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( )( )
− + − −
2
3 13 3 x 13 x 12 x 3 3 x 4 4
> ∪ <
= − + = = > ⇒
2
I
y ( x ) x x 6 0 x 3 x
2 2
2 2 3
13 13 13 125
= − = = →
⇒
II
y ( x ) 3 x 0 x , è un flesso
2 6 6 216
( )
5
= > →
II
y (
3
) 0 3
, 0 è un minimo relativo
2
4 5 4 125
= − < →
II
y 0 , è un massimo relativo
3 2 3 108
Ecco il grafico:
Per il calcolo dell’area consideriamo la figura sottostante:
L’area che ci interessa è: 3
3 4 3
1 13 9 x 13 x 9 x
∫
= − + − = − + − =
3 2 2
6 3
A x x x dx x
2 4 4 8 12 4
1 1
81 117 27 1 13 9 4
− + − − + − + =
27 3
8 4 4 8 12 4 3
Problema 2
Si consideri la seguente figura che rappresenta la geometria del problema:
Il punto B generico ha coordinate B=(0,y), mentre C=(3,z).
Ora per essere equilatero deve aversi AB=BC=AC.
Ora: = + 2
AB 9 y
( )
= − +
2
BC y z 9
=
AC z
Per cui deve aversi: ( )
+ = − +
2
2
9 y y z 9
( )
− + =
2
y z 9 z
+ =
2
9 y z
Elevando al quadrato si ha: ( )
+ = − + − = = =
2
2
2
9 y y z 9 z 2 yz 0 z 0
, z 2 y
( )
− + = − + = − + =
2 ⇒ ⇒
2 2 2
y z 9 z y 2 yz 9 0 y 2 yz 9 0
+ = + = + =
2 2 2 2 2 2
9 y z 9 y z 9 y z
=
Ora la soluzione z=0 non soddisfa le altre due, mentre la soluzione z 2 y sia nella seconda che
nella terza equazione rimanente comporta: = ±
y 3
= ±
z 2 3
Per cui i vertici sono:
1)A(3,0),B(0, 3 ),C(3,2 3 ) oppure
2)A(3,0),B(0,- 3 ),C(3,-2 3 )
Noi considereremo come vertici quelli del punto 1) cioè considereremo i vertici
A(3,0),B(0, 3 ),C(3,2 3 )
Imponendo che la parabola passi per i punti A(3,0),B(0, 3 ), si ha:
+ + = =
9 a 3
b c 0
, c 3
( )
− −
3 9 a
=
da cui b per cui l’equazione diventa
3 ( )
+
3 9 a
= − +
2
y ax x 3
3
La retta AB ha equazione : − ( )
y x 3 3
= → = −
y 3 x
− 3 3
3
mentre la retta BC ha equazione: −
y 3 x x
= → = +
y 3 1
3 3
3
Ora innanzitutto, affinché la parabola divida il triangolo in 2 parti di area una la metà dell’altra, di
cui una formata col lato AB, essa dovrà avere concavità verso il basso e per avere questo il segno
<
2
del coefficiente x deve essere minore di zero, cioè: a 0
Calcoliamo ora eventuali intersezioni tra la retta BC e la parabola: bisogna risolvere la disequazione
seguente: ( ) ( ) ( )
+ + +
x 3 9 a 2 3 9 a 2 3 9 a
+ = − + − = = =
⇒ ⇒
2 2
3 1 ax x 3 ax x 0 x 0
, x
3 3 3 3
a
Ora vanno distinti due casi:
( )
+
2 3 9 a 2 3 2 3
< − ∪ > < −
> <
⇒
0 che con la condizione 0 a ;
1) a a 0 a impone
3
a 9 9
( )
+
2 3 9 a 2 3 2 3
≤ − ≤ < < − ≤ <
⇒
2) 0 a 0 che con la condizione a 0 impone ancora a 0 ;
3
a 9 9
Discutiamo i 2 casi partendo dal caso 1.
Caso 1
La geometria del problema è rappresentata nella figura seguente:
L’area S individuata dal lato AB con la parabola è la differenza tra l’area del segmento parabolico
formato dall’arco AB col segmento AB e l’area del segmento parabolico BV col segmento BV.
3
= =
2
L’area del triangolo equilatero è A l 3 3 per cui l’area individuata dalla parabola col
ABC 4 1
lato AB, essendo metà della restante, risulta essere pari a dell’area del triangolo, cioè dobbiamo
3
imporre che: ( )
− −
3 ( )
3 9 a 3
∫ + + − − +
2
ax x 3 3 x dx
3 3
0 ( )
+ ( )
2 3 9 a
+
3 a 3 9 a x
∫
− − + − + =
⇒
2
ax x 3 3 1 dx 3
3 3
0 ( )
+ ( )
2 3 9 a
[ ] +
( )
3 3 a 2 3 9 a
∫ ∫
− − − = ⇒
2 2
ax 3
ax dx ax x dx 3
3
0 0 ( )
( ) +
2 3 9 a
3
+
3 2 3 2 3 a
ax 3
ax ax 2 3 9 a x
− − − = ⇒
3
3 2 3 6
0 0
( ) ( )
3 3
+ +
27 2 3 9 a 2 3 9 a
− − − =
⇒
9 3
a a
2 2
2 81
a 54 a
( ) ( )
3 3
+ +
9 a 2 3 9 a 2 3 9 a
− − + = ⇒
3
2 2
2 81
a 54 a
( ) ( )( )
3
+ − − = + + =
⇒ ⇒
2 3
2 3 9 162 3 729 0 4 3 2 3 9 3 9 0
a a a a a
2 3 3
= − = −
,
a a
9 9
( )
− −
3 3 9 a
= − = =
di cui è accettabile solo 0
a . Di conseguenza b
9 3
In tal caso allora si ha la seguente equazione: 3
= − +
2
y x 3
9
Caso 2
La geometria del problema è:
In tal caso l’area da calcolare è più semplice e dobbiamo imporre:
( )
+
3 ( )
a
3 9 3
∫ − + − − = ⇒
2
ax x 3 3 x dx 3
3 3
0 [ ]
( )
3
∫ − = ⇒
2
ax 3
ax dx 3
0 3
3 2
ax 3
ax
− = ⇒
3
3 2 0
27 2 3
− = = −
⇒
9 a a 3 a
2 9
( )
− −
3 9 a 3
= =
Anch’esso accettabile da cui b 3 3
L’equazione della parabola in tal caso è: 2 3 3
= − + +
2
y x x 3
9 3
In conclusione le equazioni delle parabole sono 2:
3
= − +
2
y x 3
9
2 3 3
= − + +
2
y x x 3
9 3
Problema 3
( ) ( )
= +
3 3
La funzione y sin x cos x può essere riscritta in questo modo:
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= + = + + − =
3 3 2 2
y sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
+ − = + −
sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x 2 sin 2 x
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ = =
2 2
In cui si sono sfruttate le relazioni sin x cos x 1
, sin 2 x 2 sin x cos x
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( )
1
= + −
Studiamo allora la funzione y sin x cos x 2 sin 2 x
2
[ ]
π
0
, 2
Dominio :
Intersezione asse x :
[ ]
[ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
= + − = ⇔ + = ⇔ + =
y x x x x x x x
sin cos 2 sin 2 0 sin cos 0 cos tan 1 0
2 π π
( ) 3 7
⇔ = − ⇔ = =
tan x 1 x , x
4 4
= =
⇒
Intersezione asse y : x 0 y !
1
Comportamento agli estremi :
= =
⇒
x 0 y !
1
π
= =
⇒
x 2 y !
1
Positività :
[ ]
[ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
= + − > ⇔ + >= ⇔ + >
y x x x x x x x
sin cos 2 sin 2 0 sin cos 0 cos tan 1 0
2
La disequazione viene studiata col metodo del falso sistema, per cui si studia separatamente ogni
fattore: π π
( ) 3 π
> ∈ ∪
⇒
cos x 0 x , 2 0
,
2 2
π π π π
( ) 3 3 7 π
> − ∈ ∪ ∪
⇒
tan x 1 x 0
, , , , 2
2 4 2 4
Mettendo questi risultati sulla stessa retta dei reali si ricava:
π π
[ ]
( ) ( ) 3 7 π
= + > ∈ ∪
⇒
y cos x tan x 1 0 x 0
, , 2
4 4
Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui: non ce ne sono
Crescenza e decrescenza: estremi relativi e flessi :
= −
I 2 2
( ) 3 sin ( ) cos( ) 3 sin( ) cos ( )
y x x x x x
[ ] [ ]
( )
= − = − ≥ ⇒
2
3 sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 3 sin( ) cos ( ) tan 1 0
x x x x x x x
[ ]
( ) − ≥
sin( ) tan 1 0
x x
e la si risolve sempre col metodo del falso sistema:
[ ]
( ) π
≥ ∈
⇒
sin x 0 x 0
,
π π π π
( ) 5 3
≥ ∈ ∪
⇒
tan x 1 x , ,
4 2 4 2
Mettendo questi risultati sulla stessa retta dei reali si ricava:
π π π π
[ ]
( ) 5 3
π π
− ≥ ∈ ∪ ∪
⇒
sin( x ) tan x 1 0 x , , , 2
4 2 4 2
= − + − + =
II 3 2 3 2
y x x x x x x x
( ) 3 sin ( ) 6 sin( ) cos ( ) 3 cos ( ) 6 sin ( ) cos( )
[ ]
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
− + − + + =
x x x x x x x x
3 sin cos 1 sin cos 6 sin( ) cos( ) sin cos
[ ][ ] [ ][ ]
( ) ( ) ( ) ( )
+ + − = + − =
x x x x x x x x x x
3 sin cos 2 sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 1 3 sin cos 3 sin( ) cos( ) 1
[ ][ ] [ ][ ]
( ) ( )
+ − = + − = ⇒
x x x x x x
6 sin cos 3 sin( 2 ) 2 6 cos( ) tan( ) 1 3 sin( 2 ) 2 0
π π
3 7
= − = =
⇒
x x , x
tan( ) 1 4 4
2
= ≅ ° ≅ ° ≅ ° ≅ °
⇒
x x 21 , x 201 , x 79 , x 259
sin( 2 ) 3
π
3 2
= >
II
y 0
4 2
π
5 3 2
= − <
II
y 0
4 2
π
= − <
II
y 12 0
2
π
3 = >
II
y 12 0
2
( )
π = >
II
y 12 0 π π
( )
1 3 π
− −
D ciò si evince che i punti , , , 1 , , 1 sono di minimo relativo;
4 2
2
π π
5 1
−
i punti , , ,
1 sono di massimo relativo;
4 2
2 π π
3 7
= = ≅ ° ≅ ° ≅ ° ≅ °
x , x , x 21 , x 201 , x 79 , x 259 sono punti di
ed i punti le cui ascisse sono 4 4
flesso.