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Quindi ( ) ( )
( ) − − −
= + = + + − + = − +
2 2 2
x 2 x x 2
E x I I e x 1 H 2
e K e x 1 M
1 2
Dove nella costante M abbiamo inglobato le due costanti H e K, dal momento che le infinite
primitive differiscono per una costante. ( )
E x
Ora per trovare l’espressione completa di va imposta la condizione iniziale e cioè risolvere il
problema seguente: ( )
( )
−
= − +
2
2
x ( )
E x e x M
1 − = − + − = − =
⇒ ⇒ ⇒
0
e M M M
1 0 1 1 1 0
( ) = −
E 0 1
Per cui si ha ( )
( ) −
= −
2
x 2
E x e x 1
( )
( ) −
= −
2
x 2
E x e x 1
Studio della funzione
∀ ∈
Dominio: x R ( )
( ) ( ) ( )
= − = = ± −
⇒ ⇒ ⇒
2
Intersezione asse x: 0 1 0 1 1
, 0 , 1
, 0
E x x x
= = −
⇒
Intersezione asse y: x 0 y 1 ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
− − −
2
− = − − = − =
2
2
x x 2
E x e x e x E x
1 1
Parità o disparità: la funzione è pari perché
Asintoti verticali: non ce ne sono visto che il domino è tutto R
−
2
( ) x 1
= =
= lim E x lim 0
Asintoti orizzontali: y 0
, infatti e questo risultato lo si spiega o con la
2
→ ±∞ → ±∞ x
x x e ( )
−
2
x 2
teoria degli infiniti per cui e è un infinito di ordine maggiore rispetto al polinomio x 1 ,
oppure si può applicare de l’Hopital e dopo il primo passo si trova il risultato.
Asintoti obliqui: non ce ne sono
Crescenza e decrescenza: [ ]
( )
( ) ( ) −
= − = −
2
I x 2
E x f x 2
e x 2 x
[ ] [ ]
( ) ( )
( )
− −
> ∀ = − > − >
2 2 ⇒
x I x 2 2
e 0 x , E x 2
e x 2 x 0 x 2 x 0
Ora poiché allora e questa disequazione
la si risolve studiando separatamente i fattori e poi mettendo assieme i risultati sulla stessa retta
come di seguito riportato:
