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SESSIONE ORDINARIA 1992: LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO
γ
3) Data una circonferenza di raggio unitario e centro O, tracciare una semiretta s uscente da O
γ γ,
ed intersecante in un punto Q. Indicato con P un generico punto di s esterno alla circonferenza
tracciare da esso le due tangenti alla circonferenza: siano A e B i punti di tangenza. Indicata con x la
+
AQ QB
=
lunghezza del segmento PQ, trovare il limite per x tendente ad infinito del rapporto .
k AB
Studiare quindi la funzione = ( ), dove ( ) = e calcolare la superficie della regione di piano
y f x f x k
2
delimitata dalla curva e dagli assi cartesiani.
SOLUZIONE DI DE ROSA NICOLA
La situazione descritta nella traccia è rappresentata nella figura sottostante:
Per la simmetria della figura si ha innanzitutto AQ=QB.
Determiniamo innanzitutto l’altezza AH del triangolo rettangolo OAP. Prima di fare ciò calcoliamo
innanzitutto AP. ( )
= − = + − = +
2
2 2 2
AP OP OA 1 x 1 x 2 x
Ora l’area del triangolo OAP la si può esprimere in due modi: +
2
OA * AP OP * AH OA * AP x 2 x
= = = =
⇒
AREA AH +
2 2 OP 1 x
+
2
2 x 2 x
= =
AB 2 AH
Per cui +
1 x ( )
2
+ + +
2 2 2
2 2 2
x x x x x x
= − = + − = =
2 2 2
Ora 2 per cui
PH AP AH x x ( ) ( ) +
+ +
2 2 1 x
1 1
x x
+
2 2
x x x
= − = − = da cui
HQ PH QP x
+ +
1 1
x x