1997 - problema 3 sessione suppletiva

L.Lecci\Ottobre 2004 M

a t

u r i

t

à S

c i

e

n t

i

f i

c

a

Sessione Suppletiva 1997

Quesito n.3 γ γ

Due circonferenze concentriche , di centro C hanno raggio rispettivamente uguale a x e a 1, con

1 2

x<1. γ γ

Da un punto P di tracciare le tangenti a Siano Q ed R i due punti di tangenza.

2 1.

Determinare la funzione y=f(x) che rappresenta l’area del triangolo PQR in funzione di x.

Rappresentare in coordinate cartesiane ortogonali la funzione y=f(x).

Verificare che l’area y è massima per x=1/2 e dimostrare che in tale caso il triangolo PQR è

equilatero. Calcolare l’area della superficie di piano delimitata dalla curva rappresentante la

2 2

=t ].

funzione y=f(x) e dall’asse delle x. [Si consiglia di integrare per sostituzione ponendo 1-x

Soluzione

Il triangolo PQR è isoscele su QR ed inoltre sappiamo che

il raggio CP è perpendicolare alla congiungente QR dei

due punti di contatto delle tangenti condotte da P alla

γ

circonferenza . Sia H il punto d’intersezione tra CP ed

1

QR.

Consideriamo il triangolo CQP, rettangolo in Q ( raggio e

tangente che passano per o stesso punto sono

perpendicolari). Sapendo che

∧ = =

= = CQ CB x , dal primo teorema di

CP CA 1

Euclide applicato al triangolo CQP si ricava

2 2

CQ x

= = = ⇒ = − = −

2 2

CH x .

HP CP CH 1 x

1

CP

Occorre determinare ora la misura del segmento HQ per poi trovare l’area del triangolo HQP e

quindi quella del triangolo QRP che è il doppio di quella del primo. La misura del segmento HQ

si può determinare applicando il secondo teorema di Euclide ancora al triangolo CQP (HQ è

l’altezza relativa all’ipotenusa CP) oppure applicando il teorema di Pitagora al triangolo CQH.

Utilizziamo il secondo teorema di Euclide.

( )

2 = ⋅ = ⋅ −

2 2

HQ CH HP x 1 x

e ricordando che il punto B è interno al segmento CA, quindi che risulta 0<x<1, possiamo

scrivere = ⋅ − 2

HQ x 1 x

Calcolo dell’area del triangolo PQR

⋅ ⋅ ⋅

RQ HP HQ HP

2 ( )

= = = ⋅ − ⋅ −

2 2

Area PQR x x x

( ) 1 1

2 2

Quindi la funzione da studiare è

3

( )

= − 2 , con 0<x<1

f ( x ) x 1 x 2

Osservazione sui casi limite

a) Se il punto B tende verso il punto C allora la

γ si restringe sempre di più fino a

circonferenza 1

chiudersisul suo centro C e conseguentemente i

due punti Q, R tendono a coincidere con C. Il triangolo QRP degenera nel doppio

segmento CP e la sua area è nulla (In Fig.2 il punto B è abbastanza vicino a C).