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Sintesi


Estratto del documento

( )( )

− + − −

2

3 13 3 x 13 x 12 x 3 3 x 4 4

> ∪ <

= − + = = > ⇒

2

I

y ( x ) x x 6 0 x 3 x

2 2

2 2 3

 

13 13 13 125

= − = = →

II  

y ( x ) 3 x 0 x , è un flesso

 

2 6 6 216

( )

5

= > →

II

y (

3

) 0 3

, 0 è un minimo relativo

2

   

4 5 4 125

= − < →

II    

y 0 , è un massimo relativo

   

3 2 3 108

Ecco il grafico:

Per il calcolo dell’area consideriamo la figura sottostante:

L’area che ci interessa è: 3

 

3   4 3

1 13 9 x 13 x 9 x

= − + − = − + − =

3 2 2

 

6 3

A x x x dx x

 

 

2 4 4 8 12 4

 

1 1

81 117 27 1 13 9 4

− + − − + − + =

27 3

8 4 4 8 12 4 3

Problema 2

Si consideri la seguente figura che rappresenta la geometria del problema:

Il punto B generico ha coordinate B=(0,y), mentre C=(3,z).

Ora per essere equilatero deve aversi AB=BC=AC.

Ora: = + 2

AB 9 y

( )

= − +

2

BC y z 9

=

AC z

Per cui deve aversi: ( )

 + = − +

2

2

9 y y z 9

 ( )

− + =

2

 y z 9 z

 + =

2

 9 y z

Elevando al quadrato si ha: ( )

 + = − + − = = =

2 

2 

2

9 y y z 9 z 2 yz 0 z 0

, z 2 y

  

( )

− + = − + = − + =

2 ⇒ ⇒

2 2 2

  

y z 9 z y 2 yz 9 0 y 2 yz 9 0

  

+ = + = + =

2 2 2 2 2 2

9 y z 9 y z 9 y z

 

 =

Ora la soluzione z=0 non soddisfa le altre due, mentre la soluzione z 2 y sia nella seconda che

nella terza equazione rimanente comporta:  = ±

 y 3

 = ±

 z 2 3

Per cui i vertici sono:

1)A(3,0),B(0, 3 ),C(3,2 3 ) oppure

2)A(3,0),B(0,- 3 ),C(3,-2 3 )

Noi considereremo come vertici quelli del punto 1) cioè considereremo i vertici

A(3,0),B(0, 3 ),C(3,2 3 )

Imponendo che la parabola passi per i punti A(3,0),B(0, 3 ), si ha:

+ + = =

9 a 3

b c 0

, c 3

( )

− −

3 9 a

=

da cui b per cui l’equazione diventa

3 ( )

+

3 9 a

= − +

2

y ax x 3

3

La retta AB ha equazione : − ( )

y x 3 3

= → = −

y 3 x

− 3 3

3

mentre la retta BC ha equazione: −  

y 3 x x

= → = +

 

y 3 1

 

3 3

3

Ora innanzitutto, affinché la parabola divida il triangolo in 2 parti di area una la metà dell’altra, di

cui una formata col lato AB, essa dovrà avere concavità verso il basso e per avere questo il segno

<

2

del coefficiente x deve essere minore di zero, cioè: a 0

Calcoliamo ora eventuali intersezioni tra la retta BC e la parabola: bisogna risolvere la disequazione

seguente: ( ) ( ) ( )

+ + +

 

x 3 9 a 2 3 9 a 2 3 9 a

+ = − + − = = =

⇒ ⇒

2 2

 

3 1 ax x 3 ax x 0 x 0

, x

 

3 3 3 3

a

Ora vanno distinti due casi:

( )

+

2 3 9 a 2 3 2 3

< − ∪ > < −

> <

0 che con la condizione 0 a ;

1) a a 0 a impone

3

a 9 9

( )

+

2 3 9 a 2 3 2 3

≤ − ≤ < < − ≤ <

2) 0 a 0 che con la condizione a 0 impone ancora a 0 ;

3

a 9 9

Discutiamo i 2 casi partendo dal caso 1.

Caso 1

La geometria del problema è rappresentata nella figura seguente:

L’area S individuata dal lato AB con la parabola è la differenza tra l’area del segmento parabolico

formato dall’arco AB col segmento AB e l’area del segmento parabolico BV col segmento BV.

3

= =

2

L’area del triangolo equilatero è A l 3 3 per cui l’area individuata dalla parabola col

ABC 4 1

lato AB, essendo metà della restante, risulta essere pari a dell’area del triangolo, cioè dobbiamo

3

imporre che: ( )

 

   

− −

3 ( )

3 9 a 3

   

∫ + + − − +

2

 

ax x 3 3 x dx

   

 

3 3

   

 

0 ( )

+ ( )

2 3 9 a  

 

+  

 

3 a 3 9 a x

 

− − + − + =

 ⇒

2  

 

ax x 3 3 1 dx 3

 

  

  

 3 3

 

 

0 ( )

+ ( )

2 3 9 a  

 

[ ] +

( )

3 3 a 2 3 9 a

 

∫ ∫

− − − = ⇒

2 2

 

ax 3

ax dx ax x dx 3

 

 

3

  

0 0 ( )

( ) +

2 3 9 a

3  

+

 

3 2 3 2 3 a

ax 3

ax ax 2 3 9 a x

− − − = ⇒

  3

 

3 2 3 6

   

0 0

( ) ( )

 

3 3

+ +

 

27 2 3 9 a 2 3 9 a

− − − =

  ⇒

9 3

a a

  2 2

  

2 81

a 54 a 

( ) ( )

3 3

+ +

9 a 2 3 9 a 2 3 9 a

− − + = ⇒

3

2 2

2 81

a 54 a

( ) ( )( )

3

+ − − = + + =

⇒ ⇒

2 3

2 3 9 162 3 729 0 4 3 2 3 9 3 9 0

a a a a a

2 3 3

= − = −

,

a a

9 9

( )

− −

3 3 9 a

= − = =

di cui è accettabile solo 0

a . Di conseguenza b

9 3

In tal caso allora si ha la seguente equazione: 3

= − +

2

y x 3

9

Caso 2

La geometria del problema è:

In tal caso l’area da calcolare è più semplice e dobbiamo imporre:

( )

 

   

+

3 ( )

a

3 9 3

   

∫ − + − − = ⇒

2

 

ax x 3 3 x dx 3

   

 

3 3

   

 

0 [ ]

( )

3

∫ − = ⇒

2

ax 3

ax dx 3

0 3

 

3 2

ax 3

ax

− = ⇒

3

 

 

3 2 0

 

27 2 3

− = = −

9 a a 3 a

 

 

2 9

( )

− −

3 9 a 3

= =

Anch’esso accettabile da cui b 3 3

L’equazione della parabola in tal caso è: 2 3 3

= − + +

2

y x x 3

9 3

In conclusione le equazioni delle parabole sono 2:

3

= − +

2

y x 3

9

2 3 3

= − + +

2

y x x 3

9 3

Problema 3

( ) ( )

= +

3 3

La funzione y sin x cos x può essere riscritta in questo modo:

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + = + + − =

3 3 2 2

y sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

+ − = + −

sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x 2 sin 2 x

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ = =

2 2

In cui si sono sfruttate le relazioni sin x cos x 1

, sin 2 x 2 sin x cos x

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )

1

= + −

Studiamo allora la funzione y sin x cos x 2 sin 2 x

2

[ ]

π

0

, 2

Dominio :

Intersezione asse x :

[ ]

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

= + − = ⇔ + = ⇔ + =

y x x x x x x x

sin cos 2 sin 2 0 sin cos 0 cos tan 1 0

2 π π

( ) 3 7

⇔ = − ⇔ = =

tan x 1 x , x

4 4

= =

Intersezione asse y : x 0 y !

1

Comportamento agli estremi :

= =

x 0 y !

1

π

= =

x 2 y !

1

Positività :

[ ]

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

= + − > ⇔ + >= ⇔ + >

y x x x x x x x

sin cos 2 sin 2 0 sin cos 0 cos tan 1 0

2

La disequazione viene studiata col metodo del falso sistema, per cui si studia separatamente ogni

fattore: π π

   

( ) 3 π

> ∈ ∪

⇒    

cos x 0 x , 2 0

,

   

2 2

π π π π

     

( ) 3 3 7 π

> − ∈ ∪ ∪

⇒      

tan x 1 x 0

, , , , 2

     

2 4 2 4

Mettendo questi risultati sulla stessa retta dei reali si ricava:

π π

   

[ ]

( ) ( ) 3 7 π

= + > ∈ ∪

⇒    

y cos x tan x 1 0 x 0

, , 2

   

4 4

Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui: non ce ne sono

Crescenza e decrescenza: estremi relativi e flessi :

= −

I 2 2

( ) 3 sin ( ) cos( ) 3 sin( ) cos ( )

y x x x x x

[ ] [ ]

( )

= − = − ≥ ⇒

2

3 sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 3 sin( ) cos ( ) tan 1 0

x x x x x x x

[ ]

( ) − ≥

sin( ) tan 1 0

x x

e la si risolve sempre col metodo del falso sistema:

[ ]

( ) π

≥ ∈

sin x 0 x 0

,

π π π π

   

( ) 5 3

≥ ∈ ∪

⇒  

tan x 1 x , ,

 

   

4 2 4 2

Mettendo questi risultati sulla stessa retta dei reali si ricava:

π π π π

     

[ ]

( ) 5 3

π π

− ≥ ∈ ∪ ∪

⇒  

sin( x ) tan x 1 0 x , , , 2

   

     

4 2 4 2

= − + − + =

II 3 2 3 2

y x x x x x x x

( ) 3 sin ( ) 6 sin( ) cos ( ) 3 cos ( ) 6 sin ( ) cos( )

[ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− + − + + =

x x x x x x x x

3 sin cos 1 sin cos 6 sin( ) cos( ) sin cos

[ ][ ] [ ][ ]

( ) ( ) ( ) ( )

+ + − = + − =

x x x x x x x x x x

3 sin cos 2 sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 1 3 sin cos 3 sin( ) cos( ) 1

[ ][ ] [ ][ ]

( ) ( )

+ − = + − = ⇒

x x x x x x

6 sin cos 3 sin( 2 ) 2 6 cos( ) tan( ) 1 3 sin( 2 ) 2 0

π π

3 7

= − = =

x x , x

tan( ) 1 4 4

2

= ≅ ° ≅ ° ≅ ° ≅ °

x x 21 , x 201 , x 79 , x 259

sin( 2 ) 3

π

  3 2

= >

II  

y 0

 

4 2

π

 

5 3 2

= − <

II  

y 0

 

4 2

π

  = − <

II  

y 12 0

 

2

π

 

3 = >

II  

y 12 0

 

2

( )

π = >

II

y 12 0 π π

    ( )

1 3 π

− −

   

D ciò si evince che i punti , , , 1 , , 1 sono di minimo relativo;

 

 

4 2

2

π π

   

5 1

   

i punti , , ,

1 sono di massimo relativo;

 

 

4 2

2 π π

3 7

= = ≅ ° ≅ ° ≅ ° ≅ °

x , x , x 21 , x 201 , x 79 , x 259 sono punti di

ed i punti le cui ascisse sono 4 4

flesso.

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