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SESSIONE SUPPLETIVA 1990 ≥
1) Data la parabola y = 4x - x e la retta y = k (con k 0) che intercetta sulla parabola i due
2
punti A e B, determinare la superficie del triangolo OAB (ove O è l'origine degli assi cartesiani) e
studiarne l'andamento al variare di k. In particolare determinare per quale valore di k la superficie è
massima. Calcolare quindi il volume del solido generato dalla rotazione intorno all'asse delle
≤ ≤
ascisse del tratto di curva rappresentante la funzione studiata per 0 k 4.
SOLUZIONE DI DE ROSA NICOLA
= − =
2
La parabola di equazione y 4 x x ha asse parallelo all’asse delle ordinate, vertice in V ( 2
, 4 )
= =
O C :
ed interseca l’asse delle ascisse in due punti, ( 0
, 0 ), ( 4
, 0 )
= − =
2
Calcoliamo le intersezioni tra la parabola di equazione y 4 x x e la retta y k .
≥ ≤ ≤
Innanzitutto per avere due intersezioni, vista la limitazione k 0 imposta, deve aversi 0 k 4 .
Le intersezioni si calcolano risolvendo l’equazione seguente:
− = → − + = → = ± − →
2 2
4 x x k x 4 x k 0 x 2 4 k
( )
= − −
A 2 4 k , k
( )
= + −
B 2 4 k , k
L’area del triangolo OAB è: OB * h
=
A
OAB 2
dove h è la distanza di A dalla retta OB.
La retta OB, passando per l’origine ha equazione
y k k k =
= = = → = ⇔ −
B
y mx , m y x y 0
x
+ − + − + −
x 2 4 2 4 2 4
k k k
B
per cui l’altezza h con la formula della distanza punto retta sarà:
−
2 k 4 k
( )
k
− − −
k 2 4 k
+ − −
+ − 2 4 k 2 k 4 k
k
2 4
= = =
h ( ) ( )
2 2 2
+ + − + + −
2 2
k k 2 4 k k 2 4 k
+
1
+ −
+ −
2 4 k 2 4 k
La base OB del triangolo OAB sarà invece: ( )
2
= + + −
2
OB k 2 4 k
per cui l’area sarà in definitiva: − ( )
2 k 4 k 2
+ + −
2
* k 2 4 k
( )
2
+ + −
2
k 2 4 k
= = − ≤ ≤
A ( k ) k 4 k con 0 k 4
OAB 2
≤ ≤
Innanzitutto si nota che per 0 k 4 la funzione A (k ) risulta essere sempre positiva, per cui lo
OAB = −
= − A ( k ) k 4 k
A ( k ) k 4 k si riconduce allo studio di dal momento che il
studio di OAB
OAB
valore assoluto risulta essere ininfluente.
= = − ≤ ≤
A ( k ) f ( k ) k 4 k
Studio della funzione nell’intervallo 0 k 4
OAB
≤ ≤
Dominio : 0 k 4
Intersezione asse x : ( 0
, 0 ), ( 4
, 0 )
Intersezione asse y : ( 0
, 0 ) = =
Comportamento agli estremi : lim f ( k ) lim f ( k ) 0
+ −
→ →
k 0 k 4 ≤ ≤
Positività : come già detto la funzione è sempre positiva per 0 k 4
Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui : non ce ne sono
Crescenza e decrescenza :
( )
− − − −
k k k
1 8 2 8 3 8
= − + = = > → <
I
f k k k k che assieme alla condizione
( ) 4 0
− − − 3
k k k
2 4 2 4 2 4
−
8 3
k 8
≤ ≤ > → ≤ <
I
0 4
k implica f ( k ) 0 0 k
− 3
2 4 k ( )
( ) −
( ) 1
− − − −
k k
3 2 4 8 3 ( ) ( )
− − + − − +
− k k k
6 4 8 3 16 3 16
4 k
= = = = → =
II
f ( k ) 0 k
( )
− ( ) ( )
3 3
4 4 k 3
− −
4 4 k 4 4 k
2 2
−
8 2
= <
II
f 0
3
3
4 2
3
8 16 3
per cui la funzione presenta un massimo in ,
3 9
Il grafico è sotto presentato:
Il volume considerato è pari a: 4 π
[ ] [ ]
4 4
3 4
( ) ( ) 4 k k 256 64
π π π π
∫ ∫
= = − = − = − =
2 2
V f k dk k 4 k dk 64
3 4 3 3
0 0 0 = −
A completamento del problema studieremo la funzione A ( k ) k 4 k senza tener conto della
OAB
≤ ≤
limitazione geometrica 0 k 4 , che come già detto rende ininfluente il valore assoluto.
= = −
Limitiamoci a studiare innanzitutto la funzione y f ( k ) k 4 k e dopo ne applichiamo il
valore assoluto.
Tale funzione presenta:
≤
Dominio : k 4
Intersezione asse x : ( 0
, 0 ), ( 4
, 0 )
Intersezione asse y : ( 0
, 0 ) =
Comportamento agli estremi : lim f ( k ) 0
−
→ 4
k ≤ ≤
Positività : è sempre positiva per 0 k 4 = −∞
Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui : non ce ne sono. In particolare lim f ( k )
→ −∞
k
Crescenza e decrescenza :
−
8 3
k 8
= > → <
I
f ( k ) 0 k
− 3
k
2 4 ( )
( ) −
( ) 1
− − − −
3 2 4 k 8 3
k ( ) ( )
− − + − − +
− 6 4 k 8 3
k 16 3
k 16
4 k
= = = = → =
II
f ( k ) 0 k
( )
− ( ) ( )
3 3
4 4 k 3
− −
4 4 k 4 4 k
2 2
−
8 2
= <
II
f 0
3
3
4 2
3
8 16 3
per cui la funzione presenta un massimo in .
,
3 9
Il grafico è quello seguente:
Applicando il valore assoluto e ricordando che esso rende positivo ciò che è negativo, allora il
= − = = −
A ( k ) k 4 k lo si ricava dal grafico di y f ( k ) k 4 k ribaltando verso le
grafico di OAB
ordinate positive eventuali rami o parti di grafico negativi , cioè si ha il seguente grafico:
