1988 - problema 2

Maturità scientifica 1988 sessione ordinaria - Problema 2

Soluzione a cura di Francesco Daddi

2) In un piano cartesiano ortogonale Oxy sono dati i punti A(−1 ; 0), B(3 ; 0), C(0 ; 3). Si

consideri la trasformazione ⎧ −

⎨ X = 2 x 2

1

⎩ y +1

Y = 2

, B , C i punti trasformati di A, B, C. Si verifichi che i triangoli ABC e A B C sono

e siano A

equivalenti. Considerata la parabola γ, con asse parallelo all’asse delle ordinate e passante per A,

B, C e la retta r per A parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante, e dette γ ed r le

corrispondenti di γ e r nella trasfomazione assegnata, si verifichi che anche le regioni finite di

piano delimitate rispettivamente da γ ed r e da γ ed r sono equivalenti.

Soluzione. Determiniamo le immagini dei punti A, B e C:

⎧ ⎧ ⎧

· − −4 · − · − −2

⎨ ⎨ ⎨

X = 2 (−1) 2 = X =2 3 2=4 X = 2 0 2 =

A : : :

; B ; C .

5

1 1 1

⎩ ⎩ ⎩

· · ·

0+1=1 0+1 =1 3+1 =

Y = Y = Y =

2 2 2 2

L’equazione della parabola passante per i punti A, B, C si ottiene osservando che, passando per i

punti A e B, deve essere della forma −

y = a(x + 1)(x 3)

a questo punto è sufficiente imporre il passaggio per il punto C(0 ; 3):

· · − ⇒ −1

3 = a (0 + 1) (0 3) a =

da cui ricaviamo l’equazione della parabola: 2

−(x − −x + 2 x + 3 .

y = + 1)(x 3) =

La retta per A parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante ha, ovviamente, equazione

y = x + 1.

Determiniamo ora le equazioni delle curve trasformate; per far ciò abbiamo bisogno delle

equazioni della trasformazione inversa: ⎧ 1

⎨ X +1

x = 2

⎩ −

y = 2 Y 2

la curva γ ha equazione

2 2

1

1 X

⇒ −

− − X +1 X +1 +3 Y = +3

+2

2 Y 2 = 2 2 8