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Sintesi


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Sessione ordinaria 1977-1978 Soluzione di De Rosa Nicola

= intersechi nei punti A e B distinti da C e D,

Innanzitutto, affinché la retta di equazione y k C '

1 < < .

deve aversi k 1

4 ⎧ = − 2

y x x

2

Calcoliamo i punti A e B: bisogna risolvere il sistema e quindi l’equazione

=

⎩ y k

( ) ( )

− + = ⇒ = − − = + −

2

x 2 x k 0 A 1 1 k , k , B 1 1 k , k . ⎧ = − 2

y x x

2

Calcoliamo i punti C e D: bisogna risolvere il sistema e quindi l’equazione

1

=

⎪ y

⎩ 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− +

2 3 1 2 3 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− + = ⇒ = =

2

4 8 1 0 , , ,

x x C D .

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2 4 2 4

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = − =

Le basi del trapezio isoscele ABCD misurano: AB 2 1 k , CD 3 , mentre l’altezza misura

1 < <

1 1

1

k

= − = − ⎯

→ = −

4

h y y k h k , per cui l’area del trapezio ABCD è

B D 4 4

( ) ⎞

⎛ 1

− + − ⎟

2 1 3

k k

( )

+ ⋅ ⎠

( ) 1

AB CD h 4 < <

= = k 1 .

S k con 4

2 2

Calcoliamo la derivata prima della funzione area:

( )

⎡ ⎤

⎛ ⎞

( ) 1 1 1 + − +

= − − =

⎜ ⎟

⎢ ⎥

S ' k k 2 1 k 3

− ⎝ ⎠

⎣ ⎦

2 4

1 k ( )

( ) ⎤

⎡ − + −

− + − − +

1 1 4 k 4 1 k 2 1 k 3 1 9 12 k 4 3 1 k

=

= ⎥

⎢ −

2 2 ⎦

⎣ 4 1 k 4 1 k

1 < <

k 1 ,

Ora per 4

⎡ ⎤

− + −

( ) ( )

k k

1 9 12 4 3 1

= > ⇔ − + − > ⇔ − > −

⎢ ⎥

S k k k k k

' 0 9 12 4 3 1 0 4 1 3 4 3

2 ⎣ ⎦

k

4 1

La soluzione di questa disequazione è l’unione delle soluzioni dei due sistemi seguenti:

− >

− <

⎧ 4 k 3 0

4 k 3 0 ∪ ⎨

⎨ ( ) ( )

− ≥ − > − 2

1 k 0 ⎩

16 1 k 3 4 k 3

1 3

1 < <

< < k ; il secondo sistema può così

Nell’intervallo k 1 il primo sistema è soddisfatto per 4 4

4 ⎧ 3

>

k

⎪⎪

− >

⎧ k

4 3 0 3 11

4

⇔ ⇔ < <

⎨ .

essere risolto: k

− + <

2

⎩ 1 11 4 12

k k

48 56 11 0 < <

k

⎩ 4 12 3

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Sessione ordinaria 1977-1978 Soluzione di De Rosa Nicola

( ) 1 11 11

< < =

> ⇔ k . Da ciò si evince che l’area è massima per k e tale

In conclusione S ' k 0 4 12 12

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎛ ⎞

⎛ ⎞

1 11 11 1 1 4 3 2 4 3

⎜ ⎟ − = ⋅ =

= − + ⎜ ⎟

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

area massima vale 2 1 3

S .

⎜ ⎟

MAX ⎝ ⎠

⎢ ⎥

2 12 12 4 2 3 3 9

⎣ ⎦

⎝ ⎠

⎣ ⎦ 4

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PROBLEMA 2

Punto 1 + 2

1 x

=

y

Si studi la funzione e se ne disegni il grafico.

− 2

1 x

( ) ( ) ( )

∈ − ∞ − ∪ − ∪ +∞

Dominio: ;

D : x , 1 1

,

1 1

,

( ) ( )

− 1

, 0 , 1

, 0

Intersezioni asse ascisse: ;

Intersezioni asse ordinate: non ce ne sono:

Eventuali simmetrie: la funzione è pari;

+ 2 ( )

1 x

= > ⇒ ∈ −

Positività: 0 x 1

,

1

y ;

− 2

1 x + +

+ +

2 2 2 2

1 1 1 1

x x x x

= −∞

= +∞ = −∞ = +∞

lim , lim , lim , lim

Asintoti verticali: per

− −

− −

2 2 2 2

− + − +

→ → → − → −

1 1 1

x x x 1 x

1 1 1 1

x x x x

= ±

cui le rette sono asintoti verticali;

x 1 + 2

1 x = −

= − y 1

Asintoti orizzontali: lim 1 per cui la retta è asintoto orizzontale;

− 2

→ ±∞ 1 x

x

Asintoti obliqui: la presenza dell’asintoto orizzontale doppio esclude la possibilità

dell’asintoto obliquo essendo la funzione in esame una razionale fratta;

( ) ( )

− + +

2 2 ( ) ( )

2 1 2 1 4

x x x x x

= = > ⇒ ∈ ∪ +∞

Crescenza e decrescenza: ;

'

y 0 0

,

1 1

,

x

( )

( )

2 2

− −

2 2

1 1

x x

( )

+ 2

x

4 1 3

=

Flessi: La derivata seconda è pari a e da essa si evince che i flessi non

y ' ' ( )

3

− 2

x

1

( )

= > 0

,

1 è un minimo.

esistono; inoltre y ' ' ( 0

) 4 0 per cui

Il grafico è sotto presentato: 5

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Punto 2

Si scriva l’equazione della circonferenza tangente ai tre rami della curva e si calcolino il

perimetro e 1’area del triangolo individuato dai tre punti di contatto.

Vista la simmetria pari della curva il centro della circonferenza si troverà sull’asse delle ordinate,

+ + + =

2 2

x y by c . Inoltre per lo stesso motivo,

per cui la generica circonferenza avrà equazione 0

>

la tangenza al ramo nel semipiano y 0 deve essere nel punto (0,1). Il passaggio per (0,1) comporta

( )

+ + − + =

+ = − 2 2

per cui l’equazione diventa x y by b 1 0 . Il parametro b si calcola

b c 1 + 2

1 x

=

y può anche

imponendo la condizione di tangenza tra le due curve. La curva di equazione − 2

1 x

y 1

=

2

x , che sostituita nell’equazione della circonferenza comporta

essere riscritta come +

y 1 +

− 2

( ) ( ) ( ) 1 x

y 1 ≠ − =

+ + − + = ⎯

→ + + − + =

y 1

2 3 2 e la

y

y by b 1 0 y y b 2 b 1 0 . La curva

+ − 2

y 1 1 x

( )

+ + − + =

2 2

circonferenza x y by b 1 0 hanno in comune il punto (0,1) per cui un divisore della

( ) ( ) ( )

+ + − + = −

3 2

y y b 2 b 1 0 è : infatti applicando Ruffini e scomponendo si ha

cubica y 1

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ + − + = − + + + + =

3 2 2

y y b 2 b 1 y 1 y b 2 y b 2 0 . Imponendo la condizione di tangenza

( )

( ) ( )

+ + + + =

2

y b 2 y b 2 0 si ha

sull’equazione

( ) ( ) ( )( )

+ − + = ⇔ + − = ⇒ = − ∨ = = −

2 b 2

b 2 4 b 2 0 b 2 b 2 0 b 2 b 2 . Ora per l’equazione della

( )

+ − + = ⇔ + − =

2

2 2 2

x y 2 y 1 0 x y 1 0 cioè otteniamo una circonferenza

circonferenza diventa = −

degenere in quanto è una circonferenza che passa per (0,1) ed ha come centro (0,1). Per cui b 2 6

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=

b 2

va scartato. Per l’equazione della circonferenza diventa

( )

+ + − = ⇔ + + =

2

2 2 2

x y 2 y 3 0 x y 1 4 cioè una circonferenza con centro (0,-1) e raggio pari a 2.

( )

+ + − = ⇔ + + =

2

2 2 2

x y 2 y 3 0 x y 1 4 . I punti di

Quindi la circonferenza da trovare ha equazione

( )

( ) ( )

+ + + + = =

2 b 2

y b 2 y b 2 0 per , ed hanno entrambi

tangenza si ricavano dall’equazione − 1

y

= − = = − = ±

2

ordinata pari a y 2 ed ascisse ricavabili da x con y 2 e cioè x 3 . I punti di

+ 1

y

( ) ( )

= = − = − −

A ( 0

,

1

), B 3 , 2 , C 3 , 2 .

contatto sono allora

Il grafico sottostante mostra quanto ricavato:

( ) ( )

2

= = + + = =

2

Ora , cioè il triangolo ABC è equilatero per cui

AB AC 3 1 2 2 3 BC

( )

3 2

= ⋅ =

= e la sua area sarà S 2 3 3 3 .

2 p 6 3 ABC

ABC 4 7

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PROBLEMA 3

Punto 1 2

x

= − +

y 3 x k

Tra le parabole di equazione: si individui quella sulla quale la retta di

2 5 5 .

equazione 2y = x + 2 intercetta una corda AB di lunghezza 2

2

x

= − + = +

La parabola y 3 x k ha concavità verso l’alto. Le intersezioni con la retta 2 y x 2 si

2 +

2

x x 2

− + = ⇒ − + − =

2

3 x k x 7 x 2 k 2 0 . Innanzitutto per avere

trovano risolvendo l’equazione 2 2

due soluzioni distinte dobbiamo imporre che il discriminante sia positivo, cioè

57

∆ = − > ⇔ <

57 8

k 0 k . La risoluzione dell’equazione di secondo grado comporta

8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − − − + − + −

7 57 8

k 11 57 8

k 7 57 8

k 11 57 8

k

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= =

A , , B , .

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2 4 2 4

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

125

=

2

Ora dobbiamo imporre AB e quindi

4

2

( ) ⎛ ⎞

− ( ) ( )

k

57 8 5 125

⎜ ⎟

2

− + = − = ⇔ − = ⇔ =

k k k k , valore accettabile in

57 8 57 8 57 8 25 4

⎜ ⎟

2 4 4

⎝ ⎠ 57

< =

quanto rispetta la condizione k . In corrispondenza di i punti saranno

k 4

8

⎛ ⎞ 2

( )

3 x

= = = − +

⎜ ⎟

A 1

, , B 6

, 4 e la parabola sarà y 3 x 4

⎝ ⎠

2 2

Punto 2.

Condotte in A e in B le rette tangenti alla parabola trovata, si calcoli l’area della regione finita

di piano delimitata dall’arco di parabola AB e dalle due tangenti.

⎛ ⎞ ( ) 3

3 = − +

= ⎜ ⎟ y m x 1

La tangente in con

A 1

, ha equazione A

⎝ ⎠ 2

2

⎡ ⎤

⎛ ⎞

2 [ ]

d x 7

⎜ ⎟

= − + = − +

= − = −

⎢ ⎥ y 2 x .

m 3 x 4 x 3 2 da cui la tangente

⎜ ⎟ =

1

x

A ⎝ ⎠ 2

dx 2

⎣ ⎦ =

1

x ( ) ( )

= = − +

La tangente in ha equazione con

B 6

, 4 y m x 6 4

B

⎡ ⎤

⎛ ⎞

2 [ ]

d x

⎜ ⎟

= − + = − = = −

⎢ ⎥

m 3 x 4 x 3 3 da cui la tangente y 3 x 14 . Le due tangenti si

⎜ ⎟ = 6

x

B ⎝ ⎠

dx 2

⎣ ⎦ = 6

x

⎛ ⎞

7 7

= −

⎜ ⎟

intersecano in D , .

⎝ ⎠

2

2 8

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L’area da determinare è sotto rappresentata in grigio:

L’area da calcolare è pari all’area del triangolo ADB cui va sottratta l’area dl segmento parabolico

⎛ ⎞

3

− + = = ⎜ ⎟

x 2 y 2 0 A 1

,

AB. La corda AB di equazione è perpendicolare alla tangente in di

⎝ ⎠

2

7

= − +

y 2 x , per cui il triangolo ADB è rettangolo in A. Il cateto AB per ipotesi misura

equazione 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

5 5 7 3 7 5 5

= − + + =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ; quindi il triangolo ADB è rettangolo

, mentre il cateto AD 1

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2 2 2

125

=

isoscele e l‘area vale A . L’area del segmento parabolico AB vale

ADB 8

⎡ 6

⎤ ⎡

⎛ ⎞

+

6 6

2 2 3 2

2 7 7 125

x x x x x x

∫ ∫

⎜ ⎟ =

= − + −

= − + −

= − − + ⎥

⎢ ⎥

⎥ ⎢

⎢ .

3 4 3 3

A x dx dx x

⎜ ⎟

seg par

. AB ⎦

⎦ ⎣

⎝ ⎠

2 2 2 2 6 4 12

1 1 1

125 125 125

= − =

L’ara richiesta vale allora S .

8 12 24 9

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PROBLEMA 4

Gli asintoti di una curva: si illustri il procedimento per determinarli nel caso di una curva

rappresentata analiticamente da una funzione razionale fratta. ( )

In generale, data una funzione di variabile reale ed a valori reali , esistono tre tipi di asintoti:

f x

verticali, orizzontali ed obliqui.. ( )

f x

Gli asintoti verticali vanno ricercati nei punti in cui la funzione non è continua né

± ∞

prolungabile per continuità; gli asintoti orizzontali vanno ricercati a , sempre che la funzione

( )

± ∞ = ; gli asintoti obliqui hanno

esista ed assuma valori finiti a ed hanno equazione y lim f x

→ ±∞

x

( ) [ ]

( )

f x

= = − ± ∞

= +

equazione con m lim , q lim f x mx , sempre che la funzione esista a

y mx q → ±∞ → ±∞

x

x x

e che i numeri m, q siano numeri reali finiti. n

∑ ⋅ i

a x

i

= ∈ ∈

=

i 0

y , con n

, k N , a , b R , cioè è

Una funzione razionale fratta può cosi essere scritta: i i

k

∑ ⋅ i

b x

i

=

i 0

il rapporto tra due polinomi di grado qualsiasi (n quello del numeratore ed k quello del

denominatore per come è stata scritta). Gli asintoti verticali per questa funzione vanno ricercati nei

punti in cui si annulla il denominatore e contemporaneamente negli stessi punti o non si annulla il

numeratore o se si annulla il numeratore si annulla con molteplicità inferiore a quella del

2

x 1

= = =

y non ha asintoto verticale in perché

denominatore; ad esempio la funzione 1 1

x x

x 1

annulla il numeratore ed il denominatore con la stessa molteplicità (una volta), cioè lo stesso

2

x 1

=

= y è prolungabile per continuità; la funzione

numero di volte; infatti in la funzione

1

x −

x 1

2

x 1

= = =

asintoto verticale in quanto il denominatore si annulla in con

y ha in 1 1

x x

( )

− 2

x 1

molteplicità (2) maggiore rispetto a quella del numeratore (1). Per le funzioni razionali fratte la

presenza di asintoti orizzontali esclude la presenza di asintoti obliqui. Il viceversa non vale; cioè se

≥ +

non esiste l’asintoto orizzontale non è detto che esista l’asintoto obliquo: infatti se la

n k 2

n

∑ ⋅ i

a x

i

= =

i 0

funzione y non presenterà né asintoti orizzontali né obliqui. L’asintoto orizzontale

k

∑ ⋅ i

b x

i

=

i 0 10

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