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Questo appunto di matematica riguarda la trattazione del matematico Richard Arenstof sulla Congettura dei primi gemelli infiniti. Prima di entrare nel dettaglio di questa dimostrazione-prova, nel paragrafo seguente verrà data un’introduzione generale sui numeri primi e sui primi gemelli.

Introduzione alla congettura dei numeri primi

Iniziamo questo paragrafo con un’introduzione generale sui numeri primi. In particolare, in matematica un numero naturale si dice numero primo quando è divisibile solamente per 1 e per sé stesso; viceversa un numero si dice composto se ha altri divisori, oltre a 1 ed a sé stesso.

Per dipiù, due numeri primi che differiscono di 2 vengono chiamati primi gemelli.
La congettura dei numeri primi gemelli rimane uno dei più famosi ed antichi problemi irrisolti della matetica, riguardante la teoria dei numeri primi. Questa, infatti, fu proposta per la prima volta intorno al 300 a.C. dal matematico greco Euclide, affermando che:
“esiste un infinito numero di interi positivi

[math] p [/math]

tali che se

[math] p [/math]

è un numero primo allora anche

[math] p+2 [/math]

è un numero primo”.
Un primo esempio di primi gemelli e' costituito dai numeri 17 e 19, ma ne esistono tanti altri come: 11 e 13, 41 e 43, 71 e 73, ecc…
Anche se la maggior parte dei matematici ritiene che questa congettura sia vera, basandosi essenzialmente sull'evidenza numerica e su ragionamenti euristici che riguardano la distribuzione probabilistica dei numeri primi, molti matematici-teorici dei numeri negli anni hanno provato in diversi modi a dimostrare questa congettura; purtroppo senza alcun risultato.
Tra questi abbiamo De Polignac, un matematico francese che nel 1849 enunciò una congettura più generale, secondo cui:
“per ogni numero naturale k, esistono infinite coppie di numeri primi che differiscono di

[math] 2 \cdot k [/math]

”.
Il caso

[math] k=1 [/math]

corrisponde esattamente alla congettura dei primi gemelli.
Ultimo tra questi pioneri che tentano ancora oggi di trovare una dimostrazione alla Teoria dei numeri primi, è il matematico americano Richard Arenstorf che nel 2004 ha pubblicato un manoscritto in cui fonisce le dimostrazioni della congettura dei numeri primi gemelli e della congettura di Hardy-Littlewood, mentre Michel Balazard ha scoperto che queste contengono un errore nel Lemma 8.
Tuttavia, l'approccio di base utilizzato da Richard Arenstorf, Professor Emeritus a Vanderbilt, sembra molto interessante e rappresenta comunque un avanzamento consistente nella Teoria dei Numeri.
Vediamo in breve cosa afferma tale “congettura”:
Sia

[math] L(n) [/math]

la funzione di VonMangoldt, e

[math] T(s) [/math]

la serie di Dirichlet pari a:

[math]T(s) = \sum_{n>3}^N L(n-1)L(n+1)n^{-s} [/math]

Arenstorf mostra che per

[math] Re(s) > 1 [/math]

, segue che

[math] \frac{T(s) -B}{s-1}[/math]

ha una continuazione analitica su

[math]Re(s) = 1[/math]

. Cio' consente l'uso del teorema tauberiano, il quale mostra che la somma

[math]\log{(p)} +\log{(p+2)} \rightarrow \infty [/math]

.
In tal modo e' possibile vedere che la densità dei primi gemelli, cioè la costante B, corrisponde alla congettura di Hardy&Littlewood.
L'approccio alla pubblicazione non e' sicuramente semplice in quanto la Teoria dei Numeri e' un territorio difficile e pieno di trabocchetti, tuttavia la dimostrazione procede per passi relativamente standard: infatti, sembrerebbe che Arenstorf utilizzi metodi di Sieving sviluppati nel lontano 1960.
Per capire meglio il teorema di Wiener-Ikehara tauberiano utilizzato (ma non provato) a pagina 21 della pubblicazione, si può dare un'occhiata a "Introduction to Analytic Number Theory" di K. Chandrasekharan (Springer-Verlag, 1968) dove tale teorema viene utilizzato per dimostrare il Teorema sui Numeri Primi.
Vediamolo meglio nel paragrafo successivo.

[/h]Teorema di Wiener-Ikehara Chandrasekharan nella sua pubblicazione, presenta cosi il teorema di Wiener-Ikehara:
Sia A(x) una funzione non negativa e non decrescente di x, definita per

[math]0 \leq x. L'integrale (da zero a infinito) di

[math] A(x) \cdot e^{-xs} dx [/math]

, dove

[math]s= \sigma +it [/math]

, converge per

[math]\sigma > 1 [/math]

alla funzione f(s).
Sia f(s) l'analitico per

[math] \sigma \geq 1[/math]

, tranne che per un polo semplice in

[math] s=1 [/math]

con resto 1. In quel caso il limite per x che tende ad infinito di

[math] e^{-x} \cdot A(x)[/math]

risulta uguale ad 1.
Apparentemente Arensdorf usa questo stesso teorema sostituendo x con il suo u, mentre il resto ed il limite risulta uguale a

[math] B_2[/math]

anzichè' ad 1.
In questo contesto, Harold Mortimer Edwards, un matematico americano, dà un’altra interessante descrizione del teorema tauberiano nel suo libro "Riemann's Zeta Function".

Secondo un intervento di Robert Silverman, che ha ufficiosamente dato un'occhiata alla dimostrazione attraverso un forum, la prova sembrerebbe corretta. Controllando la correttezza dei passaggi che da

[math] \frac{T(s) - B_2}{s-1)} [/math]

portano a continuare verso s = 1, il teorema segue subito dal teorema tauberiano.
Ciò che sorprende è che l'intera prova-dimostrazione (se si assume per scontato il teorema tauberiano) potrebbe essere svolta anche da uno studente di “Teoria dei Numeri” del primo anno. La prova, infatti, somiglia molto da vicino alla prova del teorema dei numeri primi ed il teorema di Dirichlet's Thm.
Dopo aver attirato la vostra attenzione su questo affascinante ed insidioso mondo della matematica relativo alla trattazione dei numeri primi, per i più curiosi nel prossimo paragrafo sono stati riportati dei links di approfondimento.