1990 - Problema 2 sessione straordinaria

L.Lecci\ottobre-2004 M

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Sessione suppletiva 1990

Quesito n.2 =

AB 2

Data la semicirconferenza di diametro , con centro O e raggio OT perpendicolare ad AB,

da un generico punto H di AB tracciare la perpendicolare ad AB fino ad intersecare la

(1)

semicirconferenza in P e da P il segmento PK, con K appartenente al segmento OT tale che

ˆ ˆ

OPH

KPO

l’angolo sia uguale all’angolo .

Indicata con x la misura del segmento OH, determinare la lunghezza y del segmento OK in funzione

di x. Studiare l’andamento della funzione y=f(x).

Soluzione

Facciamo riferimento alla Fig.1 nella quale è stato scelto il punto H sul raggio OH; se si sceglie il

punto H sul raggio OB si ottiene una figura simmetrica rispetto alla retta OT e la discussione del

problema è identica a quella che esporremo per le figura

indicata.

Dalle indicazioni fornite dal testo del problema, con

= −

= ≤ ≤ 2

HP 1 x

OH x 0 x 1

si ricava e . Inoltre,

ˆ ˆ

OPH

KPO

dall’ipotesi che i due angoli , sono uguali ed

ˆ ˆ

=

KOP OPH

osservato che in quanto coppia di angoli

alterni interni formati dalle parallele HP, OT tagliate dalla

ˆ ˆ

=

KOP KPO

trasversale OP, segue l’uguaglianza per

cui il triangolo OKP è isoscele su OB.

Sia M il piede dell’altezza relativa alla base OP nel triangolo OKP ed osserviamo che M è punto

1

=

OM

medio di OP, quindi ed inoltre i due triangoli OKM, OHP sono simili perché entrambi

2 ˆ ˆ

=

KOM OPH

rettangoli ed hanno gli angoli .

Si noti che il triangolo OKP è isoscele sulla base OP.

Per ricavare la misura del segmento OK basta impostare la seguente proporzione

⋅

OP OM 1

⇒

= = =

OK : OP OM : HP OK .

HP − 2

2 1 x

Discussione dei casi limite

Nella nota a piè di pagina si chiarisce che il punto K non

rimane sul raggio OT al variare del punto H sul raggio OA. Si

può osservare infatti la Fig.2 che rappresenta un altro caso

rispetto alla Fig.1. Si nota che il punto K è esterno alla

semicirconferenza assegnata. In effetti se il punto H tende al

ˆ

OPH

punto A l’angolo tende a 90° perché detto angolo

appartiene al triangolo rettangolo OHP che ha comunque

l’angolo retto in H. Ebbene, poiché per qualunque posizione

1 Il lettore attento nel corso della risoluzione del problema rileverà che il punto K non rimane sul segmento OT quando

varia il punto H su AB ma descrive la semiretta OT tendendo all’infinito allorché H tende ad uno degli estremi del

diametro AB. Per questo motivo nel testo l’autore avrebbe dovuto scrivere “con K punto appartenente alla semiretta

OT” oppure, se non avesse voluto fornire alcun suggerimento,”K appartenente alla retta OT”.