Formulario di matematica per l'esame di maturità

2

0.1 Prefazione

Perché avete usurpato il ruolo degli dèi che in altri tempi guidarono

la condotta degli uomini, senza arrecare conforti soprannaturali, ma

soltanto la terapia delle grida più irrazionali: il centravanti verrà

ucciso all'imbrunire.

Perché il vostro centravanti è lo strumento che adoperate per sen-

tirvi dèi che gestiscono vittorie e scontte dalla comoda poltrona di

cesari minori: il centravanti verrà ucciso all'imbrunire.

Perché l'imbrunire è la tarda ora in cui scendono i bioritmi dell'en-

tusiasmo, e lo sgozzamento e il rantolo suonano come una musica

non meno truce che malinconica: il centravanti verrà ucciso all'im-

brunire. Il Centravanti è stato assassinato verso sera

M.V. Montalban,

c

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Ogni commento, suggerimento o correzzione è ben accetto. daniele.marconi@email.it

Grazie a chi mi ha aiutato nella correzione: Daniele Marconi ( ),

leonardoferro@gmail.com

Leonardo Ferro ( ).

Parte I

Formulario

3

Capitolo 1

Logica e Insiemistica

1.1 Logica

1.1.1 Denizioni

Denizione 1 (Proposizione, Enunciato) Si dice (o

proposizione enuncia-

) un'espressione del linguaggio naturale per cui sia possibile attribuire un valo-

to

re di verità (vero=T=1= ; falso=F=0= ). Una proposizone si dice complessa

> ⊥

se é composta da proposizioni collegate tra loro da .

semplici connettivi logici

Denizione 2 (Predicato) Si dice una frase contenente variabili

predicato

che diventi una proposizione qualora si specichi il valore delle variabili stesse.

1.1.2 Connettivi Logici

non (oppure: ); unario; complementare; ha valore vero sse

• ¬ ¬p ≡ p̄ ¬p p

ha valore falso;

e ; binario; intersezione; ha valore vero sse e hanno entrambi

• ∧ p ∧ q p q

valore vero;

o ; binario; unione; ha valore vero se almeno uno tra e ha valore

• ∨ p ∨ q p q

vero;

se ... allora, implica, condizione suciente anchè q..., condi-

• zione necessaria anchè p... ; binario; ha valore vero se

=⇒ p =⇒ q p

ha valore falso o se sia che hanno valore vero;

p q

se e solo se (sse, i), coimplica, condizione necessaria e sucien-

• te (cnes) ; binario; ha valore vero se ha lo stesso valore di

⇐⇒ p ⇐⇒ q p

verità di .

q 5

6 CAPITOLO 1. LOGICA E INSIEMISTICA

1.1.3 Tabelle di Verità

p q ¬p p ∧ q p ∨ q p =⇒ q p ⇐⇒ q

1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 1

Tabella 1.1: Tavole di Verità

1.1.4 Leggi logiche notevoli

?? ??

Tabella a pag.

*

1.2 Insiemistica

Denizione 3 (Insieme) .

A = {x , x , . . . , x } = {x|P(x)}

1 2 n

Denizione 4 (Intersezione) A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}

Denizione 5 (Unione) A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}

Denizione 6 (Dierenza) A \ B = {x|x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)}

Denizione 7 (Dierenza simmetrica) A∆B = A \ B ∪ B \ A

Denizione 8 (Complementare) Detto l'insieme universo, c

U A =

cA = Ā = {x|x ∈ U \ A} = {x|¬(x ∈ A)}

Denizione 9 (Insieme (potenza) delle parti) A

P(A) = 2 = {E|E ⊆

A} A

P(A) = 2

Denizione 10 (Coppie ordinate) (x, y) = hx, yi = {{x}, {x, y}}

Denizione 11 (Prodotto cartesiano) A×B = {(x, y)|x ∈ A∧y ∈ B}

A × A × · · · × A = {(x , x , · · · , x )|x ∈ A ∀i = {1, 2, · · · , n}}

1 2 n 1 2 n i i

Proposizione 1 (Leggi di de Morgan) c c c

(E ∪ F ) = E ∩ F

c c c

(E ∩ F ) = E ∪ F

1.2. INSIEMISTICA 7

legge dell'identità

A ⇒ A legge della doppia negazione

A ⇔ ¬¬A commutatività di

A ∧ B ⇔ B ∧ A ∧

associatività di

(A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) ∧

commutatività di

A ∨ B ⇔ B ∨ A ∨

associatività di

(A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) ∨

idempotenza di

A ∧ A ⇔ A ∧

idempotenza di

A ∨ A ⇔ A ∨

eliminazione di

A ∧ B ⇔ A ∧

introduzione di

A ⇔ A ∨ B ∨

distributività

A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) distributività

A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) legge di assorbimento

A ∧ (A ∨ B) ⇔ A legge di assorbimento

A ∨ (A ∧ B) ⇔ A legge di de Morgan

¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B legge di de Morgan

¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B legge del terzo escluso

¬A ∨ A ⇔ > legge di non contraddizione

¬(A ∧ ¬A) ⇔ > denizione di implicazione

(A ⇒ B) ⇔ (B ⇒ ¬A) legge di contrapposizione (contronominale)

(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) Lewis (ex falso quodlibet)

A ∧ ¬A aermazione del conseguente

A ⇒ (B ⇒ A) negazione dell'antecedente

¬A ⇒ (A ⇒ B) legge di riduzione all'assurdo

((A ⇒ B) ∧ ¬B) ⇒ ¬A riduzione all'assurdo debole

(A ⇒ ¬A) ⇒ ¬A consequentia mirabilis

(¬A ⇒ A) ⇒ A legge di Peirce

((A ⇒ B) ⇒ A) ⇒ A legge di Dummett

((A ⇒ B) ∨ (B ⇒ A)) ⇒ > modus ponens

A ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ B) scambio antecedenti

(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇔ (B ⇒ (A ⇒ C)) distinzione di casi

((A ⇒ C) ∧ (B ⇒ C)) ⇔ (A ∨ B ⇒ C) distinzione di casi

((A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ B)) ⇒ B distributività di

(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C)) ⇒

transitività di

((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) ⇒

importazione/esportazione delle premesse

(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇔ ((A ∧ B) ⇒ C)

Tabella 1.2: Leggi Logiche Notevoli

8 CAPITOLO 1. LOGICA E INSIEMISTICA

Capitolo 2

Algebra Elementare

2.1 Denizione di R

La struttura è un anello. Si denisce una relazione d'ordine totale

[R, +, ·]

. I primi 4 assiomi deniscono come gruppo, come gruppo,

≤ [R, +] [R\{0}]

inoltre vale l'assioma di continuità in una delle sue 4 forme.

R è quindi denito assiomaticamente da:

S1 la somma è associativa;

S2 la somma è commutativa;

S3 esiste l'elemento neutro della somma (zero, );

0

S4 ogni elemento ( ) di ha inverso (opposto, );

x R −x

P1 il prodotto è associativo;

P2 il prodotto è commutativo;

P3 esiste l'elemento neutro del prodotto (uno, );

1

P4 1

ogni elemento ( ) di ha elemento inverso (reciproco,

x R \ 0 = 1/x =

x

−1 );

x

SP il prodotto è distributivo rispetto alla somma;

OS x+z ;

x ≤ y⇒ ≤ y + z∀z ∈ R

OP x ;

x ≤ y⇒ ż ≤ y ż∀z ∈ R, z ≥ 0

9

10 CAPITOLO 2. ALGEBRA ELEMENTARE

Dedekind siano e due insiemi separati, cioè tali che

A B ∀a ∈ A, ∀b ∈

; allora .

B, a ≤ b ∃c ∈ R : a ≤ b ≤ c

Denizione 12 (Retta reale estesa) Si denisce l'insieme R̄ = R ∪

detto .

estensione dell'insieme dei reali

{±∞}

2.2 Scomposizioni Notevoli

2.2.1 Potenza di un polinomio

µ ¶

n

X n

n n−k k

(a ± b) = a b

k

k=0

2 2 2

Casi particolari: ;

(a ± b) = a ± 2ab + b

3 3 2 2 3 ;

(a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b

2 2 2 2 .

(a ± b ± c) = a ± 2ab + b ± 2bc + c ± 2ca

2.2.2 Fattorizzazione n n

Y X i

P(x) = a · (x − x ) = a · x

n i i

i=0 i=0

P(x) = a(x − x ) · (x − x ) · · · · · (x − x )

1 2 n

n n n−1 n.2 n−2 n−1

∀n ∈ N : x − y = (x − y) · (x + x y + · · · + xy + y )

n n n−1 n−2 n−2 n−1

∀n = 2k + 1, k ∈ Z : x + y = (x + y) · (x − x y + · · · − xy + y )

2 2

Casi particolari: ;

a − b = (a − b)(a + b)

3 3 2 2 .

a ± b = (a ± b)(a ∓ ab + b )

2.2.3 Risoluzione di equazioni di secondo grado in una

incognita √ 2

b −4ac

−b±

2 ;

:

P(x) = ax + bx + c x =

1,2 √

2a 2

−β± β −ac b

con

x = β :=

1,2 a 2

2.3 Radicali doppi

q

q

p √ √ √

2 2

A+ A −B A− A −B

±

A± B = 2 2

2.4. DISEQUAZIONI IRRAZIONALI 11

2.4 Disequazioni irrazionali

p

f (x) ≥ g(x) ½ ½

g(x) ≥ 0 g(x) < 0

∪

2

f (x) ≥ g (x) f (x) ≥ 0

p

f (x) < g(x)  f (x) ≥ 0

 g(x) > 0

 2

f (x) < g (x)

2.5 Potenze

2.5.1 Denizione

Denizione 13 (Logaritmo) , si denisce la radice -

∀y ≥ 0, ∀n ∈ N n

esima di come:

y

√

n 1/n n n

y = y = sup{x ∈ R : x < y} = inf {x ∈ R : x > y}

2.5.2 Proprietà

0

a = 1

1

a = a

m+n m n

a = a · a

m

a

m−n

a = n

a

m n m·n

(a ) = a

m m·log a

a = e √

1 n

a = a

n 1

−m

a = m

a

2.6 Logaritmi

2.6.1 Denizione

Denizione 14 (Logaritmo) a

a = log c ⇔ b = c

b

2.6.2 Proprietà

log 1 = 0

a

log a = 1

a

log (m · n) = log m + log n

a a a

m = log m − log n

log a a

a n α con

log m = α · log m α ∈ R

a a

log b

log b = c

a log a

c

1

log b =

a log a

b

12 CAPITOLO 2. ALGEBRA ELEMENTARE

2.7 Modulo o Valore Assoluto

2.7.1 Denizione

Denizione 15 (Modulo, Valore Assoluto) Si denisce p

modulo va-

la funzione:

lore assoluto

+

f : R → R = [0, +∞] √

0 .

mod max 2

f (x) = |x| = (x) = {x, −x} = x

2.7.2 Proprietà

M1 ∀a ∈ R, |a| ≥ 0

M2 |a| = 0 ⇔ a = 0

M3, omogeneità ∀ ∈ R, ∀a ∈ R, |λ · a| = |λ| · |a|

M4, disuguaglianza triangolare ∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a| + |b|

M4

La in generale assume la forma:

n n

X X

| a | ≤ |a |

i i

i=1 i=1

2.8 Altre funzioni

2.8.1 Fattoriale, Semifattoriale Q

n

Denizione 16 (Fattoriale) i = 1 · 2 ·····

∀n ∈ N, n! = f att(n) = i=1

.

(n − 1) · n

É denito ricorsivamente da:

½ 0!=1

n!=n

·(n − 1)! Q k

Denizione 17 (Semifattoriale) ;

∀k ∈ N, (2k + 1)!! = (2i + 1)

½ i=0

1 se k=0

(2k)!!= Q

k se k>0

i=1 (-1)!!=1

Sidef inisceinoltre .

2.8.2 Segno

Denizione 18 (Segno) signum sign sgn

∀x ∈ R \ {0}, (x) = (x) = (x) =

½ 1 se x > 0

|x|

x = = -1 se x < 0

|x| x

2.8. ALTRE FUNZIONI 13

2.8.3 Parte intera, parte decimale

def

Denizione 19 (Parte Intera) x = max{k ∈ Z : k ≤ x}

def

Denizione 20 (Parte Decimale) {x} = x − x

2.8.4 Parte positiva, Parte negativa

Denizione 21 (Parte positiva, )

+ + max

f f = {f, 0}

Denizione 22 (Parte negativa, )

− − min

f f = {f, 0}

Osservazione 1 + −

|f | = f − f

+ −

f = f + f

Osservazione 2 a, b ∈ R : a < b,

+ +

b − a ≤ b − a;

− −

b − a ≤ b − a

2.8.5 Funzione di Dirichlet ½ 1 se x ∈ Q

Denizione 23 (Funzione di Dirichlet) f (x) = 0 se x R Q

∈ \

2.8.6 Funzioni iperboliche

Denizione 24 (Seno iperbolico) : R → R

x −x

e −e

sh

sinh x = x = 2

Denizione 25 (Coseno iperbolico) cosh : R → [1, +∞)

x −x

e +e

ch

cosh x = x = 2

Osservazione 3 2 2 .

sinh x − cosh x = 1

Denizione 26 (Tangente iperbolica) tanh : R → R

sinh x

th

tanh x = x = cosh x

Denizione 27 (Cotangente iperbolica) coth : R \ {0} → R

cosh x

cth

coth x = x = sinh x

Denizione 28 (Arcoseno iperbolico, Settore Seno iperbolico) ash :

R → R p

sett sinh ash 2

y = y = log(y + y + 1)

Denizione 29 (Arcocoseno iperbolico, Settore Coseno iperbolico)

ach : R → R p

sett cosh ach 2

y − 1)

y = y = log(y +

Denizione 30 (Arcotangente iperbolica, Settore Tangente iperbolica)

ath : R → R 1+x

1

sett tanh ath · log

x = y = 2 1−x

14 CAPITOLO 2. ALGEBRA ELEMENTARE

2.8.7 Funzione Esponenziale, exp

x

e = (x)

Teorema 1 (Esistenza ed Unicità della funzione esponenziale) ∃!

la funzione che verichi le proprietà:

f : R → R

1. ;

∀x , x ∈ R, f (x + x ) = f (x ) · f (x )

1 2 1 2 1 2

2. (dove è il );

numero di Nepero

f (1) = e e

ed è la denita da .

x

funzione esponenziale exp

∀x ∈ R f (x) = e = (x)

Denizione 31 Si denisce .

x x log a

f (x) = a = e

2.9 Serie

2.9.1 Serie Aritmetiche

a = a + (n − 1)d

n 1

n

X n(a + a ) n(2a + (n − 1)d)

1 n 1

S = a = =

n i 2 2

i=1

2.9.2 Serie Geometriche n−1

a = a · q

n 1

n

X n

1 − q con q

S = a = a · 6 = 1

n i 1 1 − q

i=1 n

X

Se si ha

q = 1 S = a = n · a

n i 1

i=1

n

X n−k+1

1 − q

k con q 6 = 1

S = a = q ·

k,n i 1 − q

i=k

2.9.3 Disuguaglianze Notevoli

π

π , ], | sin x| ≤ |x|

∀x ∈ [− 2 2

disuguaglianza di Bernoulli

n ( )

∀n ∈ N, ∀a ≥ −1, (1+a) ≥ 1+a·n

x

∀x ∈ R, e ≥ x + 1

∀x > −1, log(x + 1) ≤ x

disuguaglianza

1 1 1 1

p q (

∀a, b > 0, p, q > 1 : + = 1, a · b ≤ · a + · b

p q p q

di Young

)

2.9. SERIE 15

2.9.4 Sommatorie Classiche

n

X n(n + 1)

i = 2

i=1

n

X n(n + 1)(2n + 1)

2

i = 6

i=1

n

X n(n + 1)

3 2

i = ( )

2

i=1 µ ¶

n

X n n n

= (1 + 1) = 2

i

i=0 µ ¶

n

X n

i

(−1) =0

i

i=0 16 CAPITOLO 2. ALGEBRA ELEMENTARE

Capitolo 3

Geometria

3.1 Goniometria

3.1.1 Relazione Fondamentale

2 2

sin x + cos x = 1

3.1.2 Tangente e Cotangente: Denizioni

Denizione 32 (Tangente) sin x π

tan x = ∀x 6 = + kπ

cos x 2

Denizione 33 (Cotangente 1) cos x

cot x = ∀x 6 = kπ

sin x

Denizione 34 (Cotangente 2) 1 π

cot x = ∀x 6 = k

tan x 2

3.1.3 Secante e Cosecante: Denizioni

Denizione 35 (Secante) 1

sec α = cos α

pi

sec : R \ { + kπ, k ∈ Z} → R

2

Denizione 36 (Cosecante) 1