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Sessione ordinaria 1969/1970 Soluzione di De Rosa Nicola
PROBLEMA 1
Verificare che le due curve piane, grafici cartesiani delle funzioni:
= + + +
3 2
y x 3 x 3 x 1
= − − +
3 2
y x 3 x 3 x 1
hanno due punti in comune. + + + = − − +
3 2 3 2
x 3 x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 da cui
I punti in comune si calcolano risolvendo l’equazione
( ) ( ) ( )
+ = ⇒ = = − ;
6 x x 1 0 A 0
;
1 , B 1
;
0
Indicare l’andamento dei predetti grafici cercandone in particolare gli eventuali punti di
massimo o minimo relativi. ( )
= + + + = + 3
3 2
Studiamo la curva y x 3 x 3 x 1 x 1
R;
Dominio: ( )
= + = ⇔ = −
3
1 0 1 ;
Intersezioni asse ascisse: y x x
= ⇒ =
0 1 ;
Intersezioni asse ordinate: x y
[ [
( )
= + ≥ ⇒ ∈ − +∞
3
y x 1 0 x 1
; ;
Positività:
Asintoti: non esistono asintoti, né verticali, né orizzontali né obliqui;
( )
= + ≥ ∀ ∈
2
Crescenza e decrescenza: y ' 3 x 1 0 x R per cui la funzione è strettamente
crescente su tutto il dominio R;
( )
= + = ⇒ = − = −
Flessi: ; inoltre in si annulla anche la derivata prima,
y ' ' 6 x 1 0 x 1 x 1
= = −
y ' ' ' 6 , per cui in c’è un flesso a tangente orizzontale.
mentre la derivata terza x 1
Il grafico è sotto presentato: 2
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= − − +
3 2
y x x x
Studiamo la curva 3 3 1
Dominio: R;
Intersezioni asse ascisse:
( )
( )
= − − + = + − + = ⇔ = − = ±
3 2 2
y x 3 x 3 x 1 x 1 x 4 x 1 0 x 1
, x 2 3 ;
= ⇒ =
Intersezioni asse ordinate: x 0 y 1 ; [ ] [ [
( )
( )
= + − + ≥ ⇒ ∈ − − ∪ + +∞
2
Positività: y x 1 x 4 x 1 0 x 1
; 2 3 2 3 ; ;
Asintoti: non esistono asintoti, né verticali, né orizzontali né obliqui;
= − − ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ +
2
Crescenza e decrescenza: y ' 3 x 6 x 3 0 x 1
- 2 x 1 2 ;
( )
= − = ⇒ = =
Flessi: per cui in c’è un flesso a tangente obliqua di
y ' ' 6 x 1 0 x 1 x 1
= − +
y 6 x 2
equazione .
Il grafico è sotto presentato:
Determinare l,’area della regione piana limitata dai due archi dei grafici aventi per estremi i
due punti comuni.
Il grafico sottostante mostra la sovrapposizione dei due grafici delle due curve: 3
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L’area da calcolare è rappresentata in grigio nel grafico soprastante:
[ ]
( ) ( )
0
∫
= − − + − + + + =
3 2 3 2
Area x 3 x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 dx
−
1 [ ]
( )
0
∫ 0
= − − = − − =
2 3 2
6 x 6 x dx 2 x 3 x 1
−
1
−
1
Considerate poi le tangenti ai due grafici nei punti comuni, calcolare l’area del quadrilatero
convesso da esse determinato. ( )
( ) = +
= +
= 3 y mx 1
La tangente nel punto alla curva y x 1 ha equazione con
A 0
;
1
[ ]
( )
= = + = = +
2
m y ' 3 x 1 3 per cui l’equazione della tangente è y 3 x 1 .
=
x 0 ( ) = − − + = +
= 3 2
alla curva y x 3 x 3 x 1 ha equazione y mx 1 con
La tangente nel punto A 0
;
1
[ ]
= = − − = − = − +
2
m y ' 3 x 6 x 3 3 per cui l’equazione della tangente è y 3 x 1 .
=
x 0 ( )
( ) ( )
= +
= − = +
3
La tangente nel punto alla curva y x 1 ha equazione con
B 1
;
0 y m x 1
[ ]
( )
= = + = =
2
m y ' 3 x 1 0 per cui l’equazione della tangente è y 0 .
= −
x 1 ( ) ( )
= − − +
= − = +
3 2
alla curva y x 3 x 3 x 1 ha equazione con
La tangente nel punto B 1
;
0 y m x 1
[ ] ( )
= = − − = = +
2
m y ' 3 x 6 x 3 6 per cui l’equazione della tangente è .
y 6 x 1
= −
x 1 4
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L’area è rappresentata in grigio nella figura sottostante:
L’area del quadrilatero è la somma delle aree dei triangoli ABC e BDA. ( )
= − + = +
y 3 x 1 e per cui
Il punto C è dato dall’intersezione delle due tangenti y 6 x 1
⎛ ⎞
5 8
= −
⎜ ⎟
C .
;
⎝ ⎠
9 3 ⎛ ⎞
1
= = + = −
⎜ ⎟
Il punto D è dato dall’intersezione delle due tangenti 0 D .
y e y 3 x 1 per cui ;
0
⎝ ⎠
3
− − =
y x 1 0
Il segmento AB misura e la retta AB ha equazione , per cui l’altezza del triangolo
2
8 5
+ − 1 10
10 2
3 9
= = =
h . L’area del triangolo ABC è S .
ABC condotta da C è ABC 9
9
2 1 − 1 2
3
= =
L’altezza del triangolo BDA condotta da D è h . L’area del triangolo BDA è
3
2
1 10 1 13
= = + =
S . L’area del quadrilatero è allora S .
BDA ADBC
3 9 3 9 5
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PROBLEMA 2 = + + + +
4 3 2
y ax bx cx dx e
Si trovino i coefficienti della funzione: sapendo che:
(1) essa si annulla per x = 0;
(2) la sua derivata prima si annulla per x = 0, x = 1, x = 2;
(3) il suo grafico, in un riferimento cartesiano ortogonale O(x; y), ha, nel punto di ascissa
x = -1, la tangente parallela alla retta di equazione y = -x. = + + +
= 3 2
e 0
La condizione (1) comporta ; la sua derivata prima è y ' 4 ax 3
bx 2
cx d .
=
d 0 ; l’annullamento in x=1 comporta
L’annullamento della derivata prima in x=0 comporta
+ + + = + + + =
; l’annullamento in x=2 comporta . La condizione di
4 a 3
b 2 c d 0 32 a 12
b 4 c d 0
− + − + = − .
tangenza del grafico in x=-1 alla retta di equazione y=-x comporta 4 a 3
b 2 c d 1
Le 5 condizioni sono allora: ⎧ 1
=
a
⎪ 24
⎪
⎪ 1
=
= ⎧
⎧ = −
e e
0 0 b
⎪
⎪
⎪ 6
=
= d
d 0 0 ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ 1
⇔
⇔ + + + = =
+ + + = ⎨ ⎨
⎨ a b c d a b c d
4 3 2 0 c
4 3 2 0 6
⎪
⎪
⎪ + + + =
+ + + =
a b c d a b c d
32 12 4 0 32 12 4 0 =
⎪
⎪
⎪ d 0
⎪
⎪ − + − + = −
− + − + = − ⎪
⎩
⎩ a b c d a b c d
4 3 2 1 4 3 2 1 =
e 0
⎪
⎪
⎪
⎩
( )
− 2
4 3 2 2 2
x x x x x
= − + =
La funzione è allora y .
24 6 6 24
Si descriva l’andamento del grafico. Infine, si determini l’area del rettangoloide, relativo al
grafico, avente per base l’intervallo di estremi x = 0, x = 2.
( )
− 2
4 3 2 2 2
x x x x x
= − + =
Studiamo la curva y 24 6 6 24
Dominio: R; ( )
− 2
2
x x 2
= = ⇔ = =
y 0 x 0
, x 2 ;
Intersezioni asse ascisse: 24
= ⇒ =
x 0 y 0
Intersezioni asse ordinate: ;
( )
− 2
2
x x 2
= ≥ ⇒ ∀ ∈
Positività: y 0 x R ;
24
Asintoti: non esistono asintoti, né verticali, né orizzontali né obliqui; 6
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