1995 - problema 2 corso di ordinamento

= − = − +

2 2 2 2

AK AP PK x y 1

= −

2 2

KG PG KP ( )

= + = − +

2

2 2 2

PG PF FG 1 x 1

Per cui ( )

= − = − + − = − − +

2

2 2 2 2 2

KG PG KP 1 x 1 y x 2 x y 2

Ora la condizione = +

AG AK KG

Comporta: − + + − − + = ⇒

2 2 2 2

x y 1 x 2 x y 2 3

− − + = − − +

2 2 2 2

x 2 x y 2 3 x y 1

Ora vista la positività di ambo i membri in gioco al primo e secondo membro possiamo elevare al

quadrato ottenendo: ( )

− − + = + − + − − + ⇒

2 2 2 2 2 2

x 2 x y 2 3 x y 1 2 3 x y 1

( )

− + = + ⇒

2 2

2 3 x y 1 2 x

( )

− + = +

2 2

3 x y 1 x 1

Anche in tal caso vista la positività di ambo i membri possiamo elevare al quadrato ottenendo:

( ) ( )

− + = + ⇒

2

2 2

3 x y 1 x 1

− + = + + ⇒

2 2 2

3 x 3 y 3 x 2 x 1

( )

= − + = − + ⇒

2 2 2

3 y 2 x 2 x 2 2 x x 1

( )

− +

2

2 x x 1

= ⇒

2

y 3

( )

− +

2

2 x x 1

= ±

y 3

Di cui la soluzione col meno va scartata visto che la distanza y è una lunghezza e per questo

strettamente positiva. Quindi la relazione è ( )

− +

2

2 1

x x

=

y 3

b) ( )

− +

2

2 x x 1

=

Studio della funzione y , senza tener conto della limitazione geometrica per cui

3

[ ]

∈

x 0

,

1 − + > ∀ ∈ ∆ = <

⇒

2

Dominio : x x 1 0 x R visto che -3 0

− + = ⇒

2

Intersezione asse x : x x 1 0 non esiste alcun valo

re di x tale da soddisfare l' equazione

2

= =

⇒

x 0 y

Intersezione asse y : 3

Positività : la funzione risulta essere sempre positiva nel dominio

Asintoti verticali : non ce ne sono visto il dominio ( )

− +

2

2 1

x x = +∞

Asintoti orizzontali lim

: non ce ne sono, infatti → ±∞ 3

x

Asintoti obliqui :

hanno equazione y=mx+q

( )  

− + 1 1

2

2 x x 1 − +

( ) 2  

1

x

− +

2 2

 

1

x x x x

2 2

3

= = = =

lim

m lim lim

→ ±∞ → ±∞ → ±∞

3 3

x x x

x x x

 

1 1

− +

 

1

x 2

 

x x

2

= lim

→ ±∞

3 x

x  

1 1

− +

 

x 1 2

   

x x

2 2 1 1 2

= = − + =

→ +∞  

m lim lim 1

Ora se x , 2

 

→ +∞ → +∞

3 x 3 x 3

x

x x

 

1 1

− − +

 

x 1  

2

   

x x

2 2 1 1 2

 

= = − − + = −

→ −∞  

m lim lim 1

se x ,  

2

 

→ −∞ → −∞

3 x 3 x 3

x

x x  

Calcoliamo invece ora i valori di q:

→ +∞

Ora se x , ( ) )

(

− + ( )

2

2 x x 1 2 2

= − = − + − =

2

q lim x lim x x 1 x

→ +∞ → +∞

3 3 3

x x

( )

− + − − +

2 2

2 x x 1 x 2 x 1

( ) = =

lim lim

( )  

− + +

→ +∞ → +∞

3 3

2

x x  

x x 1 x 1 1

 

− + +

2  

x 1 x

 

2

 

x x

 

− + − +

2 x 1 2 x 1 1 2

= = −

lim lim ( )

 

→ +∞ → +∞

3 3 2 x 2 3

x x

 

1 1

 

− + +

 

x 1 x

 

2

 

x x

 

→ −∞

Ora se x , ( ) )

(

− + ( )

2

2 x x 1 2 2

= + = − + + =

2

q lim x lim x x 1 x

→ −∞ → −∞

3 3 3

x x

( )

− + − − +

2 2

2 x x 1 x 2 x 1

( ) = =

lim lim

( )  

− + −

→ −∞ → −∞

3 3

2

x x  

x x x

1 1 1

 

− + +

2  

x 1 x

 

2

 

x x

 

− + − +

2 x 1 2 x 1 1 2

= =

lim lim ( )

−

 

→ −∞ → −∞

3 3 2 x 2 3

x x

 

1 1

 

− − + −

 

x 1 x

 

2

 

x x

 

   

2 1 2 1

= − = − −

   

Per cui gli asintoti sono y x , y x

   

3 2 3 2

Crescenza e decrescenza :

− −  

( ) 1 2 2 x 1 2 x 1 1

= = > ∈ +∞

⇒

I  

0 ,

y x x

( )  

− + − +

2 3 2

2 2

1 6 1

x x x x −

( ) ( ) 6 3

x

− + − −

2

2 6 x x 1 2 x 1 ( ) ( ) ( )

− + − + − −

2 2

2

6 x x 1

( ) 12 1 3 2 1 9

x x x

= = = > ∀ ⇒

II ( ) 0

y x x

[ ] [ ]

( ) ( )

− +

2 3 3

6 x x 1 − + − +

2 2

6 x x 1 6 x x 1

2 2

 

 

1 1 1

> ⇒  

II  

y 0 , è il punto di minimo.

   

2 2 2

Il grafico è sotto rappresentato:

c)

Consideriamo la figura sottostante:

L’area del volume richiesto è:

( ) ( )

2

  h

π

− + − +

   

h h

2 2 3 2

2 x x 1 2 x x 1 2 x x

π π

∫ ∫

= = = − +

 

V dx dx x

   

     

3 3 3 3 2

 

0 0 0

π π π

− + ( )

   

3 2 3 2

2 h h 2 2 h 3

h 6 h

= − + = = − +

    3 2

h 2 h 3

h 6 h

   

3 3 2 3 6 9

   