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1989 Sessione ordinaria
2) In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy) è assegnato il fascio di
linee di equazione y = (a + 1)x - 2(a + 1)x + 1. Dopo aver verificato che tutte le linee passano per
2
due punti, di cui uno di ascissa nulla, si determinino:
a) l'equazione della retta r del fascio;
b) i parametri a' e a" delle linee del fascio simmetriche rispetto alla retta r ed aventi, nel punto
comune di ascissa nulla, tangenti fra loro perpendicolari;
c) l'area della regione finita di piano delimitata dalle linee così ottenute.
SOLUZIONE DI DE ROSA NICOLA
a)
Per calcolare i punti base del fascio riscriviamo il fascio nel modo seguente:
( )
= − + + −
2 2
y x 2 x 1 a x 2 x
I punti base del fascio si ricavano dalla risoluzione del sistema seguente:
=
y 1
=
= − +
= − +
2 2
x 0
y x 2 x 1 y x 2 x 1
⇒ ⇒
= = =
− =
2 x 0
, x 2 1
y
2 0
x x
=
2
x
= =
I punti base sono allora A ( 0
,
1
), B ( 2
,
1
)
Tali punti hanno la stessa ordinata per cui la retta r del fascio è la retta parallela all’asse delle
ascisse = 1
y
b)
Le parabole del fascio di parametri a ' , a ' ' sono:
= + − + +
2
y ( a ' 1
) x 2
( a ' 1
) x 1
1 = + − + +
2
y ( a ' ' 1
) x 2
( a ' ' 1
) x 1
2 =
Esse sono simmetriche rispetto alla retta di equazione y 1 e ciò significa che con un ribaltamento
=
rispetto all’asse delle ascisse ed in cascata una traslazione lungo le ordinate di un fattore ( 2 * 1
) 2
dall’una si passa all’altra, cioè la simmetria si traduce in:
= −
y 2 y
1 2
Da cui
