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1989 Sessione ordinaria
−
2
3
4) Delle funzioni f(x) = 2x - 3x e g(x) = x 1 una non verifica nell'intervallo [-1; 2] tutte le
3 2
ipotesi del teorema di Lagrange (o del valore medio). Si dica per quale delle due ciò avviene e si
giustifichi l'affermazione. Si determinino per l'altra funzione i valori della variabile indipendente la
cui esistenza è assicurata dal teorema stesso.
SOLUZIONE DI DE ROSA NICOLA
In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor medio) afferma che se una funzione reale
di variabile reale è continua in un intervallo [a; b] e derivabile in (a; b), esiste almeno un punto
interno all'intervallo in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta che congiunge i
punti del grafico corrispondenti agli estremi dell'intervallo [a;b].
In simboli : data [ ] →
f : a , b R [ ]
a, b
Continua in ( )
a, b
Derivabile in
allora −
( ) ( ) f (
b ) f ( a )
∃ ∈ =
'
c a , b : f c −
b a
= −
3 2
La curva di equazione f ( x ) 2 x 3 x è un polinomio di terzo grado, quindi continua e derivabile
in tutto R, per cui essa soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [-1; 2].
= −
3 2
Vediamo se l’altra curva di equazione g ( x ) x 1 soddisfa le suddette ipotesi.
Essa è certamente continua (quindi l’ipotesi di continuità è soddisfatta, per cui presumiamo ci sia un
errore nella traccia quando si afferma ‘una non verifica nell'intervallo [-1; 2] tutte le ipotesi del
teorema di Lagrange’) nell'intervallo [-1; 2], vediamo se è derivabile:
'
( ) 2 2
−
2 1
= − = =
3 3
g ' x x 1 x
3
3 3 x
Come si nota dalla derivata la funzione g(x) non è derivabile in x=0, infatti:
2
= = +∞
lim g ' ( x ) +
+
→ 0
x 0 2
= = −∞
lim g ' ( x ) −
−
→ 0
x 0
Per cui la funzione presenta in x=0 un punto di non derivabilità ed in particolare una cuspide.
Quindi essa non soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange.
= −
3 2
f ( x ) 2 x 3 x calcoliamo allora i punti interni all’intervallo [-1,2] che
Per la curva di equazione
soddisfano il teorema:
