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Maturità scientifica 1966/1967 – Sessione estiva Soluzione di De Rosa Nicola
In un piano, riferito ad uni sistema cartesiano ortogonale Oxy, si considerino le parabole di
equazione: = + + −
2
y mx x 3 4 m
essendo m un parametro diverso da zero.
(a) Si determinino le coordinate del vertice della generica parabola di equazione (1), in
funzione del parametro m. Successivamente, eliminando m fra le due relazioni così trovate, si
studi la curva di equazione y = f(x) che così si ottiene (luogo dei vertici delle parabole) e in
particolare si trovino i punti A e B in cui la funzione f(x) ha rispettivamente un massimo e un
minimo relativo.
(b) Si verifichi che tutte le parabole considerate passano per i punti A e B e si dia una
giustificazione di ciò.
(c) Fra le parabole di equazione (1) si studino quelle aventi per vertice o A oppure B e si provi
che esse sono fra loro simmetriche rispetto al punto medio C del segmento AB.
(d) Si calcoli l’area della regione finita limitata dalle due parabole di cui al punto (c). 1
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Maturità scientifica 1966/1967 – Sessione estiva Soluzione di De Rosa Nicola
PROBLEMA
In un piano, riferito ad uni sistema cartesiano ortogonale Oxy, si considerino le parabole di
equazione: = + + −
2
y mx x 3 4 m
essendo m un parametro diverso da zero.
Punto (a)
Si determinino le coordinate del vertice della generica parabola di equazione (1), in funzione
del parametro m. Successivamente, eliminando m fra le due relazioni così trovate, si studi la
curva di equazione y = f(x) che così si ottiene (luogo dei vertici delle parabole) e in particolare
si trovino i punti A e B in cui la funzione f(x) ha rispettivamente un massimo e un minimo
relativo.
Le coordinate generiche del vertice della famiglia di parabole sono:
1
= −
V x 2 m − + −
2
⎞
⎛ 2
1 1 1 1 1 16 m 12 m 1
= − − + − = − + − = − + − =
⎜ ⎟
V m 3 4 m 3 4 m 3 4 m
y ⎝ ⎠
2 m 2 m 4 m 2 m 4 m 4 m
=
⎧
V x 1
= −
x
⎨ che sostituita nella seconda fornisce la funzione
Ponendo si ha dalla prima m
=
V y
⎩ 2 x
y 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 4 6
+ − −
− − ⎟
⎜ ⎟ ⎜ − − −
16 12 1 1 + +
⎠ ⎝ ⎠
⎝ 2 6 4
x x
2 2
x x 2 x
x
= =
=
y .
⎞
⎛ 2
1 2 x
−
− ⎟
⎜
4 ⎠
⎝ x
2 x + +
2
x 6 x 4
=
y
Studiamo allora la funzione 2 x
( ) ( )
∈ − ∞ +∞
∪
Dominio: ;
x , 0 0
,
Intersezioni asse delle ascisse: non ce ne sono;
= ⇒ + + = ⇒ = − ±
2
Intersezioni asse ordinate: y 0 x 6 x 4 0 x 3 5 ;
+ +
2
x 6 x 4
= >
Positività: y 0 la studiamo imponendo numeratore e denominatore
2 x
entrambi maggiori di zero e poi discutendo il segno: per il numeratore
+ + > ⇒ < − − ∨ > − + >
2
x 6 x 4 0 x 3 5 x 3 5 mentre il denominatore è positivo se .
x 0
Mettendo assieme i risultati si ricava che la funzione è positiva negli intervalli
( ) ( )
− − − + +∞
∪
3 5 , 3 5 0
, ; =
l’unico asintoto verticale è , infatti
Asintoti verticali: x 0
+ + + +
2 2
6 4 6 4
x x x x
= +∞ = −∞ ;
lim , lim
+ −
→ →
2 2
x x
0 0
x x 2
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+ + + +
2 2
6 4 6 4
x x x x
= +∞ = −∞
non ce ne sono, infatti ;
lim , lim
Asintoti orizzontali: → +∞ → −∞
2 2
x x
x x = +
hanno equazione con
Asintoti obliqui: y mx q
+ +
2
x x
6 4 + +
2
x x
6 4 1
x
2
= = = e
m lim lim 2
→ + ± +∞ → + ± +∞
x 2
2 x
x x
⎡ ⎤ +
+ +
2
x x x
6 4 1 6 4
= =
= −
⎢ ⎥ per cui l’asintoto obliquo è doppio e pari a
q x
lim lim 3
→ + ± +∞ → + ± +∞
⎣ ⎦
x x
2 2 2
x x
x
= + 3 ;
y 2
la derivata prima è
Crescenza e decrescenza:
( )
( ) −
+ − + + − −
2 2 2 2
2 6 2 2 6 4 2 8 4 4
x x x x x x x
= > ⇒ < − ∨ >
= = = 0 2 2
. Ora
' '
y y x x
2 2 2 2
4 4 2 2
x x x x
( ) ( )
− ∞ − +∞
∪
per cui la funzione è strettamente crescente in ;
, 2 2
,
4
=
' '
la derivata seconda è per cui non esistono flessi; inoltre
Flessi: y 3
x
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
= − = − = − =
y ' ' 2 , y ' ' 2 per cui i punti sono rispettivamente di
A B
2
,
1 , 2
,
5
2 2
massimo e minimo relativo.
Il grafico è sotto presentato: 3
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