulero scoprì un efficiente metodo per verificare se 2m-1 è primo, basato sul già citato Piccolo teorema di Fermat, e provò – sfruttando lo stesso procedimento usato per dimostrare l’infinità dei numeri primi – che tutti i perfetti pari devono necessariamente avere la forma 2n-1×(2n-1).

Una variante dei numeri perfetti è costituita dai cosiddetti numeri amichevoli, coppie di numeri tali che ognuno è pari alla somma dei divisori dell’altro. Eulero lavorò anche su questi, compilando una lista di 64 coppie di numeri amichevoli; due di queste, in realtà, si sono rivelate errate, ma tenendo conto delle dimensioni dei numeri e degli strumenti di calcolo del ‘700, tale risultato è tutt’altro che trascurabile.

Numeri Figurati

 

Numeri triangolari, quadrati, pentagonali ed esagonali
Numeri triangolari, quadrati, pentagonali ed esagonali

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Per numeri figurati si intendono i numeri interi che possono essere rappresentati mediante uno schema geometrico regolare. Il caso più semplice è quello dei numeri triangolari, la cui successione inizia con 1, 3, 6, 10, 15, 21…; vengono poi i numeri quadrati, che corrispondono alle seconde potenze di ogni intero: 1, 4, 9, 16, 25, 36…

Come i numeri perfetti visti poc’anzi, furono studiati dai matematici greci, che esaminarono anche le possibili combinazioni tra diverse tipologie di numeri figurati, in particolare quella più semplice: i numeri che sono contemporaneamente triangolari e quadrati.[14]

E’ immediato verificare che esistono numeri del genere (basta prendere il 36); assai meno facile è definire se siano infiniti o meno. Eulero non solo risolse il problema dimostrando che i numeri triangolari-quadrati sono infiniti, ma trovò anche una formula – tutt’altro che agevole, in verità – per ricavarli: \( [(1+\sqrt{2})^{2n}-(1-\sqrt{2})^{2n}]^2/32]\).

Numeri di Catalan

Questi numeri prendono il nome dal matematico belga del XIX secolo Eugène Charles Catalan, ma in realtà il primo in Europa a occuparsene fu Eulero.

Partendo dalla domanda “In quanti modi diversi si può dividere un poligono convesso in triangoli, tracciando diagonali che non si intersecano?”, egli scoprì questa sequenza: la risposta al quesito, infatti, è data dall’n-esimo numero di Catalan, con n equivalente al numero di lati del poligono meno due. Ad esempio, il numero di modi diversi in cui si può dividere un esagono con le regole sopra descritte è 14, cioè C4, il quarto numero della successione, i cui primi termini sono: 1, 2, 5, 14, 42, 132…

Eulero elaborò anche una formula generale per calcolare i termini di questa successione: 2×6×…(4n-10) / (n-1)!, con n intero positivo maggiore di 2.

MATEMATICA RICREATIVA

Eulero si occupò spesso anche di curiosità e giochi matematici di vario tipo, ma sempre con un approccio rigoroso e scientifico che contribuì ad aprire nuovi orizzonti e far progredire significativamente la matematica del ‘700.

Riportiamo alcuni esempi legati alla probabilità, al calcolo combinatorio e alla teoria dei grafi.

Il “Jeu du rencontre”

I cosiddetti Numeri Derangement (indicati con !n) indicano il numero di possibili permutazioni di n oggetti tali che nessuno di essi rimane nell’ordine iniziale.[15]

Eulero studiò un’applicazione di questi numeri al campo della probabilità con il cosiddetto “Jeu du rencontre”: due giocatori A e B voltano contemporaneamente una a una le carte di due mazzi; se almeno una volta girano la stessa carta, A vince; se ciò non avviene (cioè, se si verifica il derangement) vince B. Quali sono le probabilità di vittoria dei due giocatori?

Evidentemente, nel caso di due carte la probabilità è del 50% per ciascun giocatore, mentre con tre carte A vince in un numero di casi pari a 2/3. Questa è la situazione più favorevole al primo giocatore, che – comunque – mantiene sempre una maggiore probabilità di vittoria secondo la formula P(A) = 1-1/2!+1/3!-1/4!±…1/n!

Al crescere di n, tale probabilità tende a 1-1/e, cioè vale all’incirca 0,63; in sostanza, il giocatore A può aspettarsi di vincere circa 63 volte su 100, indipendentemente dal numero di carte del mazzo.

 

I 7 ponti di Königsberg

Nel 1736 Eulero risolse un annoso quesito riguardante la città prussiana di Königsberg (oggi appartenente alla Russia e denominata Kaliningrad), nota soprattutto per aver dato i natali al grande filosofo Immanuel Kant.

 

Mappa di Königsberg con i 7 ponti sul fiume Pregel
Mappa di Königsberg con i 7 ponti sul fiume Pregel

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La città è percorsa dal fiume Pregel, che forma due isole, connesse tra di loro e con le due aree principali della città da una serie di ponti; nel ‘700 essi erano 7, disposti come si vede nella figura. La questione è: esiste un percorso che attraversi ogni ponte una e una sola volta?[16]

Eulero si occupò della faccenda e – in un articolo che, di fatto, è il primo mai scritto sulla teoria dei grafi – mostrò che il problema equivale a tracciare un grafo semplice con le seguenti possibilità:

  • se tutti i vertici sono di “ordine pari” (ossia, se da ciascuno di essi parte un numero pari di linee), sono possibili più cammini che li toccano tutti una e una sola volta, ritornando alla fine sul vertice di partenza;[17]
  • se vi sono solo 2 vertici di “ordine dispari” sono possibili percorsi (non chiusi) che partono da uno dei due e raggiungono l’altro;
  • se, infine, vi sono 2k vertici di “ordine dispari”, un percorso che li tocca tutti una e una sola volta è impossibile.

Nel caso in esame vi sono 4 vertici (aree territoriali) da cui parte un numero dispari di archi (i ponti); dunque, la passeggiata ipotizzata non è possibile: come minimo, occorrono due diversi cammini, nessuno dei quali chiuso, per attraversare tutti i ponti una sola volta.

Il “Salto del cavallo”

Ecco un altro ben noto problema di “cammini”: si tratta di far percorrere a un cavallo degli scacchi le 64 caselle della scacchiera in modo da toccarle tutte una e una sola volta e tornare alla fine alla casa di partenza. Esistono innumerevoli soluzioni al problema, alcune delle quali notevoli dal punto di vista grafico per l’eleganza o la particolare simmetria delle linee disegnate sulla scacchiera.

Anche Eulero si dedicò al problema, evidenziandone diverse soluzioni nel suo testo “Solution d’une question curieuse que ne paroit soumise a aucune analyse”, il primo articolo a carattere matematico sul “giro del cavallo”.

Tra queste soluzioni ve n’è una particolarmente rimarchevole, in quanto il percorso tocca prima tutte le case della metà inferiore della scacchiera, poi tutte quelle della metà superiore. Inoltre, se si indicano con i numeri da 1 a 64 le caselle toccate nell’ordine dal cavallo, in questa soluzione tutte quelle simmetriche rispetto alle linee orizzontali e verticali che dividono in due la scacchiera portano numeri che differiscono tra loro di 32.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eulero, infine, studiò anche una curiosa variante del problema: i possibili percorsi sulla scacchiera di un pezzo detto “Cammello”, esistente negli scacchi persiani del ‘300, che si muoveva di un passo in diagonale e poi in linea orizzontale o verticale per un numero di case a piacere.

 Il parallelepipedo “diofantino”

Un classico problema relativo alle cosiddette “equazioni diofantee” (o diofantine) – ossia, quelle che accettano come soluzioni soltanto numeri interi – è trovare un parallelepipedo tale che tutti i suoi lati e tutte le diagonali abbiano un valore intero.

Nel ‘700 si sapeva già che non è possibile costruire una simile figura; esistono, però, parallelepipedi “quasi perfetti”, ossia tali che sia irrazionale solo la misura della diagonale spaziale.

Eulero trovò la soluzione con i valori più piccoli possibili: le misure dei tre lati sono 44, 117 e 240; quelle delle tre diagonali sul piano sono 125, 244 e 267, mentre la diagonale spaziale vale all’incirca 270,601.

Anche i grandi possono sbagliare: il Quadrato greco-latino 6×6

Si è già accennato a un paio di ipotesi di Eulero successivamente rivelatesi errate; ne approfondiamo qui un’altra che, peraltro – come le precedenti – è stata smentita solo in tempi recenti e grazie all’uso di programmi per computer.

Pochi anni prima di morire egli aveva scritto un testo dal titolo “Recherches sur une nouvelle espèce de quarres magiques”, un tipo di quadrati magici che oggi vengono definiti “latini” poiché Eulero usava contrassegnarne le caselle con normali lettere latine.

Un quadrato latino n×n presenta le prime n lettere dell’alfabeto e ciascuna appare una sola volta in ogni riga e colonna. Una costruzione del genere è molto semplice; assai più complicato è il passaggio successivo: sovrapporre un altro quadrato n×n (con le caselle indicate da lettere greche) per avere un quadrato contenente le n2 possibili coppie di lettere in modo tale che, nuovamente, ciascuna lettera – sia latina, sia greca – si presenti una e una sola volta in ogni riga e colonna.[18]

Eulero dimostrò che è sempre possibile costruire quadrati greco-latini di ordine n se n è dispari o “completamente pari” (ossia divisibile per 4) ma – dopo numerose prove fallite per n=6 – formulò l’ipotesi che non esistessero quadrati di ordine n pari ma non divisibile per 4.

Per due secoli la congettura è stata considerata valida, finché, nel 1959, tre matematici statunitensi[19] hanno scoperto un sistema per costruire un gran numero di quadrati del genere di ordine 10, 14, 18 etc. Il numero 6, dunque, rimane l’unico ordine per il quale tale costruzione non è possibile.

 

Costruzione di un quadrato greco-latino di ordine 4
Costruzione di un quadrato greco-latino di ordine 4

 

 

 

 

 

 

ALTRI AMBITI MATEMATICI

Geometria e topologia

Uno dei contributi più importanti in questo campo riguarda la cosiddetta Relazione di Eulero, una formula che vale per tutti i poliedri convessi e coinvolge il numero di vertici (V), spigoli (S) e facce (F): V-S+F = 2.[20]

Il numero V-S+F, indicato comunemente con la lettera \(\chi\) , è una costante intera (detta Caratteristica di Eulero) molto importante anche in topologia; è, infatti, l’invariante fondamentale nella classificazione delle superfici.

Tra le tante altre scoperte di Eulero nell’ambito della geometria, ne ricordiamo ancora tre:

  • In ogni triangolo baricentro B, ortocentro O e circocentro C sono allineati (la retta su cui i 3 punti giacciono è la Retta di Eulero)[21]; inoltre, vale la relazione OC / OB = 3.
  • Angoli di Eulero: descrivono la posizione di un sistema di riferimento XYZ solidale con un corpo rigido nello spazio attraverso una serie di rotazioni a partire da un sistema di riferimento fisso xyz. I due sistemi di riferimento coincidono nell’origine.
  • La superficie laterale della “catenoide” (solido di rotazione generato da una catenaria che ruota attorno all´asse x) è la superficie minima tra due circonferenze della stessa ampiezza.

 

La “catenoide”
La “catenoide”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Teoria degli insiemi

In questo campo Eulero ha legato il suo nome al cosiddetto Diagrammi di Eulero-Venn (dal nome dei due matematici che ne diffusero l’uso), la rappresentazione grafica oggi abitualmente utilizzata per descrivere gli elementi e le relazioni tra insiemi.

In particolare: gli insiemi sono indicati con una lettera maiuscola e rappresentati da linee chiuse; gli elementi sono punti (interni se appartenenti all’insieme, altrimenti esterni) denotati con una lettera minuscola; infine, le relazioni sono linee che collegano variamente gli insiemi stessi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FISICA E ASTRONOMIA

Eulero non fu soltanto uno straordinario matematico: diede importanti contributi anche alla fisica (in particolare, alla meccanica classica) e all’astronomia.

In fisica il Numero di Eulero solitamente simbolizzato come Eu – è un gruppo adimensionale che mette in relazione la forza d’inerzia e la forza di pressione.

Il matematico di Basilea, inoltre, ebbe un ruolo decisivo nella definizione delle Equazioni di Eulero-Lagrange, molto importanti in fisica relativamente al moto di un sistema conservativo, e contribuì a sviluppare la cosiddetta Equazione delle travi di Eulero-Bernoulli, che costituisce una pietra miliare per l’ingegneria.

Eulero applicò le stesse tecniche anche alla meccanica celeste, ottenendo notevolissimi risultati, come la determinazione esatta delle orbite delle comete e il calcolo della parallasse del Sole. Calcolò, inoltre, le perturbazioni reciproche delle orbite di Giove e Saturno, applicando il metodo di Newton per affrontare il complesso problema “dei tre corpi”, ossia le reciproche influenze gravitazionali di tre corpi celesti (ad esempio, il sistema Sole-Terra-Luna).

 

AMBITI EXTRA-SCIENTIFICI

Teoria musicale

Fra i contributi meno noti di Eulero vi è anche il tentativo di formulare una teoria musicale su basi interamente matematiche.

A questo tema sono dedicati numerosi scritti, tra i quali il più importante è il Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae (1739), suddiviso in 14 capitoli che trattano diffusamente i temi dell’armonia, degli intervalli, delle consonanze etc.

Questo lavoro si inserisce in un filone della ricerca matematica a cui avevano già contribuito altri importanti personaggi del ‘600 – come l’abate Marin Mersenne e Cartesio – successivamente ripreso da Jean d’Alembert e altri.

Principi filosofici e religiosi

Come accennato nell’introduzione, Eulero era laureato in Filosofia; inoltre – pur vivendo in pieno periodo illuminista – era un fervente religioso protestante e non cessò mai di interessarsi di teologia.

Molto di ciò che sappiamo sulla sua filosofia, sui suoi principi religiosi e – più in generale – sulla sua “Weltanschauung” ci è giunto tramite le Lettres à une Princesse d’Allemagne, un’opera che raccoglie oltre 200 lettere inviate alla principessa di Anhalt-Dessau (nipote di Federico II di Prussia) da Eulero, che ne era il tutore. Le lettere riguardano in prevalenza argomenti di tipo scientifico, ma spaziano ampiamente anche su svariate questioni filosofiche.

All’epoca l’opera ebbe un enorme successo, a testimonianza delle notevoli capacità di Eulero anche dal punto di vista divulgativo.

 

Firma di Eulero
Firma di Eulero

 

 

 

 

 

 

OPERE DI EULERO

 Oltre che grande “scopritore”, Eulero fu anche uno scrittore estremamente prolifico; le sue numerosissime opere – scritte in latino, francese e tedesco – trattano una grande quantità di argomenti diversi.

Ecco un breve elenco di quelle principali, suddivise in tre gruppi:

Matematica

  • Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741)
  • Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744)
  • Introductio in analysi infinitorum (1748)
  • Institutiones calculi differentialis (1787)
  • Institutiones calculi integralis (1768-1770)
  • Vollständige Anleitung zur Algebra (1770)

Fisica e Astronomia

  • Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736)
  • Dissertatio de magnete (1743)
  • Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765)
  • Theoria motuum lunae (1772)

Altre opere

  • Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae (1739)
  • Lettres à une Princesse d’Allemagne (1768-1772)

 

Note

[1] Il più grande, a parere di chi scrive, anche se nella comunità matematica si tende generalmente ad assegnare la palma di “numero uno” al tedesco Carl Friederich Gauss.

[2] Si dice che Eulero fosse in grado di ripetere l’Eneide di Virgilio dall’inizio alla fine e dire la prima e l’ultima riga di ogni pagina dell’edizione in cui l’aveva imparata.

[3] Non si sa perché Eulero scelse la e: forse perché iniziale di “esponenziale” o perché era la prima lettera dell’alfabeto “libera” (a, b, c, d erano molto usate in matematica). Riguardo al π, esso fu introdotto all’inizio del ‘700 da William Jones, ma diventò di uso comune dopo l’utilizzo che ne fece Eulero.

[4] L’ipotesi di Riemann dice che tutte le soluzioni della funzione \(\zeta(s)\) – estensione al campo complesso di quella di Eulero – hanno parte reale pari a ½. E’ considerata la più importante questione irrisolta della matematica, tanto che costituiva uno dei 23 “Problemi per il nuovo secolo” elencati da Hilbert all’inizio del ‘900 ed è stata poi confermata un secolo dopo come uno dei 7 “Millennium problems” posti all’attenzione della comunità scientifica mondiale.

[5] Lorenzo Mascheroni (1750-1800) contribuì a divulgare il calcolo infinitesimale di Leibniz, Newton ed Eulero. Nel suo Adnotationes ad calculum integrale Euleri calcolò le prime 32 cifre dello sviluppo decimale di γ.

[6] Tale nome si deve al fatto che se si appende una catena a un muro fissandola a due punti, la forma che essa assume è per l’appunto rappresentata dalla funzione coseno iperbolico. Si tornerà sulla “catenaria” più avanti nel testo.

[7] Il doppio nome si deve al fatto che la formula fu scoperta indipendentemente da Eulero e McLaurin intorno al 1735.

[8] Tale parere fu condiviso anche da 16 matematici interpellati con un apposito sondaggio e dai lettori del Mathematical Intelligencer, che nel 1988 votarono l’Identità di Eulero come la più bella formula matematica di sempre.

[9] Ossia, se esiste un intero k tale che k2 ≡ a (mod p).

[10] Il teorema (“L’equazione xN+yN=zN non ha soluzioni intere per N>2”) – rimasto a livello di semplice ipotesi per 3 secoli – è stato provato dal britannico Andrew Wiles nel 1995, con una dimostrazione che ha richiesto anni di studio e il ricorso a strutture matematiche del tutto sconosciute ai tempi di Fermat e apparentemente lontanissime dall’enunciato del teorema stesso.

[11] Il teorema afferma che se p è un numero primo, 2p-1 è uguale a 1 nel gruppo ciclico con p elementi (in altre parole, è congruo a 1 modulo p).

[12] L’algoritmo RSA, elaborato negli anni ’70, prende il nome dalle iniziali dei suoi inventori: Rivers, Shamir e Adleman.

[13] Il teorema afferma che ogni intero positivo può essere espresso come somma di (al più) 4 quadrati perfetti.

[14] Un riferimento ai numeri triangolari/quadrati compare nell’enigma dei “Buoi del Sole”, attribuito ad Archimede.

[15] Un esempio: si infilano a casaccio k lettere in k buste; si verifica un derangement se nessuna lettera verrà spedita all’indirizzo corretto.

[16] Il problema era così noto e dibattuto che si dice (ma si tratta probabilmente di una “leggenda metropolitana”) che la domenica i cittadini di Königsberg passeggiassero su e giù per la città cercando – ovviamente invano – di risolverlo.

[17] In tal caso si parla di Grafo euleriano e ogni cammino che torna al punto di partenza è detto “hamiltoniano”.

[18] I quadrati greco-latini non sono semplici curiosità matematiche, ma hanno importanti applicazioni pratiche, ad esempio in agricoltura o in biologia, in quanto consentono di testare contemporaneamente n prodotti (prodotti agricoli, medicine…) in n situazioni diverse.

[19] Nei suoi “Enigmi e giochi matematici” il grande divulgatore matematico statunitense Martin Gardner definisce questi tre matematici “i guastafeste di Eulero”.

[20] Tale formula era già nota nel ‘600 a Cartesio e Leibniz, ma fu riscoperta, approfondita e pubblicata da Eulero.

[21] Aggiungiamo per completezza che giacciono su tale retta anche altri punti notevoli di un triangolo, ad esempio il centro della circonferenza che passa per i tre punti medi dei lati del triangolo, detta “Cerchio dei nove punti”.

 

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