La pseudosfera di Beltrami

La pseudosfera di Beltrami

 

 

 

 

Verso la fine degli anni sessanta del XIX secolo, il dibattito sulle geometrie non euclidee è particolarmente acceso.

Lobacevskj nel 1829 e Bolyai nel 1832 avevano scritto dei saggi in cui dimostravano la possibilità di geometrie differenti da quella di Euclide, in particolare geometrie nelle quali il famoso quinto postulato sulle parallele era diverso da quello euclideo: per un punto esterno a una retta passa più di una parallela alla retta data.

Le ricerche di questi matematici erano rimaste pressoché ignorate fino a che con la morte di Gauss (1855) e la pubblicazione del suo epistolario si viene a sapere che anche il sommo Gauss aveva avuto la stessa idea. L’interesse per questo problema fa emergere una memoria che Riemann , allievo di Gauss, aveva scritto nel 1854 ed era rimasta inedita: Sulle ipotesi che stanno a fondamento della geometria.

La memoria pubblicata nel 1867 forniva un nuovo modo di intendere la geometria. Da un lato presentava la geometria come un caso particolare di un nuovo concetto matematico, la varietà pluridimensionale ; dall’altro presentava un secondo caso di geometria non euclidea, la geometria ellittica, nella quale non esistono rette parallele.

Incoraggiato dalle pubblicazioni di personaggi così celebri, il giovane matematico italiano Eugenio Beltrami si decide a dare alle stampe un suo manoscritto redatto qualche anno prima e messo da parte per paura delle aspre critiche che coinvolgevano chi si occupava di geometrie ‘astrali’ o ‘da manicomio’. Il suo Saggio di interpretazione della geometria non euclidea segna un punto di svolta nella ricerca geometrica su questo millenario problema.

Beltrami aveva trovato un ‘substrato reale’ per la geometria di Lobacevskj, ossia aveva trovato all’interno della geometria euclidea, una superficie di rotazione, la pseudosfera , che poteva essere interpretata come un modello euclideo di geometria non euclidea. In questo modo dimostrava che la geometria di Lobacevskj ha lo stesso diritto logico-matematico della classica geometria di Euclide. Alla superficie aveva dato il nome di pseudosfera perché ha curvatura costante come una sfera ma di segno negativo.

Per capire come avviene questa ‘traduzione’ occorre introdurre la nozione di geodetica . Nel piano il percorso più breve che unisce due punti si trova sulla retta passante per i due punti. Estendendo questo concetto alle superfici, il percorso più breve che unisce due punti della superficie si trova su di una linea, generalmente curva, detta geodetica. Per esempio, dovendosi muovere sulla superficie di una sfera, il percorso più breve non è quello rettilineo, perché non esistono percorsi di questo tipo, ma è l’arco di cerchio massimo, che in questo caso è una geodetica.

La ‘traduzione’ si ottiene interpretando la superficie pseudosferica come piano di Lobacevski, le rette di questo piano sono le geodetiche della superficie.

Tuttavia, alcuni matematici hanno perplessità circa la validità del ragionamento di Beltrami. Il punto più debole dell’argomentazione sta nel fatto che il modello ha valore locale e non può rappresentare globalmente la geometria non euclidea. Infatti, tra le infinite forme che una superficie pseudosferica può assumere si conosce l’espressione analitica solo di qualche caso particolare. Beltrami l’aveva ottenuta dalla rotazione di una curva  studiata da F. Minding, la trattrice . Questa curva ha il difetto di avere un punto cuspidale, che ruotando dà origine a un cerchio di punti singolari della superficie: la superficie ottenuta dalla rotazione della trattrice quindi non è regolare e non può rappresentare interamente il piano non euclideo.

Il problema è allora se tra tutte le superfici, delle quali non si conosce l’espressione analitica, ne esiste almeno una che sia regolare. Beltrami ne è convinto ma non riesce a provarlo.

"Ho avuto un’idea bizzarra", scrive Beltrami a un suo amico matematico francese, Hoüel, "ho voluto tentare di costruire materialmente la superficie pseudosferica sulla quale si realizzano i teoremi della geometria non euclidea". Il modello materiale costruito in cartone aveva il diametro di 1,04 m; oggi è custodito presso il dipartimento di matematica dell’Università di Pavia.

Soltanto nel 1901 Hilbert dimostra rigorosamente che il modello descritto da Beltrami  ha un valore esclusivamente locale e non può essere accettato come prova matematica. Nel frattempo però altre dimostrazioni erano state già ottenute.

Il modello di Beltrami, pur non essendo un modello rigoroso, ha avuto un grande ruolo storico perché ha fornito la chiave per interpretare le nuove geometrie non euclidee.

 

 

Beltrami E., Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea, in "Giornale di matematiche", (6) 1868, pp. 284-312.

Beltrami E., Sulla superficie di rotazione che serve di tipo alle superficie pseudosferiche, in "Giornale di matematiche", (10) 1872, pp. 147-159.

Beltrami E. Opere matematiche , Hoepli, Milano, 1902.

Bonola R., Il modello di Beltrami di superficie a curvatura costante negativa, in "Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche, 1906, pp. 33-38.

Capelo A.C., Ferrari M., La cuffia di Beltrami: storia e descrizione, in "Bollettino di storia delle scienze matematiche", 1982, pp. 233-247.

 

 Nella rete

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Beltrami.html  http://www.britannica.com/bcom/eb/article/2/0,5716,15522+1,00.html

http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Beltrami.html

http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/DisqueBeltrami.html

http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/tractrice.html

 

 

L’immagine è presa da The MacTutor History of Mathematics archive

  

traduzione

superficie pseudosferica  —> regione di piano non euclideo

punto della superficie —> punto del piano

geodetica arco di geodetica —> retta del piano, segmento del piano

due punti determinano una geodetica —> due punti determinano una retta del piano

per un punto esterno a una geodetica passano infinite geodetiche che non si incontrano con quella data —>

per un punto esterno a una retta passano infinite rette parallele alla retta data

 

Un disegno nel piano del modello di Beltrami. La regione C colorata è il modello. Per il punto P esterno alla retta r passano almeno due rette, t e t’, che non incontrano la retta r.

 

 

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