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L.Lecci\Ottobre 2004 M
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a
Sessione Suppletiva 1997
Quesito n.2 =
AB 2 a detta
Data una semicirconferenza di centro O e diametro si tracci la tangente t
semicirconferenza nel punto A. Preso un punto P sulla semicirconferenza si tracci la perpendicolare
.
PH alla retta t l .
Dimostrare che la semiretta PA è bisettrice dell’angolo H PO
=
Posto , esprimere in funzione di l’area y del quadrilatero AOPH. Determinare per quale
x
PH x
valore di l’area = ( ) è massima.
x y f x
Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione della curva, che rappresenta la funzione
≤ ≤
= ( ), attorno all’asse delle sapendo che .
y f x x 0 x 2
Soluzione
Proviamo che AP è bisettrice dell’angolo OPH .
Osservando la figura riportata a lato si deduce che
gli angoli HPA, PAO sono uguali perché coppia di angoli
alterni interni ottenuti dalla rette parallele [H;P], [A;B]
tagliate dalla trasversale [A;P]. D’altra parte si osserva che
il triangolo AOP è isoscele sulla base AP (perché AO=OP)
e quindi anche l’angolo OPA è uguale all’angolo PAO. Per
transitività si deduce l’uguaglianza degli angoli HPA, APO
⇒ AP è bisettrice dell’angolo OPH.
Con HP= , conduciamo da O la perpendicolare alla retta [H;P] ed indichiamo con K
x
l’intersezione.
Osserviamo che
= − = − ≤ ≤
1 , con ;
KP HP HK x 0 x 2
2 2 2
= − = − − = − 2
1 1 2
OK OP KP x x x
L’area de trapezio è data da
( )
+ ⋅
AO HP OK +
x 1
= = − 2
( ) 2
f x x x , con
2 2
≤ ≤ .
0 x 2
La derivata prima della funzione è:
+ − 2
1 2 2
x x
=
'( )
f x − 2
2 2 x x
e studiando il suo segno si deduce che la
funzione ammette il suo massimo assoluto per
+
1 3
=
x e si ha
2
+ +
1 3 3 3
= = ⋅ ≈
Max f 2 3 1,1009
2 8
Calcolo del volume del solido di rotazione
