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( ) ( )
− + − − + + − −
2 2 3 2 3
3 x 4 x c x x 2 x cx d 2 x x cx 2 d
= =
I
y ( x ) 4 3
x x
( ) ( ) ( )
− − − − +
2 3 2 3
3 x c x 3 x x cx 2 d 2 cx 3
d
= =
II
y ( x ) 6 4
x x
Per avere un estremante in x = 2 dobbiamo imporre che:
= − − =
I
y ( 2 ) 0 8 2 c 2 d 0
⇒
+ ≠
≠
II 2 c 3
d 0
y ( 2 ) 0 − = =
II
Per avere un flesso in x = -1 dobbiamo imporre che y ( 1
) 0 e cioè c d
3 .
Quindi per determinare i coefficienti rimanenti risolviamo il sistema:
− − = =
c d c
8 2 2 0 3
⇒
= =
c d d
3 1
+ = ≠
c d x
per cui si ha effettivamente un estremo relativo in = 2.
Si nota come 2 3 9 0
Quindi la curva ha equazione: − + +
3 2
x x x
2 3 1
=
y 2
x
− + +
3 2
x x x
2 3 1
=
y
Studio della funzione 2
x
( ) ( )
− ∞ ∪ +∞
,
0 0
,
Dominio : − + + =
3 2
Intersezione asse ascisse x 2 x 3 x 1 0 che risolveremo
: va risolta l’equazione
graficamente risolvendo il sistema =
3
y x
= − −
2
y 2 x 3 x 1
La prima funzione è una cubica con flesso in (0,0) mentre la seconda è una parabola con concavità
3 17
−
verso l’alto e vertice in . Mettiamole sullo stesso grafico:
,
4 8 10
7.5
5
2.5
-10 -5 5 10
-2.5
-5
-7.5
-10
Come si nota dal grafico le due curve hanno un unico punto in comune con ascissa minore di zero;
tale punto è determinabile applicando il teorema degli zeri in un intervallo in cui la funzione
= − + +
3 2
g x x x x è continua ed in cui agli estremi assume valore discorde. Applicando tale
( ) 2 3 1 ≅ −
teorema si ricava che tale unico valore è x 0 . 028 .
Intersezione asse ordinate
: non ce ne sono
Parità o disparità : la funzione è pari
− + +
3 2
x 2 x 3 x 1 > >
⇒
Positività : f(x) = 0 x x come si nota dal grafico tracciato sopra.
2
x 1
= = = = +∞
Asintoti verticali x 0
, lim f ( x ) lim f ( x )
: +
+ −
→ → 0
x 0 x 0 = +∞
Asintoti orizzontali : non ce ne sono , infatti lim f ( x )
→ ±∞
x
Asintoti obliqui : è unico ed è come da traccia y = x - 2
Crescenza e decrescenza :
( )
− − + −
2
3
x 3 x 2 x 1 ( x 2 )
= = > < ∪ >
⇒
I
y ( x ) 0 x 0 x 2
3 3
x x
( )
+
2 3 x 3
= = = −
⇒
II
y ( x ) 0 x 1
4
x
9
= >
II
y ( 2 ) 0
8 < ∪ >
Quindi la funzione è crescente per x 0 x 2 , decrescente altrimenti, ha un minimo relativo in
( )
7 − −
1
, 5
ed un flesso in
2
,
4
Il grafico è sotto presentato:
L’iperbole equilatera con asintoti riferiti agli assi coordinati ha equazione generica
=
xy k
e dovendo passare per (1; 3) avrà allora equazione
=
xy 3
Calcoliamo allora i punti di intersezione tra le due curve:
− + +
3 2
x 2 x 3 x 1
=
y
− + +
3 2
x 2 x 3 x 1 3
2
x =
⇒ ⇒
2 x
x
3
=
y
x
− + + = − + =
⇒
3 2 3 2
x 2 x 3 x 1 3 x x 2 x 1 0 − +
3 2
Ora applicando la regola di Ruffini componiamo il polinomio ( x 2 x 1 ) ottenendo:
− + = − − −
3 2 2
x 2 x 1 ( x 1
)( x x 1
) per cui ±
1 5
− + = − − − = = =
⇒ ⇒
3 2 2
x x x x x x x
2 1 0 ( 1
)( 1
) 0 1
, 2
