Formulario completo per la maturità

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b



Asintoti: y = x

a

Asse focale:  l’asse focale è , l’asse minore

se è

A A B B

a b 1 2 1 2

 l’asse focale è

se l'asse minore è

B B A A

a b 1 2 1 2

se la lunghezza dell'asse focale è

a > b 2 a



se la lunghezza dell'asse focale è

a b 2

b

Fuochi 

2 2

Posto , le coordinate dei fuochi sono

c = | a b | 



se F = (

c

,0) F = ( c

,0)

a b 1 2 



se F = (0, c ) F = (0, c )

a b 1 2

Eccentricità 2 2

x y

 

2 2

Data un'ellisse di equazione , e posto c = | a b |

2 2

a b

c



se l'eccentricità vale ,

e =

a b a

c



se l'eccentricità vale e =

a b b

  



Se , con , risulta . Se , ossia per la circonferenza, risulta .

a b 0 e 1 a = b e = 0

a

, b 0

Iperbole

L'iperbole è il luogo dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti

fuochi. 2 2

x y 

 

x

Iperbole con i fuochi sull'asse e simmetrici rispetto all'origine con .

= 1 a, b R

2 2

a b

2 2

x y

 

Iperbole con i fuochi sull'asse e simmetrici rispetto all'origine = 1

y 2 2

a b

 sin (

t )

x = a

  

   

x = a cosh (

t ) cos (

t ) 3

 

 

   

Equazione parametrica o

, t [0,2 ) , t [0,2 ) \ ,

 

 y = b sinh (

t ) b 2 2

 y =



 cos (

t )

Vertici:

2 2

x y 



se i vertici sono

= 1 A = ( a

,0) A = ( a

,0)

1 2

2 2

a b

2 2

x y 

 

se i vertici sono

= 1 B = (0, b

) B = (0, b

)

1 2

2 2

a b b



Asintoti: y = x

a



2 2 2

Fuochi: posto c = a b 

se appartenenti all’asse x F = (

c

,0) F = ( c

,0)

hanno coordinate 1 2 

se appartenenti all’asse F = (0, c ) F = (0, c )

hanno coordinate

y 1 2

Eccentricità c

x e =

Se i fuochi appartengono all'asse l'eccentricità vale a

c

e =

Se i fuochi appartengono all'asse l'eccentricità vale .

y b

 Iperbole equilatera 5

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

2 2 2

Se e i fuochi appartengono all'asse l'iperbole equilatera è

x x y = a

a = b  

2 2 2

Se e i fuochi appartengono all'asse l'iperbole equilatera è x y = a

a = b y  , l’'eccentricità

Gli asintoti di un'iperbole equilatera sono e è .

e = 2

y = x y = x

 Iperbole equilatera riferita agli assi

 l’equazione

Un'iperbole equilatera ruotata di ha per asintoti gli assi cartesiani, è

45 xy = k

 Funzione omografica

Una funzione omografica è un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani, ma non

necessariamente coincidenti con gli assi stessi. 

ax b





Dati , con , l'equazione di una funzione omografica è y =

c 0

a

, b

, c

, d R 

cx d d





Se l'equazione è una retta parallela all'asse privata del punto di ascissa

x

ad bc = 0 c

 

d a

  

 

Se l'equazione rappresenta un'iperbole equilatera con centro di simmetria e asintoti

ad bc 0 ,

 

c c

d a

 e .

x = y =

c c

Altri luoghi e proprietà  

 

x x y y

 1 2 1 2

 

Punto medio di un segmento AB: se e il punto medio è .

A

( x , y ) B ( x , y ) M ,

1 1 2 2  

2 2

 Distanza fra due punti (lunghezza di un segmento)   

2 2

Se e la lunghezza di è

A = ( x , y ) B = ( x , y ) d = ( x x ) ( y y )

AB 1 2

1 1 2 2

 Asse di un segmento AB       

2 2 2 2

Se e l’asse è

A = ( x , y ) B = ( x , y ) 2( x x ) x 2( y y ) y ( x x ) ( y y ) = 0

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

 Bisettrice    

Due rette distinte e individuano nel piano quattro angoli, le cui bisettrici

a x b y c = 0 a x b y c = 0

1 1 1 2 2 2

       

a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c



1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

sono = =

   

2 2 2 2 2 2 2 2

a b a b a b a b

1 1 2 2 1 1 2 2

 Luogo dei punti a distanza assegnata da una retta

 

Il luogo dei punti a distanza dalla retta è dato dalle due rette di equazione

d ax by c = 0

       

2 2 2 2

ax by c d a b = 0 ax by c d a b = 0

 Baricentro di un triangolo C = ( x , y )

Dato un triangolo di vertici in , , ,

A = ( x , y ) B = ( x , y ) 3 3

1 1 2 2

   

 

x x x y y y

 

1 2 3 1 2 3

G = ,

le coordinate del baricentro sono  

3 3

 Area di un triangolo C = ( x , y )

A = ( x , y ) B = ( x , y )

Se i vertici del triangolo sono , , 3 3

1 1 2 2

 

x y 1

 

1 1

1 1     

 

la sua area vale Area = det x y 1 = x y x y x y x y x y x y

2 2 1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 2 1

2 2

 

 

x y 1

3 3 6

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Trasformazioni geometriche  

 X x a



Traslazioni nel piano 



Y = y b 

Rotazioni nel piano di centro O in senso antiorario di un angolo

   

 

 X = x cos y sin cos sin  

     

2 2

 con cos sin 1 0

   





Y = x sin y cos sin cos

  

Rototraslazioni nel piano di centro in senso antiorario di un angolo

C a , b

     

    

 X = x cos y sin a a cos b sin cos sin  

     

2 2

 con cos sin 1 0

     

   



Y = x sin y cos b a sin b cos sin cos

  

 X ax by m a b

    



Affinità con ad cb 0

 



Y = cx dy n c d

   

 X ax by m a b

    

2 2



Similitudine diretta con a b 0

 



Y = bx ay n b a

  

  

X ax by m a b

     

2 2



Similitudine indiretta con a b 0

  



Y = bx ay n b a

 

2 2

k a b

Il numero è detto rapporto di similitudine.

   

 X ax by m a b

    

2 2



Isometria diretta con a b 1

 



Y = bx ay n b a

  

  

X ax by m a b

      

2 2



Isometria indiretta con a b 1

  



Y = bx ay n b a



 X kx k 0

   

2



Omotetia di centro O e rapporto k con k 0



Y = ky 0 k



 X kx 



Dilatazione di centro O con h,k 0



Y = hy 

 X x

Simmetria rispetto all’asse delle ascisse   



Y y

 

 X x

Simmetria rispetto all’asse delle 

ordinate 



Y y



 X x

 

Simmetria rispetto alla retta è

y k   



Y y 2 k

  

 X x 2 h

 

Simmetria rispetto alla retta è

x h 



Y y 

 X y



Simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante 



Y x

 

 X y



Simmetria rispetto alla bisettrice del 2° e 4° quadrante  



Y x

 

 X x

Simmetria rispetto all’origine   



Y y

  

 X x 2 a

  

C a , b

Simmetria rispetto al punto è   



Y y 2

b 7

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3. GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA

 

  

2 2

Prima relazione fondamentale sin cos 1

   

     

2 2

Con sin 1 cos , cos 1 sin

 

sin

  

    

Seconda tan , k , k Z



cos 2 



cos 1

 

  

      

Terza oppure

cot , k , k Z cot , k , k Z





sin tan 2



1

  

    

Quarta sec , k , k Z



cos 2

1

  

   

Quinta cosec , k , k Z



sin

 Archi associati

           

        

    

cos = cos sin = sin tan = tan

           

  

     

    

cos = cos sin = sin tan = tan

 



     

     

   

 

    

     

cos = sin sin = cos tan = cot

     

2 2 2

  

     

     

     

  

     

cos = sin sin = cos tan = cot

     

2 2 2

 Formule di addizione e sottrazione

   

     

     

     

sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin

  



     

tan tan

        

      

tan , , , , k , k Z

 



1 tan tan 2

  

     

cot cot 1

        

     

cot , , , , k , k Z

 



cot cot

 Formule per la duplicazione

   

    

        

 2 2 2 2

cos 2 cos sin 1 2 sin 2 cos 1

sin 2 2 sin cos

   

  2 tan

   

     

tan 2 , k , k , k Z



 2 2 4 2

1 tan

 



2

  cot 1

 

  

cot 2 , k , k Z



2 cot 2

 Formule di triplicazione

           

  

  

 

3 3

sin 3 = 3 sin 4 cos 3 = 4 3 cos

sin cos

   

   

 3

  3 tan tan

    

tan 3 = , k , k Z

 



 2

1 3 6 3

tan

 Formule per la bisezione

   

 

1 cos 1 cos

   

sin cos

2 2 2 2

   

 

 

1 cos 1 cos

   

        

tan , 2 k 1 , k Z cot , 2 k , k Z

 

 

2 1 cos 2 1 cos

 Formule parametriche

 

 2

2 tan 1 tan

   

2 2

     

       

sin , 2 k 1 , k Z cos , 2 k 1 , k Z

 

 

2 2

1 tan 1 tan

2 2

8

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 

 2

2 tan 1 tan



2 2

     

      

tan , k , k Z tan , k , k Z

 

2

 2

1 tan 2 tan

2 2

 Formule di prostaferesi    

   

   

       

 

 

   

       

sin sin 2 sin cos sin sin 2 cos sin

       

2 2 2 2

   

   

   

       

 

 

    

       

cos cos 2 cos cos cos cos 2 sin sin

       

2 2 2 2

   

    

 

sin sin

         

        

tan tan , , k , k Z cot cot , , k , k Z

   

cos cos 2 sin sin

 Formule di Werner

   

       

1 1

     

     

       

sin cos sin sin cos cos s cos in cos

2 2

 

   

1

     

   

sin sin cos cos

2

 Formule di Briggs

 

a b c



Siano la lunghezza dei tre lati ed il semiperimetro di un triangolo. Si ha:

a , b

, c

, p 2

    

 

 

  

p b p c p p a

 

 

sin cos

2 bc 2 bc

 

    

 

 

  

p a p c p p b

 

 

sin cos

2 ac 2 ac

 

    

 

 

  

p a p b p p c

 

 

sin cos

 

2 ab 2 ab

 

    

 

 

  

p b p c p p a

 

 

tan cot

    

  

2 p p a 2 p b p c

 

 

    

 

  

 

p a p c p p b

 

 

tan cot

    

  

2 p p b 2 p a p c

 

 

    

 

  

p a p b p p c

 

 

tan cot

    

  

 

2 p p c 2 p a p b

 

 Conversione fra radianti e gradi  

180

  

 

 

 

misura in radianti, misura in gradi: =

= 



180

9

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 Archi notevoli        

 

  

 

(radianti) (gradi) sin cos tan cot

 non esiste

0 0 0

0 1

  

6 2 6 2  

 2 3 2 3

15

12 4 4

 

 5 2 5

5 1 1  

 10 2 5

18 5 2 5

10 4 5

4

  

2 2 2 2

  

 2 1 2 1

22 3

0 2

2

8

 3 3

1

 3

30 2 2 3

6

 

 5 2 5

5 1

1  

 10 2 5

36 5 2 5 5

4 4

5

 2 2



45 1 1

2 2

4

  

5 1 5 2 5

3 1  

 10 2 5

54 5 2 5

5

10 4

4

 3 3

1

 3

60 2

2 3

3

 

 2 2

2 2

3   

 2 1 2 1

67 3

0 2 2

8

 

 5 2 5

5 1

2 1  

 10 2 5

72 5 2 5

5 4 5

4

  

6 2 6 2

5  

 2 3 2 3

75

12 4 4

  non esiste

90 0 0

1

2 10

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Triangolo rettangolo

     

   