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Sessione ordinaria 1977-1978 Soluzione di De Rosa Nicola
= intersechi nei punti A e B distinti da C e D,
Innanzitutto, affinché la retta di equazione y k C '
1 < < .
deve aversi k 1
4 ⎧ = − 2
y x x
2
⎨
Calcoliamo i punti A e B: bisogna risolvere il sistema e quindi l’equazione
=
⎩ y k
( ) ( )
− + = ⇒ = − − = + −
2
x 2 x k 0 A 1 1 k , k , B 1 1 k , k . ⎧ = − 2
y x x
2
⎪
⎨
Calcoliamo i punti C e D: bisogna risolvere il sistema e quindi l’equazione
1
=
⎪ y
⎩ 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− +
2 3 1 2 3 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− + = ⇒ = =
2
4 8 1 0 , , ,
x x C D .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 4 2 4
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = − =
Le basi del trapezio isoscele ABCD misurano: AB 2 1 k , CD 3 , mentre l’altezza misura
1 < <
1 1
1
k
= − = − ⎯
⎯
⎯
→ = −
4
h y y k h k , per cui l’area del trapezio ABCD è
B D 4 4
( ) ⎞
⎛ 1
− + − ⎟
⎜
2 1 3
k k
( )
+ ⋅ ⎠
⎝
( ) 1
AB CD h 4 < <
= = k 1 .
S k con 4
2 2
Calcoliamo la derivata prima della funzione area:
( )
⎡ ⎤
⎛ ⎞
( ) 1 1 1 + − +
= − − =
⎜ ⎟
⎢ ⎥
S ' k k 2 1 k 3
− ⎝ ⎠
⎣ ⎦
2 4
1 k ( )
( ) ⎤
⎡
⎤
⎡ − + −
− + − − +
1 1 4 k 4 1 k 2 1 k 3 1 9 12 k 4 3 1 k
=
= ⎥
⎢
⎥
⎢ −
−
2 2 ⎦
⎣
⎦
⎣ 4 1 k 4 1 k
1 < <
k 1 ,
Ora per 4
⎡ ⎤
− + −
( ) ( )
k k
1 9 12 4 3 1
= > ⇔ − + − > ⇔ − > −
⎢ ⎥
S k k k k k
' 0 9 12 4 3 1 0 4 1 3 4 3
−
2 ⎣ ⎦
k
4 1
La soluzione di questa disequazione è l’unione delle soluzioni dei due sistemi seguenti:
− >
⎧
− <
⎧ 4 k 3 0
4 k 3 0 ∪ ⎨
⎨ ( ) ( )
− ≥ − > − 2
⎩
1 k 0 ⎩
16 1 k 3 4 k 3
1 3
1 < <
< < k ; il secondo sistema può così
Nell’intervallo k 1 il primo sistema è soddisfatto per 4 4
4 ⎧ 3
>
k
⎪⎪
− >
⎧ k
4 3 0 3 11
4
⇔ ⇔ < <
⎨
⎨ .
essere risolto: k
− + <
2
⎩ 1 11 4 12
⎪
k k
48 56 11 0 < <
k
⎪
⎩ 4 12 3
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( ) 1 11 11
< < =
> ⇔ k . Da ciò si evince che l’area è massima per k e tale
In conclusione S ' k 0 4 12 12
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1 11 11 1 1 4 3 2 4 3
⎜ ⎟ − = ⋅ =
= − + ⎜ ⎟
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
area massima vale 2 1 3
S .
⎜ ⎟
MAX ⎝ ⎠
⎢ ⎥
2 12 12 4 2 3 3 9
⎣ ⎦
⎝ ⎠
⎣ ⎦ 4
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PROBLEMA 2
Punto 1 + 2
1 x
=
y
Si studi la funzione e se ne disegni il grafico.
− 2
1 x
( ) ( ) ( )
∈ − ∞ − ∪ − ∪ +∞
Dominio: ;
D : x , 1 1
,
1 1
,
( ) ( )
− 1
, 0 , 1
, 0
Intersezioni asse ascisse: ;
Intersezioni asse ordinate: non ce ne sono:
Eventuali simmetrie: la funzione è pari;
+ 2 ( )
1 x
= > ⇒ ∈ −
Positività: 0 x 1
,
1
y ;
− 2
1 x + +
+ +
2 2 2 2
1 1 1 1
x x x x
= −∞
= +∞ = −∞ = +∞
lim , lim , lim , lim
Asintoti verticali: per
− −
− −
2 2 2 2
− + − +
→ → → − → −
1 1 1
x x x 1 x
1 1 1 1
x x x x
= ±
cui le rette sono asintoti verticali;
x 1 + 2
1 x = −
= − y 1
Asintoti orizzontali: lim 1 per cui la retta è asintoto orizzontale;
− 2
→ ±∞ 1 x
x
Asintoti obliqui: la presenza dell’asintoto orizzontale doppio esclude la possibilità
dell’asintoto obliquo essendo la funzione in esame una razionale fratta;
( ) ( )
− + +
2 2 ( ) ( )
2 1 2 1 4
x x x x x
= = > ⇒ ∈ ∪ +∞
Crescenza e decrescenza: ;
'
y 0 0
,
1 1
,
x
( )
( )
2 2
− −
2 2
1 1
x x
( )
+ 2
x
4 1 3
=
Flessi: La derivata seconda è pari a e da essa si evince che i flessi non
y ' ' ( )
3
− 2
x
1
( )
= > 0
,
1 è un minimo.
esistono; inoltre y ' ' ( 0
) 4 0 per cui
Il grafico è sotto presentato: 5
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Punto 2
Si scriva l’equazione della circonferenza tangente ai tre rami della curva e si calcolino il
perimetro e 1’area del triangolo individuato dai tre punti di contatto.
Vista la simmetria pari della curva il centro della circonferenza si troverà sull’asse delle ordinate,
+ + + =
2 2
x y by c . Inoltre per lo stesso motivo,
per cui la generica circonferenza avrà equazione 0
>
la tangenza al ramo nel semipiano y 0 deve essere nel punto (0,1). Il passaggio per (0,1) comporta
( )
+ + − + =
+ = − 2 2
per cui l’equazione diventa x y by b 1 0 . Il parametro b si calcola
b c 1 + 2
1 x
=
y può anche
imponendo la condizione di tangenza tra le due curve. La curva di equazione − 2
1 x
−
y 1
=
2
x , che sostituita nell’equazione della circonferenza comporta
essere riscritta come +
y 1 +
− 2
( ) ( ) ( ) 1 x
y 1 ≠ − =
+ + − + = ⎯
⎯
⎯
→ + + − + =
y 1
2 3 2 e la
y
y by b 1 0 y y b 2 b 1 0 . La curva
+ − 2
y 1 1 x
( )
+ + − + =
2 2
circonferenza x y by b 1 0 hanno in comune il punto (0,1) per cui un divisore della
( ) ( ) ( )
+ + − + = −
3 2
y y b 2 b 1 0 è : infatti applicando Ruffini e scomponendo si ha
cubica y 1
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + − + = − + + + + =
3 2 2
y y b 2 b 1 y 1 y b 2 y b 2 0 . Imponendo la condizione di tangenza
( )
( ) ( )
+ + + + =
2
y b 2 y b 2 0 si ha
sull’equazione
( ) ( ) ( )( )
+ − + = ⇔ + − = ⇒ = − ∨ = = −
2 b 2
b 2 4 b 2 0 b 2 b 2 0 b 2 b 2 . Ora per l’equazione della
( )
+ − + = ⇔ + − =
2
2 2 2
x y 2 y 1 0 x y 1 0 cioè otteniamo una circonferenza
circonferenza diventa = −
degenere in quanto è una circonferenza che passa per (0,1) ed ha come centro (0,1). Per cui b 2 6
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=
b 2
va scartato. Per l’equazione della circonferenza diventa
( )
+ + − = ⇔ + + =
2
2 2 2
x y 2 y 3 0 x y 1 4 cioè una circonferenza con centro (0,-1) e raggio pari a 2.
( )
+ + − = ⇔ + + =
2
2 2 2
x y 2 y 3 0 x y 1 4 . I punti di
Quindi la circonferenza da trovare ha equazione
( )
( ) ( )
+ + + + = =
2 b 2
y b 2 y b 2 0 per , ed hanno entrambi
tangenza si ricavano dall’equazione − 1
y
= − = = − = ±
2
ordinata pari a y 2 ed ascisse ricavabili da x con y 2 e cioè x 3 . I punti di
+ 1
y
( ) ( )
= = − = − −
A ( 0
,
1
), B 3 , 2 , C 3 , 2 .
contatto sono allora
Il grafico sottostante mostra quanto ricavato:
( ) ( )
2
= = + + = =
2
Ora , cioè il triangolo ABC è equilatero per cui
AB AC 3 1 2 2 3 BC
( )
3 2
= ⋅ =
= e la sua area sarà S 2 3 3 3 .
2 p 6 3 ABC
ABC 4 7
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PROBLEMA 3
Punto 1 2
x
= − +
y 3 x k
Tra le parabole di equazione: si individui quella sulla quale la retta di
2 5 5 .
equazione 2y = x + 2 intercetta una corda AB di lunghezza 2
2
x
= − + = +
La parabola y 3 x k ha concavità verso l’alto. Le intersezioni con la retta 2 y x 2 si
2 +
2
x x 2
− + = ⇒ − + − =
2
3 x k x 7 x 2 k 2 0 . Innanzitutto per avere
trovano risolvendo l’equazione 2 2
due soluzioni distinte dobbiamo imporre che il discriminante sia positivo, cioè
57
∆ = − > ⇔ <
57 8
k 0 k . La risoluzione dell’equazione di secondo grado comporta
8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − − − + − + −
7 57 8
k 11 57 8
k 7 57 8
k 11 57 8
k
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= =
A , , B , .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 4 2 4
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
125
=
2
Ora dobbiamo imporre AB e quindi
4
2
( ) ⎛ ⎞
− ( ) ( )
k
57 8 5 125
⎜ ⎟
2
− + = − = ⇔ − = ⇔ =
k k k k , valore accettabile in
57 8 57 8 57 8 25 4
⎜ ⎟
2 4 4
⎝ ⎠ 57
< =
quanto rispetta la condizione k . In corrispondenza di i punti saranno
k 4
8
⎛ ⎞ 2
( )
3 x
= = = − +
⎜ ⎟
A 1
, , B 6
, 4 e la parabola sarà y 3 x 4
⎝ ⎠
2 2
Punto 2.
Condotte in A e in B le rette tangenti alla parabola trovata, si calcoli l’area della regione finita
di piano delimitata dall’arco di parabola AB e dalle due tangenti.
⎛ ⎞ ( ) 3
3 = − +
= ⎜ ⎟ y m x 1
La tangente in con
A 1
, ha equazione A
⎝ ⎠ 2
2
⎡ ⎤
⎛ ⎞
2 [ ]
d x 7
⎜ ⎟
= − + = − +
= − = −
⎢ ⎥ y 2 x .
m 3 x 4 x 3 2 da cui la tangente
⎜ ⎟ =
1
x
A ⎝ ⎠ 2
dx 2
⎣ ⎦ =
1
x ( ) ( )
= = − +
La tangente in ha equazione con
B 6
, 4 y m x 6 4
B
⎡ ⎤
⎛ ⎞
2 [ ]
d x
⎜ ⎟
= − + = − = = −
⎢ ⎥
m 3 x 4 x 3 3 da cui la tangente y 3 x 14 . Le due tangenti si
⎜ ⎟ = 6
x
B ⎝ ⎠
dx 2
⎣ ⎦ = 6
x
⎛ ⎞
7 7
= −
⎜ ⎟
intersecano in D , .
⎝ ⎠
2
2 8
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L’area da determinare è sotto rappresentata in grigio:
L’area da calcolare è pari all’area del triangolo ADB cui va sottratta l’area dl segmento parabolico
⎛ ⎞
3
− + = = ⎜ ⎟
x 2 y 2 0 A 1
,
AB. La corda AB di equazione è perpendicolare alla tangente in di
⎝ ⎠
2
7
= − +
y 2 x , per cui il triangolo ADB è rettangolo in A. Il cateto AB per ipotesi misura
equazione 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
5 5 7 3 7 5 5
= − + + =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ; quindi il triangolo ADB è rettangolo
, mentre il cateto AD 1
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 2 2 2
125
=
isoscele e l‘area vale A . L’area del segmento parabolico AB vale
ADB 8
⎤
⎡ 6
⎤
⎤ ⎡
⎡
⎛ ⎞
+
6 6
2 2 3 2
2 7 7 125
x x x x x x
∫ ∫
⎜ ⎟ =
= − + −
= − + −
= − − + ⎥
⎢ ⎥
⎥ ⎢
⎢ .
3 4 3 3
A x dx dx x
⎜ ⎟
seg par
. AB ⎦
⎦ ⎣
⎣
⎝ ⎠
2 2 2 2 6 4 12
⎦
⎣
1 1 1
125 125 125
= − =
L’ara richiesta vale allora S .
8 12 24 9
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PROBLEMA 4
Gli asintoti di una curva: si illustri il procedimento per determinarli nel caso di una curva
rappresentata analiticamente da una funzione razionale fratta. ( )
In generale, data una funzione di variabile reale ed a valori reali , esistono tre tipi di asintoti:
f x
verticali, orizzontali ed obliqui.. ( )
f x
Gli asintoti verticali vanno ricercati nei punti in cui la funzione non è continua né
± ∞
prolungabile per continuità; gli asintoti orizzontali vanno ricercati a , sempre che la funzione
( )
± ∞ = ; gli asintoti obliqui hanno
esista ed assuma valori finiti a ed hanno equazione y lim f x
→ ±∞
x
( ) [ ]
( )
f x
= = − ± ∞
= +
equazione con m lim , q lim f x mx , sempre che la funzione esista a
y mx q → ±∞ → ±∞
x
x x
e che i numeri m, q siano numeri reali finiti. n
∑ ⋅ i
a x
i
= ∈ ∈
=
i 0
y , con n
, k N , a , b R , cioè è
Una funzione razionale fratta può cosi essere scritta: i i
k
∑ ⋅ i
b x
i
=
i 0
il rapporto tra due polinomi di grado qualsiasi (n quello del numeratore ed k quello del
denominatore per come è stata scritta). Gli asintoti verticali per questa funzione vanno ricercati nei
punti in cui si annulla il denominatore e contemporaneamente negli stessi punti o non si annulla il
numeratore o se si annulla il numeratore si annulla con molteplicità inferiore a quella del
−
2
x 1
= = =
y non ha asintoto verticale in perché
denominatore; ad esempio la funzione 1 1
x x
−
x 1
annulla il numeratore ed il denominatore con la stessa molteplicità (una volta), cioè lo stesso
−
2
x 1
=
= y è prolungabile per continuità; la funzione
numero di volte; infatti in la funzione
1
x −
x 1
−
2
x 1
= = =
asintoto verticale in quanto il denominatore si annulla in con
y ha in 1 1
x x
( )
− 2
x 1
molteplicità (2) maggiore rispetto a quella del numeratore (1). Per le funzioni razionali fratte la
presenza di asintoti orizzontali esclude la presenza di asintoti obliqui. Il viceversa non vale; cioè se
≥ +
non esiste l’asintoto orizzontale non è detto che esista l’asintoto obliquo: infatti se la
n k 2
n
∑ ⋅ i
a x
i
= =
i 0
funzione y non presenterà né asintoti orizzontali né obliqui. L’asintoto orizzontale
k
∑ ⋅ i
b x
i
=
i 0 10
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