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Luigi Lecci\15/02/2005\Liceo Scientifico “G. Stampacchia”- Tricase (LE) – 0833-544020
− =
2
y x 0 si ricava l’equazione risolvente di quarto grado
+ − − =
2
y x y
8 6 3 0
− + − =
4 2 .
x 6 x 8 x 3 0 − + − −
4 2
Applicando la regola di Ruffini, si esegue la divisione ottenendo
( x 6 x 8 x 3) : ( x 1)
= + − +
3 2
il quoziente ; si può ancora eseguire la divisione
Q ( x ) ( x x 5 x 3)
1
+ − + − = + −
3 2 2
ottenendo come quoziente . In definitiva il
( x x 5 x 3) : ( x 1) Q ( x ) x 2 x 3
2
l’equazione in esame si può scrivere nella seguente forma:
− + − =
2 2
( x 1) ( x 2 x 3) 0
dalla quale emerge che x=1 è soluzione doppia e ciò è sufficiente per concludere che le
due curve sono tangenti nel punto A(1;1). In realtà, il polinomio al primo membro
− 3
dell’equazione è divisibile per ( x 1) e quindi l’equazione si può scrivere nella seguente
− + =
3
forma ( x 1) ( x 3) 0 x=1 è radice con molteplicità tre e quindi il punto A(1;1)
raccoglie tre intersezioni delle quattro tra le due curve. L’ulteriore punto comune è B(-3;9).
Il tutto è rappresentato in Fig.1.
2) L’equazione della retta [A;B] è:
− −
x x y y
= = − +
[ A
; B ] : y 2 x 3
A A
− −
x x y y
B A B A
Il generico punto P della retta
α α
[A;B] ha coordinate ( ;3-2 ). Dal
contesto del problema si evince che il
punto P deve essere tale che le due
rette passanti per esso e parallele agli
assi coordinati devono intersecare le
due parabole C, C’ in oggetto e
dunque devono essere verificate le due
seguenti disuguaglianze α
≥ − ≥
y y 3 2 0
P V
1
affinché la retta per P parallela
all’asse delle ascisse intersechi la
parabola C; 3
α ≤
≤
x x
P V 2
2
affinché la retta per P parallela all’asse
delle ordinate intersechi C’.
Le due condizioni geometriche
forniscono la stessa condizione
algebrica.
Coordinate dei punti Q, Q’
s
Indicando con la retta per P parallela
all’asse delle ascisse si ha:
α
= − .
s y
: 3 2
Per trovare le coordinate dei punti Q,
Q’ si deve mettere a sistema l’equazione di questa retta con l’equazione della parabola C.
α
= −
s : y 3 2 α α α α α α
= − − − − − − = −
2
x Q ( 3 2 ;3 2 ) ; Q '
( 3 2 ;3 2 ) QQ ' 2 3 2
3 2
− =
2
C : y x 0 2
Luigi Lecci\15/02/2005\Liceo Scientifico “G. Stampacchia”- Tricase (LE) – 0833-544020
α
=
r : x
Indichiamo con r la retta per P parallela all’asse delle ordinate. Risulta . Risolvendo il
sistema formato dall’equazione di questa retta con quella della curva C’ si trovano le coordinate dei
punti R. R’.
α
=
r : x + − − =
2
C y x y
': 8 6 3 0
α α
α α α α
− + − = + − − − = −
2
y 6 y 8 3 0 R ( ;3 2 3 2 ) ; R '
( ;3 2 3 2 ) RR ' 4 3 2
α
− ≥ ≥
3 2 0 y 0
Per quanto concerne il punto S, osservato che dalla condizione algebrica P
deduciamo che l’ordinata del punto P è maggiore dell’ordinata del punto S e quindi
α α
= − = − − − = −
PS y y 3 2 ( 2) 5 2 .
P S 2
8 PS
Forma analitica della funzione rappresentativa del rapporto ⋅
QQ '
RR '
A questo punto possiamo esprimere la forma analitica della funzione rappresentativa del. Poniamo
2 α α
⋅ − −
2 2
8 PS 8 (5 2 ) (5 2 )
α = = =
f ( ) α
−
α α
⋅ − ⋅ − 3 2
QQ '
RR ' 2 3 2 4 3 2 α
− ≠
Perché abbia senso quest’espressione deve essere verificata la condizione 3 2 0 e, per il
3
α <
significato del problema, in definitiva,dovrà risultare .
2
Studio della funzione
La funzione f(α) è razionale fratta ed il suo studio non presenta particolari difficoltà. Riportiamo
velocemente gli elementi caratteristici.
5
α =
La funzione si annulla solo per ed è positiva
2 5
α = non
per gli altri valori del dominio. Il valore 2
rientra nel dominio della funzione.
Determinando la derivata prima si ha:
α α α
− − − + − 2
2(5 2 )( 2)(3 2 ) 2(5 2 )
α = =
f '
( ) α
− 2
(3 2 )
α α
− −
2(5 2 )(2 1) .
α
− 2
(3 2 ) 1 5
α
α > ⇔ ∈
f '
( ) 0 ; , e quindi, relativamente al
2 2
1 3
α ∈
dominio, per ; . In quest’intervallo la
2 2
funzione è strettamente crescente; è strettamente
1 1
α α
< =
decrescente per . Nel punto la funzione
2 2 1 =
assume il suo minimo assoluto; il valore del minimo è .
f 8
2
3
α =
Facciamo notare che la retta avente equazione è asintoto verticale ( a sinistra) per il
2
diagramma della funzione.
In Fig.3 è riportata una parte del diagramma della funzione. 3
Luigi Lecci\15/02/2005\Liceo Scientifico “G. Stampacchia”- Tricase (LE) – 0833-544020
Calcolo della regione finita di piano delimitata dalla due parabole
(1)
Primo metodo teorema di Archimede
Il calcolo dell’area richiesta si può ottenere a livello elementare con il
mediante il quale si determina l’area di un segmento parabolico
Ricordiamo che per segmento parabolico si intende la parte di piano delimitata da un arco di
parabola e dal segmento che passa per i due estremi dell’arco. Il valore dell’area di un segmento
parabolico è pari ai due terzi dell’area del rettangolo circoscritto al segmento parabolico stesso.
Se si segue questa strada per il calcolo dell’area è necessario determinare le equazioni delle rette
tangenti alle due parabole parallele alla corda AB in quanto occorrono le altezze dei due rettangoli
in cui sono inscritti i due segmenti parabolici (la corda AB funge da base per i rettangoli).
Procediamo secondo questo metodo
Scritta l’equazione del fascio improprio di rette determinato dalla retta [A;B]
= − +
F y x k
: 2
la si mette successivamente a sistema con ciascuna delle equazioni delle due parabole per
k corrispondenti alle tangenti richieste.
determinare i valori del parametro
= − +
F : y 2 x k + − =
2
x x k
2 0 si deve imporre che quest’equazione ( equazione risolvente)
= 2
C y x
: ∆ = ⇔1 + =
0
abbia le radici coincidenti, dunque 0 k = -1.
k
4
L’equazione della retta tangente alla parabola C è
= − −
: 2 1
t y x
1
ed il punto di contatto con la curva è
T (-1;1).
1
Per la parabola C’ si ha:
= − +
F : y 2 x k
+ − − =
2
C ': y 8 x 6 y 3 0
−
k y
+ − − =
2 8 6 3 0
y y
2
⇔ − + − =
2 10 4 3 0
y y k
ed imponendo che le radici siano
coincidenti si ricava
∆ = ⇔ − =
0 =7
k
28 4 0
k
4
L’equazione della retta tangente
richiesta alla parabola C’ è
= − +
t : y 2 x 7 ed il punto di contatto
2
con la curva è T (1;5).
2
A questo punto si devono determinare:
• la misura della corda AB;
• la distanza d(t ; [A;B]) della
1
retta t dalla retta [A;B];
1
• la distanza d(t ; [A;B]) della
2
retta t dalla retta [A;B].
2
Ciò fatto si può applicare la formula di Archimede:
2 2
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
( ;[ ; ]) ( ;[ ; ])
S AB d t A B S AB d t A B
;
1 1 2 2
3 3
(1) Questo procedimento può essere seguito da uno studente del terzo liceo scientifico. 4
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2 [ ]
= + = ⋅ ⋅ +
( ;[ ; ]) ( ;[ ; ])
S S S AB d t A B d t A B
1 2 1 2
3
Misura della corda AB. + =
= − + − = 2 2
2 2 4 8 4 5
AB ( x x ) ( y y ) ;
B A B A (2)
Applichiamola formula della distanza di un punto da una retta
− + −
2( 1) 1 3 4
= = =
d (
t ;[ A
; B ]) ( ;[ ; ])
d T A B ;
1 1 5
+
2
2 1
⋅ + −
2 1 5 3 4
= = =
d (
t ;[ A
; B ]) d (
T ;[ A
; B ])
2 2 5
+
2
2 1
L’area della regione piana richiesta è
2 4 64
= + = ⋅ ⋅ ⋅ =
S S S 4 5 2
1 2 3 3
5
Secondo metodo
Calcolo dell’area della regione con gli integrali definiti .
Tramite la corda AB si divide la regione piana nei due segmenti parabolici: il primo delimitato dalla
parabola C e dalla corda AB, il secondo delimitato dall’arco della parabola C’ e sempre dalla corda
AB.
Area del primo segmento parabolico. 1
3
x 1 32
1 ( )
= − + − = − + − = − + − − − − + =
2 2
( 2 3)
S x x dx x 3 x 1 3 9 9 9
1 3 3 3
− 3 −
3
Area del secondo segmento parabolico dominio normale rispetto all’asse delle
Per questo calcolo conviene considerare il segmento come
ordinate . In questo modo è sufficiente una sola operazione d’integrazione. E’ necessario esprimere
le equazioni della retta [A;B] e dell’arco di parabola esplicitando la variabile x rispetto alla variabile
y. Si ha: 3 y
= −
[ ; ] :
A B x 2 2
2
y 3 3
= − + +
C x y
': 8 4 8 9
2 3
y 3 3 3 y y 5 9
9
= − + + − − = − + − =
2
S y dy y y
2 8 4 8 2 2 24 8 8
1 1
⋅
3 2 2
9 5 9 9 1 5 9 32
= − + − − − + − =
24 8 8 24 8 8 3
Effettuando ora la somma delle due aree si perviene allo stesso risultato trovato con il primo
metodo 32 32 64
+ = + =
S S .
1 2 3 3 3
Σ
3) Detta la regione finita di piano delimitata dalle due parabole, si conduca per A una retta
Σ
u che incontra l’asse delle y in D ed il contorno di , oltre che nel punto A, nell’ulteriore
AE
=
f m
( ) , essendo m il coefficiente angolare della
punto E. Si consideri la funzione : AD + +
ax by c
0 0
=
d
(2) Ricordo che la distanza del punto P(x ;y ) dalla retta s:ax+by+c=0 è data dalla formula
0 0 +
2 2
a b 5
Luigi Lecci\15/02/2005\Liceo Scientifico “G. Stampacchia”- Tricase (LE) – 0833-544020
retta u, e la si studi determinandone in particolare il massimo relativo ed il minimo
assoluto.
Soluzione
La retta u passante per A(1;1) che si richiede di tracciare deve intersecare l’asse delle
ordinate, dunque non è parallela a questo e quindi la sua equazione può essere posta in forma
esplicita come segue: ⇔
u: y-1=m(x-1) u :y=mx-m+1 (3.1)
D(0;1-m)
La retta taglia l’asse delle ordinate nel punto
Al variare del parametro m la retta u ruota intorno al punto A; vediamo come si può legare
la posizione della retta al valore del coefficiente angolare.
Osservato che il coefficiente angolare della retta [A;B] è m =-2 e che quello della retta
1
tangente t è m =2, si può affermare che:
2 Σ,
per m<-2 oppure m>2 la retta u taglia il bordo della regione oltre che nel punto A, nel
punto E appartenente all’arco della parabola C’; Σ
per valori di m∈]-2;2[ il punto E in cui la retta u taglia il bordo di appartiene all’arco della
parabola C;
per m=2 il punto E coincide con A perché la retta u coincide con la retta tangente comune
alle due parabole;
per m=-2 il punto E coincide con B.
In virtù di queste considerazioni possiamo determinare le coordinate del punto E nei due casi.
Per m<-2 oppure m>2
Mettendo a sistema le equazioni della retta u e della parabola C’ si ha:
+ −
y m 1
=
x
= − +
: 1
u y mx m m (3.2)
+ −
y m 1
+ − − =
2
': 8 6 3 0
C y x y + − − =
2
y 8 6 y 3 0
m
si ricava l’equazione risolvente
+ − + − =
2
my 2(4 3
m ) y 5 m 8 0 =y =1; possiamo perciò determinare il valore della
che sappiamo già ammettere una radice y
1 A
seconda radice, che sarà l’ordinata del punto E, utilizzando le note relazioni tra i coefficienti e la
somma o il prodotto delle radici di un’equazione di secondo grado. Sfruttiamo il prodotto.
− −
5 m 8 5 m 8
⋅ = = =
=
y y y y
y 1
e con .
1 2 1 2 E
m m
L’ascissa del punto E si ricava sostituendo il valore dell’ordinata nella prima equazione del sistema
(3.2). Eseguite le semplificazione si ottiene
− + −
2
1 5 m 8 m 4 m 8
= ⋅ + − =
x m 1 .
E 2
m
m m + − −
2 4 8 5 8
m m m
;
E
Dunque, 2
m m
Per –2<m<2
Mettiamo a sistema l’equazione della retta u con l’equazione della parabola C.
+ −
y m 1
= − + =
: 1
u y mx m x (3.3)
m
= 2
:
C y x − + − =
2
x mx m 1 0
L’equazione risolvente ammette una soluzione x =1 che rappresenta l’ascissa del punto A; la
1
seconda radice è x =m-1, che rappresenta l’ascissa del punto E. Per l’ordinata di E, sostituendo nella
2 = − 2
prima equazione del sistema (3.3) si ricava y ( m 1) .
E 6
Luigi Lecci\15/02/2005\Liceo Scientifico “G. Stampacchia”- Tricase (LE) – 0833-544020
( )
− − 2
Dunque, E m 1; ( m 1)
Calcolo delle misure dei segmenti AD, AE
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
= − + − = − + − − = + 2
0 1 1 1 1
AD x x y y m m
D A D A
Per la misura di AE si devono distinguere i due casi:
Per m<-2 oppure m>2 2 2
+ − −
2
m 4 m 8 5 m 8
( ) ( )
2 2
= − + − = − + − =
AE x x y y 1 1
E A E A 2
m m
2 2 −
− − − 4 m 8
4 m 8 4 m 8 4 m 8 1 + = ⋅ +
+ = 2
1 1 m
2
2 2
m m m m m
Per -2 < m < 2 ( ) 2
( ) ( )
2
( ) ( ) 2 2
2 2
= − + − = − − + − − = − + − =
2 2
AE x x y y m 1 1 ( m 1) 1 m 2 m 2 m
E A E A
− ⋅ + 2
m 2 1 m AE
=
f ( m )
Espressione analitica del rapporto AD
Sussistono le due seguenti espressioni
− ⋅ + 2
m 2 1 m
AE
= = = −
f ( m ) m 2 , per -2<m<2; (3.4)
AD + 2
1 m
− −
4 m 8 4 m 8
1
AE
= = ∨
⋅ + ⋅ =
2
f ( m ) 1 m , per m<-2 m>2. (3.5)
2
2
m m
AD + 2
1 m
Osservazione
