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SESSIONE SUPPLETIVA 1996
1) In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve
+ +
2
2 x ax b
=
di equazione: y , dove a, b sono parametri reali. Trovare quale relazione lega questi
3
x
parametri quando le curve considerate hanno un punto di massimo ed uno di minimo relativi e
stabilire a quali altre condizioni devono soddisfare a e b affinché tali punti, quando esistono,
abbiano ascisse dello stesso segno. Tra le curve assegnate determinare la curva k avente gli estremi
relativi nei punti A, B di ascisse 1 e 3 rispettivamente e disegnarne l'andamento. Calcolare infine
l'area della regione piana delimitata dalla curva k e dalla retta y = q, dove q è l'ordinata del punto B.
SOLUZIONE DI DE ROSA NICOLA + +
2
2 x ax b
=
Innanzitutto si calcola la derivata prima e seconda della funzione y :
3
x
( )
( )
+ − + + − − −
3 2 2 4 3 2
( ) 4 x a x 2 x ax b 3 x 2 x 2 ax 3
bx
= =
I
y x 6 6
x x
− − − + +
2 2
2 x 2 ax 3
b 2 x 2 ax 3
b
= = −
4 4
x x
( )
( )
+ − + +
4 2 3
( ) 4 x 2 a x 2 x 2 ax 3
b 4 x
= − =
II
y x
8
x
− − − + +
2 2
4 x 6 ax 12
b 4 x 6 ax 12
b
= − =
5 5
x x
Ora per avere un massimo ed un minimo deve verificarsi che la derivata prima si annulli in due
+ +
2
punti cioè abbia due radici reali e questo accade se l’equazione ( 2 x 2 ax 3
b ) ha il delta
maggiore di zero cioè se − >
2
a 6
b 0
Inoltre devono essere soddisfatte altre due condizioni e che cioè nei punti in cui si annulla la
derivata prima la derivata seconda sia maggiore o minore di zero in base al fatto che il punto sia di
massimo o minimo relativo. − >
2
Studiamo perciò il segno della derivata prima sotto la condizione a 6
b 0 :
+ + − − − − + −
2 2 2
( ) 2 x 2 ax 3
b a a 6
b a a 6
b
= − > → + + < → < <
I 2
y x 0 2 x 2 ax 3
b 0 x
4 2 2
x
− − − − − −
2 2
a a 6
b a a 6
b
= = >
II
x
Ora l’ascissa sarà di minimo se y x 0 e cioè se
2 2
)
(
− − − − + − −
2 2 2 2
a a 6
b 32 a 6
b a a 6
b 32 a 6
b
= = = >
( ) ( )
II
y x 0
5 4
2 + − + −
2 2
a a 6
b a a 6
b
∀ ∈
ma questa disequazio
ne è soddisfatt a ,
a b R
− + − − + −
2 2
a a 6
b a a 6
b
= = <
II
x
Mentre l’ascissa sarà di massimo se y x 0 e cioè se
2 2
)
(
− + − − − − + − − −
2 2 2 2
a a 6
b 32 a 6
b a a 6
b 32 a 6
b
= = = <
( ) ( )
II
y x 0
5 4
2 − + − − + −
2 2
a a 6
b a a 6
b
∀ ∈
ma questa disequazio
ne è soddisfatt a a , b R − >
2
Quindi in conclusione per avere un massimo ed un minimo relativo deve aversi a 6
b 0 .
Affinché i punti di massimo e minimo abbiano ascisse dello stesso segno, basta ricordare che una
equazione di secondo grado si può sempre esprimere nella forma
+ +
2
x sx p
Dove s indica la somma cambiata di segno delle due soluzioni e p il loro prodotto. Questo per dire
che affinché gli estremi relativi abbiano ascissa dello stesso segno basta imporre p>0. Nel nostro
caso l’equazione di secondo grado da cui ricaviamo gli estremi relativi è
3
b
+ + = + +
2 2
2 x 2 ax 3
b 2 x ax
2 >
Per cui la condizione da imporre affinché le ascisse abbiano stesso segno è b 0 che assieme alla
− >
2
condizione a 6
b 0 comporta 2
a
< <
0 b 6
Ora affinché tali ascisse siano pari ad 1 e 3 basta imporre, ricordando il significato di s e p
+ +
2
nell’equazione x sx p che: = −
a 4 = −
a 4
⇒
3
b =
=
b 2
3
2 2
a
< <
Ed infatti questi valori dei parametri soddisfano la condizione 0 b 6
Quindi la curva è: ( )
+ + − + − 2
2 2
2 x ax b 2 x 4 x 2 2 x 1
= = =
y 3 3 3
x x x
( )
− 2
2 x 1
=
Studiamo allora la funzione y 3
x
( ) ( )
≠ ≠ ∈ − ∞ ∪ +∞
⇒ ⇒
3
Dominio: x 0 x 0 x , 0 0
,
( )
= − =
⇒ ⇒
2
Intersezione asse x: y 0 x 1 x 1
Intersezione asse y: non ce ne sono
( )
− 2 ( )
2 x 1
= > > > ∈ +∞
⇒ ⇒ ⇒
3
Positività: y 0 x 0 x 0 x 0
,
3
x ( ) ( )
− −
2 2
2 x 1 2 2 x 1 2
= = = +∞ = = −∞
Asintoti verticali: x 0
, lim , lim
+ −
3 3
+ −
→ →
x 0 x 0
x x
0 0
( )
− 2
x
2 1
= =
y
Asintoti orizzontali: 0
, lim 0
3
→ ±∞ x
x
Asintoti obliqui: non ce ne sono
Crescenza e decrescenza: come ampiamente detto la curva presenterà due estremi relativi, in
( ) 8
= =
A 1
,
0 ed un massimo in .Inoltre presenterà dei flessi nei
particolare un minimo in B 3
,
27
( )
+ + = − + = − + = → = ±
2 2 2
punti in cui 4 x 6 ax 12
b 4 x 24 x 24 4 x 6 x 6 0 x 3 3
Il grafico è sotto rappresentato:
